1、高考数学(浙江专用),10.3 抛物线及其性质,考点一 抛物线的定义和标准方程 (2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 . 答案 9,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,解析 设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,x0=9,即点 M到y轴的距离为9.,考点二 抛物线的几何性质 1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的 点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是 ( )A. B. C. D.,答
2、案 A 过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1. 可知 = = = = ,故选A.,2.(2016浙江文,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等 于|AF|-1. (1)求p的值; (2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x 轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.,解析 (1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定 义得 =1,即p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可
3、设A(t2,2t),t0,t1. 因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由 消去x得y2-4sy-4=0, 故y1y2=-4,所以,B . 又直线AB的斜率为 ,故直线FN的斜率为- . 从而得直线FN:y=- (x-1),直线BN:y=- . 所以N . 设M(m,0),由A,M,N三点共线得= ,于是m= .,所以m2.经检验,m2满足题意. 综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+). 思路分析 (1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的 方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可
4、得N点坐 标,最后利用A,M,N三点共线可得kAM=kAN,最终求出结果.,评析 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解 析几何的基本思想方法和综合解题能力.,3.(2014浙江文,22,14分)已知ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M 为AB的中点, =3 . (1)若| |=3,求点M的坐标; (2)求ABP面积的最大值.,解析 (1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1. 设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2, 所以P(2 ,2)或P(-2 ,2). 由 =3 ,分别得M 或M .
5、(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由 得x2-4kx-4m=0, 于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m). 由 =3 ,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以 由 =4y0得k2=- m+ . 由0,k20,得- m . 又因为|AB|=4 ,点F(0,1)到直线AB的距离为d= , 所以SABP=4SABF=8|m-1| = . 记f(m)=3m3-5m2+m+1 . 令f (m)=9m2-10m+1=0,解得m1= ,m2=1. 可得f(m)
6、在 上是增函数,在 上是减函数,在 上是增函数.又f = f , 所以,当m= 时, f(m)取到最大值 ,此时k= . 所以,ABP面积的最大值为 .,评析 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式、平 面向量等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.,考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2017课标全国理,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴 于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 6,解析 如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛
7、物线的准线与x轴的交 点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1| =3,从而|FN|=2|FM|=6.思路分析 过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解. 方法总结 当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义 在解题中的重要作用.,2.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .,答案 2,解析 抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=- (p0),故直线x=- 过双曲线x2-y2=1的左焦点
8、(- ,0), 从而- =- ,得p=2 .,考点二 抛物线的几何性质 1.(2016课标全国,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两 点.已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则C的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,答案 B 不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2 ),则x1= = ,由题意可知|OA|=|OD|,得 +8=+5,解得p=4.故选B.,2.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4, 则抛物线的焦点坐标为 . 答案 (1,0) 解析 本题主要考
9、查抛物线的性质,弦长的计算. 由题意得a0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,不妨令A在B的上方,则A(1,2 ),B(1, -2 ),故|AB|=4 =4,得a=1,故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).,3.(2017山东理,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 - =1(a0,b0)的右支与焦点为F的 抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .,答案 y= x,解析 本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法. 设A(x1,y1),B(x2,y2). 因为4|OF|=|AF|+|
10、BF|,所以4 =y1+ +y2+ ,即y1+y2=p.由 消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2 =0,所以y1+y2= .由可得 = ,故双曲线的渐近线方程为y= x. 思路分析 由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y1+y2的值(用p表示).再联立双曲线和抛物 线的方程,消去x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y1+y2.从而得 的值,近而得渐近 线方程. 解题关键 求渐近线方程的关键是求 的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、 |BF|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又A、B为两曲线的交点,因此应联立它们的方程 求解.这样利用y1+y2这个
11、整体来建立等量关系便可求解.,4.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点 作直线l与抛物线C交于不同 的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点. (1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A为线段BM的中点.,解析 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系. (1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p= . 所以抛物线C的方程为y2=x. 抛物线C的焦点坐标为 ,准线方程为x=- . (2)由题意,设直线l的方程为y=kx+ (k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N
12、(x2,y2). 由 得4k2x2+(4k-4)x+1=0. 则x1+x2= ,x1x2= . 因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y= x, 点B的坐标为 . 因为y1+ -2x1=,= = = =0, 所以y1+ =2x1. 故A为线段BM的中点. 方法总结 在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联 立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解. 易错警示 在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty +n的形式,注意先讨论斜率是不是0.
