1、1第一章 函数极限连续知识点 ：质闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性初 等 函 数 的 连 续 性 间函 数 的 间 断 点 与 连 续 区函 数 连 续 的 定 义连 续 两 个 重 要 极 限极 限 的 四 则 运 算 法 则无 穷 大 量 和 无 穷 小 量右 极 限函 数 的 左 定 义数 列 极 限 与 函 数 极 限 的极 限 简 单 的 经 济 函 数 模 型复 合 函 数 与 初 等 函 数基 本 初 等 函 数函 数 的 简 单 性 质 义 域函 数 的 定 义 和 函 数 的 定函 数 、教学目的要求 ：（1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简
2、单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。（2）理解数列和函数极限的描述性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及相互关系，理解与掌握无穷小量的性质，了解无穷小量的比较；熟练掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。（3）理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的间断点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；了解闭区间上连续函数的性质。教学重点 ：
3、1函数的定义域2基本初等函数3复合函数24极限的运算5连续的概念教学难点 ：1复合函数2极限的概念3重要极限4连续的概念1.1 函数【教学内容】函数的定义和函数的定义域，函数的简单性质，基本初等函数，复合函数以及初等函数，简单的经济函数模型。【教学目的】理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。【教学重点】1函数的定义域；2基本初等函数的图像与性质；3复合函数的分解；4成本函数、收入函数、利润函数。【教学难点】1复合函
4、数的概念与分解；2经济函数模型建立。【教学时数】3 学时【教学进程】一、函数的概念与性质(一) 函数的概念提问：什么叫函数？请你举出 1 到 2 个函数的例子。教师可举例：在某商店，可一双皮鞋卖 200 元，两双多少元？ 双呢？（ ）xxy20从而归纳出函数的定义。定义定义 11 设有两个变量 和 ，当变量 在非空数集 内取某一数值时，变量 按xyxDy照某种对应法则 ，有惟一确定的数值与之对应，则称变量 为变量 的函数，记作f yx)(f其中 称为自变量， 称为函数 或因变量，数集 称为函数 的定义域xy )(xf函数的表示方法，一般有解析法、表格法、图像法。32定义域提问：如何求函数的定义
5、域？当函数用解析法表示时，求函数的定义域的原则是使函数表达式有意义。因此，要求：（1）分式，分母必须不等于零；（2）偶次根式，被开方式必须大于等于 0；（3）对数，真数必须大于零，底大于零且不等于 1；（4）正切符号下的式子必须不等于 （ ） ；2kZ（5）余切符号下的式子必须不等于 （ ） ；（6）反正弦、反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于 1如果表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们的交集在实际应用问题中，除了要根据解析式子本身来确定自变量的取值范围以外，还要考虑到变量的实际意义例 1 求下列函数的定义域。（1） ； （2） ； xy232xy（3） ； （4） 1)34ln
6、( )12(log4)1arcsin(32x解 （1）分式的分母不能为 0，由 解得 且 ，即定义域为02x),2(),0,(（2）偶次根式被开方式大于等于零，由 解得 或 ；即32x3x定义域为 ),3,(（3）对数的真数大于零，由 解得 ；即定义域为0142x1x或),3()1,(（4）要使式子有意义， 必须满足的条件 ，即 ，解得x0124x21x；即定义域为 21x2,1课堂练习：4（1） （答案： ）16)(2xf ),(（2） （答案： ）)4ln(3)(f )3,2(（3） （答案： ）1arcsixxf4,强调定义域必须用区间或集合表示。介绍邻域概念：我们称开区间 为点 的 邻
