1、 线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的 n 个元素的乘积的和 nnnjjjjij aa.)1(2122).（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：行列式行列互换，其值不变。 （转置行列式 ）TD行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。常数 k 乘以行列式的某一行（列） ，等于 k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。行列式具有分行（列）可加性将行列式某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列
2、）展开：余子式 、代数余子式ijMijiijMA)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式 时，有唯一解：0D)21(njDxj 、齐次线性方程组 ：当系数行列式 时，则只有零解1逆否：若方程组存在非零解，则 D 等于零特殊行列式：转置行列式： 321313231 aa对称行列式: jiij反对称行列式: 奇数阶的反对称行列式值为零jiij三线性行列式: 方法：用 把 化为零， 。 。化为三角形行列331210a21ak1式上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化
3、三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念： （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)mA*矩阵的运算：加法（同型矩阵）-交换、结合律数乘 -分配、结合律nmijka*)(乘法 注意什么时候有意义nmlkjinlkjlik babBA*1*)()(一般 AB=BA，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0 或 B=0转置 T)( TTBA)(反序定理)kA方幂： 2121)(kk几种特殊的矩阵：对角矩阵：若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA、A+B、 AB 都是 n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若）对称矩阵
4、反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是 0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设 A 是 N 阶方阵，若存在 N 阶矩阵 B 的 AB=BA=I 则称 A 是可逆的， (非奇异矩阵、奇异矩阵 |A|=0、伴随矩阵)B1初等变换 1、交换两行（列）2.、非零 k 乘某一行（列）3、将某行（列）的 K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵）等价标准形矩阵 OIDr矩阵的秩 r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若 A
5、可逆，则满秩若 A 是非奇异矩阵，则 r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩求法：1 定义 2 转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵 ，行列式nijnijak)()(nijnijak逆矩阵注： AB=BA=I 则 A 与 B 一定是方阵 BA=AB=I 则 A 与 B 一定互逆；不是所有的方阵都存在逆矩阵； 若 A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵 A 的逆矩阵也是可逆的，且 1)(2、可逆矩阵 A 的数乘矩阵 kA 也是可逆的
6、，且 1Ak3、可逆矩阵 A 的转置 也是可逆的，且T TT)()(14、两个可逆矩阵 A 与 B 的乘积 AB 也是可逆的，且 11B但是两个可逆矩阵 A 与 B 的和 A+B 不一定可逆，即使可逆，但1)(BA 为 N 阶方阵，若|A|=0，则称 A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。5、若 A 可逆，则 1伴随矩阵：A 为 N 阶方阵，伴随矩阵： （代数余子式）21*A特殊矩阵的逆矩阵：（对 1 和 2，前提是每个矩阵都可逆）1、分块矩阵 则COBAD11COB2、准对角矩阵 ， 则4321A 143121AA3、 4、 （A 可逆）I* 1*5、 6、 （A 可逆）1*n *1*7、 8、
7、*TA *BA判断矩阵是否可逆：充要条件是 ，此时0*1求逆矩阵的方法：定义法 IA1伴随矩阵法*初等变换法 只能是行变换1|AIn初等矩阵与矩阵乘法的关系：设 是 m*n 阶矩阵，则对 A 的行实行一次初等变换得到的矩阵，等nmija*于用同等的 m 阶初等矩阵左乘以 A：对 A 的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n 阶初等矩阵右乘以 A （行变左乘，列变右乘） 第 3 章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r 当 r=n 时，有唯一解；当 时，有无穷多解nrr(AB) r(B)，无解齐次线性方程组：仅有零解充要 r(A)=n 有非零解充
