1、练习题填空题1、设 为 阶 方 阵， 且 秩 ， 则 齐 次 线 性 方 程 组 ( 为 的 伴 随 阵 ) 的 基 础 解 系 所 含 向 量 的 A4()A3AX*0A个 数 为_. 2、 若 方 程 组 有 解 , 则 应 满 足 条 件 为_.xa121341RS|Ta1234,3、 方 程 组 有 解, 则 应 满 足 的 条 件 是_.xxab123441235|ab,4、 若 方 程 组 有 无 穷 多 组 解， 则 、 应 满 足 的 条 件 是_.xxa42314012|() ab5、 设 三 阶 矩 阵 有 一 个 特 征 值 为 ， 且 及 的 主 对 角 线 元 素 的
2、 和 为 ， 则 的 其 余 二 个 特 征 AA0 0A值 为 _。6、 已 知 三 阶 方 阵 有 一 个 特 征 值 为 ， 对 应 于 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 为 , ， 22x1x213,则 _。A0812,7、 设 三 阶 可 逆 矩 阵 的 特 征 值 为 、 、 ， 则 的 伴 随 矩 阵 的 特 征 值 为 _。A5102AA*8、 设 为 正 交 矩 阵， 为 阵 的 特 征 根， 则 _。AE9、 若 方 程 组 只 有 零 解， 则 应 满 足 的 条 件 是_xk1230RS|Tk10、 二 次 型 的 矩 阵 表 达 式 为 =_.fxxxx(,)1
3、23412314232468fx(,)123411、 二 次 型 的 矩 阵 表 达 式 为 f x(,)132408=_.fx(,)123412、二 次 型 的 矩 阵 形 式 为_.fxxxx(,)1231232324选择题1、 二 次 型 的 标 准 形 是fxxx1231232123,bgAy12By 2Cybg12Dy 122、 关 于 二 次 型 的 正 定 性 的 正 确判断是fxzzxz(,)20（A） 正 定 的. （B ） 负 定 的.（C） 半 正 定 的. （D ） 不 定 的. 3、 设 二 次 型 ， 则fxxx12312323,是 正 定 的 , 为 负 定 的
4、, fbgf即 不 正 定， 也 不 负 定 , 的 秩 为 。CfbgDfbg2证明题1、 试 证 方 程 组 有 解 的 充 要 条 件 是 ， 并 在 有 解 的 情 况 下 求 其 解.xaxa1213451RS|Ta150 ,2、 设 、 都 是 阶 矩 阵， 证 明 与 的 特 征 多 项 式 相 同。ABnAB3、 阶 方 阵 是 非 奇 导 的 充 分 必 要 条 件 是 的 特 征 值 全 不 为 零 ？n A4、 设 A 是 n 阶 正 交 矩 阵, 而 且 也 是 正 定 的, 求 证:A=E.计算题1、 解 方 程 组20423134214xx|T2、 求 方 程 组
5、的 解xx21320574RS|3、 求 解 方 程 组 .xyzwzRS|T357120464、 求 解 方 程 组21347xyz|5、 就 、 取 值 情 况 讨 论 方 程 组 是 否 有 解， 解 是 否 唯 一？abxab1231254|6、 求 的 特 征 值 和 特 征 向 量， 并 判 定 是 否 与 对 角 阵 相 似。ALNMOQP10432 A7、 求 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量.8、 求 正 交 变 换, 将 二 次 型 化 为 标 准 形.xxx123213234849、 将 正 交 变 换 , 将二 次 型 化 为 标 准 形 .872210、 写
6、 出 用 正 交 变 换 将 二 次 型 化 成 的 标 准 形。fxx1126,bg11、用 正 交 变 换 化 二 次 型 为 标 准 形， 并 写 出 所 用 正 交 变 换。fxyzxy232212、 用 正 交 变 换 化 二 次 曲 面 方 程 为 标 准 方 程， 并 写 出 所 用 的 正 交 变 换 及 zy424曲 面 的 名 称。13、 写 出 二 次 型 的 矩 阵， 并 求 的 秩。fxyzxyz2246f14、 试 求 二 次 型 的 矩 阵 的 特 征 值, 并 确 定 f 的 正 定 xx(,)123123421323性.15、 试 判 断 实 对 称 矩 阵