7、域，简称点 的邻域。)(00x， 0x0x为正数，称为邻域的半径。如点 1 的 2 邻域，即 1 为中心，2 为半径的邻域指的是开区间（-1，3） 。3函数值提问：什么叫函数值？如何求函数值？如果 取数值 时，则函数 在 处有定义，与 对应的数值 称为函数xD0)(xf00x0y在点 的 函数值，记作)(f 0|)(0xyxf或即 或 0y)(f0|x)(f全体函数值的集合，称为函数的值域。例 2 已知 ，求 ， ， ， 。21)(xf)(faf)1(f)(xf解 ， ， ，52f 21f 21)(2xf221)(xxf提问：什么样的函数是表示同一只函数？函数的定义域、对应法则、值域称为函数的
8、三要素。当两个函数的定义域与对应法则一致时，这两个函数表示的是同一个函数。如 与 ，它们的定义域2)(xf|)(xg与对应法则一致，只是表示不同而已，实际是同一个函数。分段函数提问：我们在产品销售中往往会遇到这样的事，某产品销量在 100 件以内（包括 1005件）按每件 50 元销售，超过 100 件，超过的部分可打八折，那么销售收入与销售量之间的关系如何表示？显然，销售收入 与销售量 之间的关系式要用两个式子表示，当 时，yx 10x；当 时， 所以可表示成xy5010)10(%8501x)(5、y即 1040xy象这样，两个变量之间的函数关系有的要用两个或多于两个的数学式子来表达，即对一
9、个函数，在其定义域的不同范围内用不同数学式子来表达，称为分段函数分段函数的定义域为各段自变量取值集合的并集例 3 设函数 ，求：(1)函数的定义域；(2) ，01)(x、xf )0(f， ；(3)作出图象)1(f2f解 (1)定义域为 ；)-1,D(2) ，0)(f，2；31)2(f(3)函数的图象如图 1-1 所示课堂练习：根据中华人民共和国主席令 2005 年第 44 号，自 2006 年 1 月 1 日起施行新的个人所得税纳税标准，新纳税标准以月收入额 1600 元为起征点，具体如下：表 11全月应纳税所得额（月收入额1600 元） 税率不超过 500 元的 5%6超过 500 元至 2
10、000 元的部分 10%超过 2000 元至 5000 元的部分 15%超过 5000 元至 20000 元的部分 20%超过 20000 元至 40000 元的部分 25%超过 40000 元至 60000 元的部分 30%超过 60000 元至 80000 元的部分 35%超过 80000 元至 100000 元的部分 40%超过 100000 元的部分 45%试表示应缴税款 和月收入额 之间的关系；某人月收入额为 3900 元应缴税多少元？yx答案： 106,2965%4)106( 88,134)( 1602,65216003,7%)3(126,51600, xx xxxxy月收入 元应
11、缴税 元39 27)3(二、函数的性质提问：函数的性质有哪些？让学生敍述函数的四大性质。1。函数的单调性定义 12 设函数 在区间 上有定义，如果 、 ，当 时，有)(xfI1xI221x，则称函数 在 上是单调增加的；当 时，有 ，)(xff )(ff则称函数 在 上是单调减少的I2函数的奇偶性设函数 的定义域 关于原点对称，如果对任意 ，有 ，)(xfyDDx)()(xff则称函数 为奇函数；如果对任意 ， ，则称函数 为偶函x)(ff7数既不是奇函数，又不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.奇偶函数的定义域 关于原点对称，且在平面直角坐标系中，偶函数的图形关于 轴D y对称；奇函数的图形关于
12、原点对称。例 4 判断下列函数的奇偶性：； ； (1)1234xxf )2(xxf2sin)3(253xf解 因为 ，所以() )(11)(344ff 为偶函数)(42xxf因为 ，所以)(2sin)(2sin)( xfxxf 为奇函数xxf2sin)(因为 ，显然 ，35)(533xxf )()(xff，所以 是非奇非偶函数)(xff2课堂练习：判断下列函数的奇偶性。(1) （答案：偶函数）1)(24xf(2) （答案：非奇非偶函数）cos(3) （答案：奇函数）xef)(3函数的周期性提问：学过的函数中哪些具有周期性？定义 14 设函数 的定义域为 ，如果存在常数 ，对任意的 ，有)(xf
