1、立体几何大题1.(2009 全国卷)如图,四棱锥 SABCD中,底面 AB为矩形, SD底面 ABC,2AD, 2CS,点 M在侧棱 上, M=60。 (I)证明: 是侧棱 的中点;求二面角 AB的大小。 2.(2009 全国卷)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,ABAC,D、E 分别为 AA1、B 1C 的中点,DE平面 BCC1()证明:AB=AC ()设二面角 A-BD-C 为 60,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小4.(2009 北京卷)如图,四棱锥 PABCD的底面是正方形,PDABC底 面,点 E 在棱 PB 上.()求证:平面E平 面; ()当 2且 E 为 P
2、B 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.6.(2009 四川卷)如图,正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直,ABE是等腰直角三角形, ,45EF(I )求证:FC平 面;(II)设线段 D、 的中点分别为 P、 M,求证: PMACBA1B1C1D EBCE平 面(III)求二面角 FDA的大小。立体几何答案1、 【解析】法二:利用二面角的定义。在等边三角形 ABM中过点 作 FAM交 于点 F,则点 F为 AM 的中点,取 SA 的中点 G,连 GF,易证 ,则 GB即为所求二面角.解法二、分别以 DA、DC、DS 为 x、y 、z 轴如图建立空间直
3、角坐标系 Dxyz,则)2,0(),(),02(),02( SCBA。()设 )0,)(,0baM,则 )2,(,2,),2( baSMBA,SC,由题得M/21,cos,即)2(ba解之个方程组得 1,ba即 ),0(M所以 是侧棱 SC的中点。 SABCDMzxy法 2:设 MCS,则 )12,(),12,0( MB又 oABAB6,),0(故 0cs|,即22)1()(14,解得 1,所以 M是侧棱 SC的中点。()由()得 ),2(),0(A,又 )2,0(AS, )0,2(AB,设 ),(211 zyxnzyxn分别是平面 M、 的法向量,则01AS且 01B,即 0211zxy且
4、022yzx分别令 2x得 ,21yz,即)(),(1n, 3620,cos1 二面角 SAMB的大小 arcos。2、解法一: 解法二:()以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系 Axyz。设 B(1,0,0) ,C(0,b, 0) ,D(0,0,c) ,则( 1, 0,2c),E( 1, 2,c).于是 D=( , ,0) , B=(-1,b,0).由 DE平面1BC知 DEBC, C=0,求得 b=1,所以 AB=AC。()设平面 BCD 的法向量 (,)ANxyz则 0,.ABCND又 BC=(-1,1, 0) ,D=(-1,0,c ),故 0xy
5、cz 令 x=1, 则 y=1, z= 1, AN=(1,1, ).又平面 B的法向量 C=(0,1,0)由二面角 D为 60知, A, =60,故 60cosANA,求得 21c 于是 ),( 21 , ),(1CB2cos11AN,601, 所以 CB1与平面 D所成的角为 304、 【解法 2】如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz,设 ,AaPh则 00,0,BCaPh,() ,CDB, ,AP,ACDP,AC DB,AC平面 PDB,平面 EB平 面 .()当 2PDA且 E 为 PB 的中点时, 120,2,PaEa,设 ACBD=O,连接 OE, 由()知 AC平面 P
6、DB 于 O,AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, 122,0,2EAaaEa,cosO, 45AE,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.多面体 ABCDEF 的体积为 VEABCDV EBCF= 26、 【解析】 解法二: 因 B等腰直角三角形, AB,所以 AB又因为平面 CDAF平 面 ,所以 平面 CD,所以 E即 D、 两两垂直;如图建立空间直角坐标系,(I) 设 1B,则 , )0,1(,)0,1(),(EB 45,AF, 9A,从而 ), ( 20 )1,(E, )0,1(),0(BCE于是 BF, F , E平面 C, 平面 BCE, B FB平 面(II) )0,21(),0(PM,从而 )21,(M于是 04,E F,又 平面 BCE,直线 P不在平面 BCE内,故 平面(III)设平面 BD的一个法向量为 1n,并设 1( ),zyx)21,30(),1(BFD1n即 zyx取 y,则 x, 3z,从而 1n(1,1,3)取平面 ABDD 的一个法向量为 ),0(21cos2121nn、 故二面角 FBA的大小为 3arcos