8、要 r(A)向量维数时, 向量组必线性相关；5)部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）.6)若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；7)向量组线性无关 向量组的秩所含向量的个数，向量组线性相关 向量组的秩所含向量的个数;278)向量组 线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组12,n 120nxx有（没有）非零解.例 7.设 维向量组 线性无关,则n12,()mA. 组中减少任意一个向量后仍线性无关B. 组中增加任意一个向量后仍线性无关C. 存在不全为零的数 ,使12,mk 10ikD. 组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出解析 因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后
9、仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组中减少任意一个向量后仍线性无关答案 A例 8 设向量 ，下列命题中正确的是（ 11221122(,)(,),(,),(,)abcabcabcdabcd）A若 线性相关，则必有 线性相关12, 12,B若 线性无关，则必有 线性无关C若 线性相关，则必有 线性无关12,12,D若 线性无关，则必有 线性相关答案 B例 9.设向量组 线性无关,而向量组 线性相关.证明:向量 必可表为 的线性组123, 234,4123,合.测试点 关于线性相关性的几个定理证 1 因为 线性相关，故 线性相关，又因为 线性无关,所以 必可表为234,1234,123,
10、4的线性组合. 证毕.,证 2 因为 线性无关,故 必线性无关,又因为 线性相关123, 23234,故 必能由 线性表示,当然可表为 的线性组合. 证毕.4 123,三、向量组的极大无关组及向量组的秩1极大无关组的定义：设 是向量组 的一个部分组.如果（1） 线性无关；（2）任给 ，都有2,r T12,r T线性相关，则称 是向量组 的一个极大无关组.1 2,r T282向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法例 10 的行向量组的秩 _.1036A测试点 矩阵的秩与向量组的秩之间的关系;答案 2例 11 设 是一个 4 维向量组，若
11、已知 可以表为 的线性组合，且表示法惟一，则向134,4123,量组 的秩为（ ）2A1 B2C3 D4测试点 （1）向量组的秩的概念；（2）向量由向量组线性表示的概念 （3）向量组线性相关和线性无关的概念解 因为 可以表为 的线性组合，且表示法惟一，必有 线性无关,因为4123,123,设 ，由 可以表为 的线性组合，即12304123, 4123kk故 412323kk1 3()()()由表示法惟一，有112233,kkk于是有 ，故 线性无关，又 可以表为 的线性组合，所以 为向2304123,123,量组 的一个极大无关组，故向量组 的秩为 3.14,123,答案 C例 12 设向量组
12、 1234(,),(,4),(,061),(0,3)TTTT（1）求向量组的秩和一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.测试点 求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法解 (2)1341234120230064A 29(1)3() (1)2()212302031 102所以 原向量组的秩为 ， 为所求的极大无关组.3123,4123四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标1. 维向量空间的定义： 维实向量的全体构成的集合称为 维向量空间，记为 .nnnnR2. 子空间的定义：设 是 的一个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称
13、 是 的一个子VR Vn空间,简称为向量空间 .3.生成子空间的定义：设 则由它们的所有线性组合构成 的一个子空间，称它为由12,nm n生成的子空间.12,m例 13 设 1123123(,0),VxxR2123123(,),VxxR，说明哪个是子空间，那个不是.32, 0nn 解析 在 中，任取 为任意数，都有11231231(,),(,),yk3xyx1231(,0)kkV所以 是子空间.1V类似地，可以证明 也是子空间.31212(,)0nnxxx 但对 ，取 都属于 而2123(,)xR(,),(,1)2,V这表明 对加法运算不封闭，故 不是子空间.,0.V2 2V4. 向量空间的基
14、和维数的定义向量空间 的一个向量组 线性无关，且 中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间V12,r V的一个基.零空间 没有基，定义它为 0 维，否则，称向量空间的基所含向量个数 为该空间的维数.设0 r12rxx30称 为 在这组基下的坐标.12(,)rx 例 14 向量空间 为实数的维数为_.1212(,0),Vxx测试点 向量空间维数的概念解 容易看出 是 的一个基。(,)(,)V答案 2例 15 证明向量组 是 的一组基，则向量 在这组基下的123(,)(1,0)(,)3R(8,73)坐标是_.测试点 向量在一组基下的坐标解 因为 123110260TT故 线性无关，所以它是 的一组基.123, 3R考虑 12TTxx该线性方程组的增广矩阵为123138138207015TTA 8013160 得 123,.xx所以 在这组基下的坐标是 （即 ）(87)(3,21)123答案 .,例 16 求由向量组 生成的子空间的一个基，并说明该生成子空间的维123(,)(,0)(,)数.解析 显然 是 的一个极大无关组，故是由向12(,)(,)123(,)(1,0)(2,1)量组 生成的子空间的一个基，所以该子空间的维数等于30 2.第四章 线性方程组一、线性方程组的三种表示方法