13、yDTDx，且使TxD)(xfTf恒成立，则称函数 为周期函数，满足上式的最小正数 称为函数 的周)(xfyT)(xfy期4函数的有界性提问：学过的函数中哪些是有界的？定义 15 设函数 的定义域为 ，如果存在正数 ，使得对任意的 ，)(xfyDMDx8有 Mxf|)(|则称函数 为有界函数；否则称为无界函数有界函数的图像 必介于两)(xf )(xfy条平行于 轴的直线 和 之间。My三、初等函数提问：哪些是基本初等函数？1基本初等函数我们在中学里学过的常数函数 （ 为常数） 、幂函数 （ 为任意实数） 、指cyxy数函数 、对数函数 、三角函数 ，xay1,0xalog1,0xysin， ，
14、 与反三角函数 ， ，costnxycotyrcsinyarco， 统称为基本初等函数，xrtr关键搞清它们的图像与性质。2复合函数举例引出复合函数的概念。定 义 1 6 设 是 的函数， 是 的函数如果 的值域)(ufy)(xu)(xu或其部分是 的定义域的子集，则 通过 构成 的函数称为 的复合函数，记为)(f y)(xf通常 称为外层函数 ，简称外函数； 称为 内层函数，简称内函数； 称)(ufyuu为中间变量例如，由函数 ， 构成了复合函数 。由函数 ，uycos2x2cosxyuey构成了复合函数 。21xu21e例 6 指出下列复 合 函 数 是由哪些简单函数复合而成的(1) ；
15、(2) ； (3) )2tan(xyxysinl )1arcsin(xey解 ( 1) 由 函 数 复 合 而 成 ；22,tau(2) 由 函 数 ， ， 复 合 而 成 的 ；xysilylvsix9(3) 由函数 ， ， ， 复 合 而)1arcsin(xeyueyvwarcsin1x成 课堂练习：指出下列复合函数是由那些简单函数复合而成的。（1） （答案： ）)45sin(xy 45,sinxuy（2） （答案： ）e2ta vetan,2（3） （答案： ）xyl xyl（4） （答案： ）)1cot(ar 1,cot,vru3初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算
16、所构成，并可用一个式子表示的函数叫初等函数。如 ， 等都是初等函数。xey2cos3inxeysin1tal5四、经济函数模型举例1需求函数与供给函数模型在研究市场问题时，常常会涉及两个重要的函数，即需求函数和供给函数。市场对某种商品的需求量 ，主要受到该商品的价格的影响，通常降低商品的价格会Q使需求量增加，提高商品的价格会使需求量减少。在假定其它因素不变的条件下，市场需求量 可视为该商品价格 的函数，称为需求函数，记作Qp)(p供给是与需求相对应的概念，需求是就市场中的消费者而言，供给是就市场中的生产销售者而言的。某种商品的市场供给量 也受商品价格 的制约，价格上涨将刺激生产者S向市场提供更
17、多的商品，供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少。在假定其它因素不变的条件下，供给量 也可看成价格 的函数，称为供给函数，记作Sp)(S常见的需求函数和供给函数有线性函数，二次函数，指数函数等。一般地，需求函数是价格的单调减函数，供给函数是价格的单调增函数。当市场的需求量与供给量持平时，称为供需平衡。此时的价格称为供需平衡价格或均衡价格，记为 ；需求量称为均衡量，0p10记为 。0Q例 7 市场调查显示，某商品当售价为每件 元时，市场需求量为 万件，若该商品701每件降低 元时，需求量将增加 万件，试求该商品的线性需求函数。33.0解 设 ， 由 题 意 得 ，),(bap6085b解 方
18、程 组 得 ， 得 需 求 函 数 为2,1960bapQ219从 上 式 中 解 出 ， 即 得 价 格 函 数 为p80例 8 上例中，当市场售价为每件 元时，生产厂商愿向市场提供 万件商品，当价74格每件增加 元时，生产厂商就多提供 万件商品，试求该商品的线性供给函数。 36.解 依题意有 ，解得 ， 所以供给函数为dc809520c1dpS例 9 试求出上两例中该商品的市场均衡价格与均衡量。解 由 供 需 均 衡 条 件 ， 可 得Qp21902解 得 567即 均 衡 价 格 为 567 元 2成本、收入和利润函数模型在生产和产品的经营活动中，人们总希望尽可能降低成本，提高收入和增加
19、利润。而成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量或销售量 密切相关，它们都可以看q作 的函数，我们分别称为总成本函数，记作 ；总收入函数，记作 ；总利q )(C)(qR润函数，记作 )(qL总 成 本 由 固 定 成 本 和 可 变 成 本 两 部 分 组 成 ：0C)(1q11)()(10qCq其中固定成本 与产量 无关，如厂房、设备费等；变动成本 随产量 的增加0C)(1q而增加，如原材料费等生产 个单位产品时的平 均 成 本 为q qCq)()(10总收入函数与产品的单价和产量或销售量有关如 果 产 品 的 单 位 售 价 为 ， 销 售p量 为 ， 则 总 收 入 函 数 为q pq