13、,考点一 抛物线的定义和标准方程 (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则 = .答案 1+,C组 教师专用题组,解析 |OD|= ,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b, 故C ,F , 又抛物线y2=2px(p0)经过C,F两点, 从而有 即 b2=a2+2ab, -2 -1=0, 又 1, =1+ .,考点二 抛物线的几何性质 (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的 交点为Q,且|QF|= |PQ|. (1)求C的方程; (2)过F的直线l与
14、C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、 N四点在同一圆上,求l的方程. 解析 (1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0= . 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . 由题设得 + = , 解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程为y2=4x. (5分) (2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0). 代入y2=4x得y2-4my-4=0.,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4. 故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|= |y1-y2|=4(m2+1). 又l的斜率为-m,
15、 所以l的方程为x=- y+2m2+3. 将上式代入y2=4x,并整理得y2+ y-4(2m2+3)=0. 设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中点为E , |MN|= |y3-y4|= . (10分) 由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|,从而 |AB|2+|DE |2= |MN|2, 即4(m2+1)2+ + = .,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. (12分) 评析 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置
16、关系、四点共圆等基础知识. 考查解析几何的基本思想方法,考查运算求解能力和综合解题能力.对于第(2)问将直线l方程 设为x=my+1(m0),这样可以避免讨论斜率不存在的情形,使问题简单化.,考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),2)抛物线y2=4ax的焦点坐标为 ( ) A.(a,0)或(-a,0) B.(a,0) C.(-a,0) D.(|a|,0),三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案 B 当a0时,抛物线的焦点为(a,0),当a0时,焦点坐标为(-(-a),0).故选B.,2.(2017浙江镇海中学模拟卷二,1)已知抛物线C:
17、y=4x2,则其准线方程为 ( ) A.x=-1 B.y=-1 C.x=- D.y=-,答案 D 将抛物线方程化为标准方程得x2= y,故其准线方程为y=- ,故选D.,3.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,12)已知抛物线y2=2px(p0)上一点A(1,a)到焦点的距 离为2,则该抛物线的准线方程为 ;a= .,答案 x=-1;2,解析 由焦半径公式知1+ =2,所以p=2,故准线方程为x=-1. 由点A在抛物线上知a2=2p=4,从而a=2.,4.(2018浙江名校协作体期初,15)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y 轴于点N.若 = ,则| |=
18、.,答案 5,解析 由题意知F(1,0),设M(x,y),N(0,n),由 = ,得x= ,y= . 由y2=4x,得n2=24,则| |= =5.,5.(2018浙江名校协作体,21)已知抛物线C:x2=2py(p0),且抛物线C在点P(1, f(1)处的切线斜率 为 .直线l与抛物线交于不同的两点A,B,且直线AP垂直于直线BP. (1)求证:直线l过定点,并求出定点坐标; (2)直线BP交y轴于点M,直线AP交x轴于点N,求 的最大值.,解析 (1)证明:y= ,y= x. 当x=1时,得 = ,p=2. 抛物线的方程为x2=4y. (2分) 设A(2t1, ),B(2t2, ), AP