7、是 否 为 正 定 矩 阵 ？ALNMOQP349参考答案填空题1、3 2、 a23403、 , 任 意 实 数 b4、 15、0、 6、 , , (24)7、 、 、 8、9、 k110、 ()xxx1234123401FHGIKJ11、 ()xxx12341234059I12、 fxxx(,)()12312312301FIJ选择题1、A 2、D 3、C证明题1、对 方 程 组 的 增 广 矩 阵 作 初 等 变 换：010101002345 1234LNMOQPLaaaai5可 以 看 出 而 的 充 要 条 件 是: 所 以 方 程 组 有 解 的 充 分 必 要 条 件 是RA(),4
8、(),4ai015. ai015.8此 时 原 方 程 组 的 一 般 解为: （ 为 任 意 常 数）xax12345345S|T102、根 据 分 块 矩 阵 的 乘 法 可 得EAEBABnnnLNMOQP00BEnnnn04于 是 两 边 取 行 列 式 得 nnnAEABnnnB因 此 EABnn103、 的 特 征 多 项 式A.fbg它 的 根 即 的 特 征 值 都 不 为 零 的 充 分 必 要 条 件 是fEAn010bg7或 即 是 非 奇 异 的。 104、由 已 知 , 故1E2存 在 正 交 矩 阵 T , 使 , 且 FHGIKJAn120 12(,)inETTi
9、nnI2122102 ,(,)即 ,所 以 121 nAEATE. 10计算题1、对 系 数 矩 阵 作 初 等 变 换：21423013FHGIKJI 6得 原 方 程 组 的 一 般 解 为： （ 为 自 由 未 知 量）x13240RS|Tx3 102、 ALNMOQP13254710706a17( 为 任 意 常 数 ) LMPxk1237 103、方 程 组 的 解 为 xyzw102,.4、原 方 程 组 无 解.5、 AabbaNOQ1203413026故 当 时， 方 程 组 有 解， 且a0RAn()3故 解 是 唯 一 的， 其 中 为 任 意 实 数。 b 106、 的
10、特 征 值 为 , A12313对 应 于 的 特 征 向 量 为 , 1 k10LNMOQP1g5对 应 于 的 全 部 特 征 向 量 为 , 2k21k20b8因 秩 对 应 于 ， 只 有 一 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量， 因 三 阶 矩 阵 只 有 两 个 线 性 EAbg23 A无 关 的 特 征 向 量。 故 不 与 对 角 相 似。 107、令 解 得 特 征 值 Kk230k124,. 5对 于 解 得 特 征 向 量k1412FHGIKJm,对 于 解 得 特 征 向 量22120(,)108、 12354, 31 23206236FHGIKJIJ, 6经 正
11、交 变 换xy123 12360LNMOQP原 二 次 型 化 为: 541232yy. 109、 令 AFHGIKJ8471,EA()92解 得 特 征 值 为 1239, 312230I I,;,;366J,; 7经 正 交 变 换 xy123 123602LNMOQP原 二 次 型 化 为: 91232yy. 1010、 , 1227的 标 准 形 ： f12y11、 , , 123 3, , eT10FHGIKJ,eT210IJ,eT301,bg8正 交 阵 Pe123经 正 交 变 换 ， 化 为 标 准 形 ： Xyfxyz121231012、正 交 阵 PLNMOQ321605在 正 交 变 换 下 方 程 化 为 xyzPLNMOQ4422xy是 单 叶 双 曲 面 1013、 A10233的 秩 为 . f 1014、 1234, 6故 二 次 型 是 正 定 的. 15、 1023031A8故 正 定 矩 阵 10