20、R)(总 利 润 等 于 总 收 入 与 总 成 本 的 差 ， 于 是 总 利 润 函 数 为)()(CL例 10 已 知 某 种 产 品 的 总 成 本 函 数 为 求 当 生 产 200 个 该21630q产 品 时 的 总 成 本 和 平 均 成 本 解 由 题 意 ， 产 量 为 200 个 时 的 总 成 本 为 02163)(C产 量 为 200 个 时 的 平 均 成 本 为 5.0)2(例 11 已 知 某 产 品 的 成 本 函 数 为 ， 供 给 函 数 为214)(2qC， 求 该 产 品 的 利 润 函 数 ； 并 说 明 该 产 品 的 盈 亏 情 况 6pq解 因
21、 为 ， 由 题 意 得 收 入 函 数 为214)(2qCqpR6)()(2所 以 利 润 函 数 为 )14()()() 22qCqL102又 由 可 得 盈 亏 平 衡 点)( 73或容 易 看 出 ， 当 时 ， ， 说 明 亏 损 ； 当 时 ，q7或 0)(L73q12， 说 明 盈 利 0)(qL课 堂 练 习 ： 某 旅 游 公 司 调 查 发 现 ， 有 一 种 短 途 往 返 游 览 ， 售 出 的 票 数 是 票 价Q的 线 性 函 数 当 票 价 为 50 元 时 ， 有 40 人 买 票 ； 当 票 价 为 80 元 时 ，p只 能 卖 出 10 张 票 试 写 出
22、该 种 短 途 游 览 项 目 的 需 求 函 数 ， 并 确 定 总收 益 与 票 数 的 函 数 关 系 （ 答 案 ： ）RQ29R 某企业生产某种产品的日固定成本为 元，生产一个单位产品的变动成本为30元，试求该企业日总成本函数。若每件产品的出厂价为 元，试问每天250 40生产多少件产品才能达到收支平衡？（ 答 案 ： ）29Q3库存函数模型*例 12 某 商 店 半 年 销 售 500 件 小 器 皿 ， 均 匀 销 售 ， 为 节 约 库 存 费 ， 分 批 进 货 . 每 批 订 货 费 用 （ 订 合 同 手 续 费 、 旅 差 费 、 运 货 费 等 ） 为 80 元 ，
23、每 件 器 皿 的 库 存费 为 每 月 0.4 元 ， 试 列 出 库 存 费 和 进 货 费 之 和 与 批 量 间 的 函 数 关 系 .解 设每一批进货量为 件. 货进店入库，由于均匀销售，库存货量由 件逐渐均匀x x地减少到零件，所以平均库内存货量为 件. 半年共有 6 个月，每件器皿每月的库存费为20.4 元，因此半年的库存总费用为（元）xE.14.01每次进货 件，半年（6 个月）需要进货的次数为 次，总的进货费用x 50（元）x802所以，总费用为（元）E40.121课 堂 练 习 ：某超市常年经销一种日用品，年销售量 箱，每箱进货价 元，粗略地认为按平510均库存量占用资金，
24、此项资金每年应付贷款利息 ，为了保证供应，要有计划地进货，0.8又假设销售量是均匀的，卖完一批再进一批货，因此每批进货量相同。已知进一批货需手续费 元，而库存保管费每箱每年 元，试求库存总费用 与进货批量（即每批进货的5010C数量） 之间的函数关系。 （ 答 案 ： （元） ）x xxE0425.5324金融数理模型（会计、税务、投资专业讲，其余专业不讲）13金融数理分析的基础知识包括资金的时间价值和风险概念。利息是资金的时间价值的一种表现形式。利息又分为单利和复利，若本金在上期产生的利息不再加入本期本金计算利息，就叫单利；反之，若本金在上期产生的利息也纳入本期本金计算利息，就叫复利。常见的
25、金融数理模型有：单利模型，复利模型，按揭模型，证券价格的评估模型等。例 12（复利模型） 设 是本金， 为年复利率， 是计息年数，若每满 年计息一prnt1次，求本利和 与计息年数 的函数模型。 （ 答 案 ： ）AnntrpA1解 由题意，每期的复利率为 ，第一期末的本利和为tr trpt11把 作为本金计息，则第二期末的本利和为1A 212 trtA再把 作为本金计息，如此反复，第 年（第 期）末的本利和为2 ntntrpA1本堂课小结：主要内容：函数的概念，分段函数的概念，函数的性质，基本初等函数与初等函数，复合函数，经济函数模型重点：函数的定义域，基本初等函数的图像与性质，复合函数分解
26、过程。难点：复合函数的概念与分解，经济函数模型的建立作业：P34 习题 1， 2 3 4 7 8 9 10 11141.2 极限的概念【教学内容】数学极限与函数极限的概念，极限存在的充要条件，无穷小量与无穷大量的概念与性质。【教学目的】 理解数列极限与函数极限的描述性定义。理解函数在点 处左、右极限的0x概念，掌握函数在一点处极限存在的充分必要条件，并运用此充分必要条件解决具体问题；理解无穷小量概念，了解无穷大量概念，掌握无穷小量性质了解无穷小量的阶的概念【教学重点】1极限的概念，函数在一点处极限存在的充分必要条件； 2无穷小与无穷大的概念与性质。【教学难点】1极限的概念的理解及应用，理解函数
27、左极限与右极限； 2理解无穷小与无穷大的关系。【教学时数】3 学时【教学进程】1.2.1 数列的极限一、概念的引入【截丈问题】 “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ;21X第 一 天 截 下 的 杖 长 为 ;2为第 二 天 截 下 的 杖 长 总 和 ;112nnn天 截 下 的 杖 长 总 和 为第X21特点：1，无穷项等比数列152，随着项数的增大，数列中项逐渐减少【割圆术】 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽二、数列的极限1、数列的定义定义:按自然数 编号依次排列的一列数 ，称为无穷数,321 ,21nx列，简称数列。其中的每个数称为数列的项， 称
28、为通项(一般项)，记为 。nxnx例如：;,21,84 n21n;,)1(, n)1(n;,342,1 1 ,3,【注意】数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取数列是整标函数2、数列的极限 .时 的 变 化 趋 势当观 察 下 列 数 列 n问题: 当 n 无限增大时，数列是否无限接近于某一确定的数值？如果是，如何确定？16【注意】三、例题选讲 0 ,132n、1 ,)(1 ,54 32 ,0n，1，1，1，1，(1) n+1， 例1例2例317分析：正负交错， n 无限增大，数列不趋于任何定数，无极限.四、课堂练习（1） ,21203n，分析： limn（2） 1，3，5，2n
29、1，分析：随 n 增大数 列的项也无限增大，也不趋于任何定数,无极限.1.2.2 函数的极限人类总在不断探索更加遥远的未知领域。科学工作者利用函数去模拟周围不断变化的事物，并通过对函数的研究去认知变化事物的遥远未来。例如，在十八世纪，著名人口学家马尔萨斯提出，如果人口的数量按照等比级数增长，最终地球将无法承受人类的生存。用数学的语言叙述这个论断：(1+) x = +，其中 是大于 0 的常数。这个问题属于函数极限的范畴。一、当 x时，函数 f(x)的极限 .21)(时 的 变 化 趋 势当观 察 函 数 xxf例118.0)(,21)( xfxxf 时当函 数已知函数 (x 0)，试由函数的图
30、象，判断 x 趋向负无穷大f时函数 y 的变化趋势。因为，x+和 x-可以写为 x 01limx所 以定理1已知函数 y=arctanx,试讨论当 x时，例2例3 AAxxxf()lif()lif()lim讨论19y=arctanx 否有极限，为什么？分析： 不 存 在所 以因 为 arctnxlim.arctnxliarctnxlimxx已知函数 y=sin x,判断当 x时，y=sin x 是否有极限，为什么？分析：由图可见，x+时，y某一固定常数 A x-时，y某一固定常数 A 不 存 在因 此均 不 存 在和所 以 sinxl,sinlsil xx课堂练习:观察下列极限是否存在，如存在
31、请写出极限：二、当 xx0时，函数 f(x)的极限1、当 xx0时，函数 f(x)的极限注意：（）定义中“xx 0”表示 x 从小于 x0和大于 x0的两个方向趋近于 x0；（）定义中考虑的是 xx0时函数 f(x)的变化趋势 ,并不考虑在 x0处 f(x)的情况 . （3 ） 由极限的定义 19 容易得到以下两个结论：考 察下列函数，写出当时函数的极限，并作图验证。2x（）y = c (c 为常数) （）y = x 例4例120解： c2xlim)1( 42xlim)(。的 值和利 用 图 象 考 察 cosxlimsnli00x0sinxlm0 0cosxlim0求极限 ，并作图观察 24
32、lix解： ,f()设 函 数 2xf(),2x约 分 得时因 为 4lim4li2x2x所 以 有2. 当 xx0时, 函数 f(x)的左极限和右极限例2例32142xlim42xli: 或例 如解 ： 3xlimf()li),3(2,3)1( 3x附 近在可 以 认 为时当 xx0)limf()li20x0x左极限与右极限的关系例1220f(x)limf()li0x因 为所 以解： 1)(xlimf()li00xxf()lif()li00因 为 不 存 在所 以 x0,2)(1xf、 f)(、 0x3,f()，、1.2.3 无穷小量和无穷大量一、无穷小量1、 定义例如, ,0sinlm0x
33、.0sin时 的 无 穷 小是 当函 数 x,1x .1时 的 无 穷 小是 当函 数 ,0)(lin .)(时 的 无 穷 小是 当数 列 n讨论若在自变量 的某一变化过程中，函数 的极限为零，则把函数 称为在自变量的这)(f )(xf一变化过程中的无穷小量，简称无穷小。即：极限为零的变量称为无穷小.23注意 （1）无穷小是变量，是量的变化状态，不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.（3）无穷小必须指明自变量的变化趋势。例：自变量 x 在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小。（1） （2）1y 1xy（3） （4）x2 )(2、无穷小与函数极限的关系证：必要性 ,)(lim0
34、Axf设 ,)(Axf令0x则 有 .充分性 ),()(xf设 ,)(0时 的 无 穷 小是 当其 中 xlili00Axx则 lim0x例：当 时，将函数 写成其极限值与一个无穷小量之和的f1)(形式。3、无穷小的运算性质:注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 是 无 穷 小 ，时例 如 n1,lim不 是 无 穷 小但 个 nn推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小xxx1arctn,si,0, 2时当例 如例 1、 求下列极限xsinlm.解：因为 =0，而 即 sinx
35、有界, 由无穷小性质 得原式=0xli1sinxexcos.2定理 1 其中 是当 时的无穷小.)(x0x性质 1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.24解： 0 原式=0xelim,1cosx二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.例如： 2limx241lixx特殊情形：正无穷大，负无穷大 )(lim()(lim)( 00 xfxfxx或注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; .)(li20认 为 极 限 存 在） 切 勿 将（ xf（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大. 但 不 是 无 穷 大是 一 个
36、无 界 变 量时当例 如 ,1sin, xy分析：（1）取 kx),3210(21k无界，,)(yk .)(,Mxyk充 分 大 时当 321012x取 ,kk充 分 大 时当不是无穷大。xyk 2sin)(但 .三、无穷小与无穷大的关系意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例 1 .lim1x求解： 0)(定义 2 若在自变量 x的某一变化过程中，函数 f(x)的绝对值可以任意地大，则称函数当 (或 )时为无穷大,记作)(f0 ).(li)(li0ffxx或定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大25由无穷小与无穷大的倒数关系得：原式= 例 2
37、指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小。 xy)1(解：因为 时， ，所以 时， 是无穷小；0x20x2因为 时， ，所以 时， 是无穷大；1xy)2(解：因为 时， ，所以 时， 是无穷小 01xx1因为 时， ，所以 时， 是无穷大 1x1y)3(解：因为 时， ，所以 时， 是正无穷大 0x10xx1因为 时， ，所以 时， 是无穷小 x练习 指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小 1y)(3x21y)(四、无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质 1：有限个无穷小的代数和为无穷小性质 2：有界函数与无穷小的乘积为无穷小性质
38、3：有限个无穷小的乘积为无穷小例 1 xsinlm0x求解：因为 时， x 为无穷小, 为有界函数,x1sin由性质 2，得到 。01sil0x练习 4：利用无穷小的性质,求下列函数的极限 26x1sinlm)5(i4cosx)(l)3in2)(lm)120x1x0x五、无穷小的比较定义 设 和 是同一变化过程中的两个无穷小，即 lim =0 和 lim=0() 如果 ，那么称 是 的高阶无穷小；0li() 如果 ，那么称 是 的低阶无穷小；lim() 如果 ，那么称 是 的同阶无穷小；)0(lic特别是当 c=1 时，即当 时，则称 与 是等价无穷小,记作： 。1li例 1 选择题（1）当
39、时，变量 是变量 的（ ）0x2x3A高阶无穷小； B低阶无穷小； C同阶无穷小；D等价无穷小解： , 3limli)(0x20xA选（2）当 时，变量 是变量 的（ ）x2A高阶无穷小； B低阶无穷小； C同阶无穷小；D等价无穷小解： ，2xli)(0C选27第 1 章 函数、极限与连续第 1.3 节 极限的运算【教学目的与要求】1.掌握极限的四则运算法则并熟练运用法则求解极限问题；2.熟悉熟练掌握用两个重要极限求极限的方法；3.了解利用无穷小量的等价替换求极限的方法【教学重点、难点】1.熟练运用法则求解极限问题；2.两个重要极限的应用。【教学内容】1.3.1 极限的四则运算一、极限运算法则
40、定理 1证： .)(lim,)(li BxgAxf.0,.)(,)( 其 中BxgAxf0.)1(成 立由无穷小运算法则,得 )()(xf AB)(BA.0.2成 立推论 1 ).(lim)(li,)(limxfcxfcxf 则为 常 数而存 在如 果即：常数因子可以提到极限记号外面.推论 2 .)(li)(li,)(li nnxfxfnxf 则是 正 整 数而存 在如 果定理 2 （复合函数的极限）.,)(lim3;)2()(li ,li,BAfxgf其 中 则设28.)(lim)(li ,)(lim ,)( ,(U , , 00000 0aufxfaufuxx xyfy x 、 、二、求极
41、限方法举例常见方法：a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.（一）多项式与分式函数代入法求极限 则 有设 ,)(.110nnaxaxf nxxx a1)lim()li(lim000 .(f则 有且设 ,)(,)(.20xQPxf)(limli00fxx0).(0xf.,)(则 商 的 法 则 不 能 应 用若 例 1 ).53li2x、解： (25lim3lili222xxxlim)li2xx .例 2 求 .351li23x解： li23xx 31625例 3 求 )1415(limn
42、n nn129解： )12(14 2nn12n)(753435 2 127112 n 12n .lim)435(lim2nnn例 4 .1li22n、解：当 、,先变形再求极限. 2221lim)1(limnnn2lin)(lin.(二) 消去零因子法求极限)0型消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法（1）因式分解例 1 .321lim1xx、 )0(型解： .,、 .)1(后 再 求 极 限因 子先 约 去 不 为 零 的 无 穷 小 x)(3lim21li11 xxx 3li1x.2练习：求 hh0)(li解：原式= xhxh )()(li 220 )()(lim220xhh23x30（2）有理化法，将分子或分母有理化，约去极限为零的因式。例 2 .235lim2xx、解： . ,0)(li 、x)2)(2)(35(li235li22 xxxx)4(35()lim2x .32)5(lim2li22 xxxx练习：求 x1li0 0解：原式= )(li0xxxx2)1(li0=12)1(lim0x（3）变量替换法例 5. 1li3x0解：令 1,66txt、原式= 1lim23t )(li2tt )(1lim21tt 3(三) 无穷小因子分出法)(型、nba,0,0