19、BP,P ,kAPkBP= =-1, t1t2+ (t1+t2)+ =0(*), (4分) 又kAB= = , 直线AB的方程为y- = (x-2t1), 即2y=(t1+t2)x-2t1t2, (6分) 将(*)式代入直线AB的方程得(t1+t2)(x+1)+ -2y=0, 令x+1=0, -2y=0,解得直线AB过定点 . (8分),(2)设直线BM的方程为y- =k(x-1),不妨设k0, 联立 得x2-4kx+4k-1=0,=16k2-16k+40, 根据根与系数的关系得xB+xP=4k,xB=4k-1, 由于APBP,同理可得xA=- -1, (10分) 又xN= +1,xM=0,
20、|AP|BP|= |xP-xA| |xB-xP|= (4k-2)= , |MP|NP|= |xP-xM| |xN-xP|= , (12分) = = =16 =-32 +5050, 的最大值为50. (15分),考点二 抛物线的几何性质 1.(2018浙江镇海中学期中,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为原点,若M是抛物线上的动点,则 的最大值为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 设M(x,y),则 = = . 令x+1=t1,则 = = , (0,1, = 时,即x=2时, 取到最大值 ,故选C.,2.(2018浙江镇海中学5月模拟,16)已知抛物线y2=4x,焦点记为F,过点F作
21、直线l交抛物线于A,B 两点,则|AF|- 的最小值为 .,答案 2 -2,解析 由焦点弦的性质知, + =1,即 =2- ,所以|AF|- =|AF|+ -22 - 2,当且仅当|AF|= 时取等号.,3.(2018浙江嵊州高三期末质检,21)如图,已知抛物线y2=x,点A(1,1),B(4,-2),抛物线上的点P(x,y) (y1),直线AP与x轴相交于点Q,记PAB,QAB的面积分别是S1,S2. (1)若APPB,求点P的纵坐标; (2)求S1-5S2的最小值.,解析 (1)因为kAP= = = ,kBP= = = . 由APBP,得kAPkBP= =-1,即y2-y-1=0,得y=
22、. (2)解法一:设直线AP:y-1=k(x-1),则Q , 由y1,知0k . 联立 消去x得ky2-y+1-k=0, 则yP= ,P . 所以|AP|= |xP-1|= = , |AQ|= |xQ-1|= = , 点B到直线AP的距离d= = = .,所以S1-5S2= |AP|d- |AQ|d= (|AP|-5|AQ|)d = = - (k+1)= = -24, 故当k= 时,S1-5S2有最小值-24. 解法二:设P(t2,t)(t1),则kAP= ,所以直线AQ:y-1= (x-1),则Q(-t,0). 又直线AB:x+y-2=0,|AB|=3 . 则点P到直线AB的距离d1= =
23、,点Q到直线AB的距离d2= = , 所以S1-5S2= |AB|(d1-5d2)= = (t-2)2-24. 故当t=2时,S1-5S2有最小值-24.,4.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),21)点A(x0,y0)(x00)在抛物线y=x2上运动,设A点处的切 线为l,过点A作l的垂线交抛物线于另一点B,直线AB与y轴的交点为E,O是原点. (1)若OAE是等腰三角形,求A点坐标; (2)当 为何值时,OAB的面积最小.,解析 (1)kl=2x0,故直线AB的方程是y=- + +y0,E .若OE=OA,则 = + ,即 +y0= ,此方程无解;若OE=EA,则 = + ,即y0=
24、0,不合题意;若OA=EA,则 + = + ,即y0= , A . (2)将y=- + +y0代入抛物线方程得x2+ - -y0=0. SOAB= |OE|xA-xB|= = + +2x0 = , 令|x0|=t,则SOAB= = , SOAB= ,令SOAB0,得t2 , 当x2= 时,OAB的面积最小.,5.(2016浙江宁波二模,19)在“2016”的Logo设计中,有这样一个图案: .其由线段l、抛物 线弧E及圆C三部分组成.对其进行代数化的分析,如图建系,发现:圆C的方程为(x-4)2+y2=16,抛 物线弧E:y2=2px(p0,y0,0x8),若圆心C恰为抛物线y2=2px的焦点
25、,线段l所在的直线恰为 抛物线y2=2px的准线. (1)求p的值及线段l所在的直线方程; (2)P为圆C上的任意一点,过P作圆的切线交抛物线弧E于A、B两点,问是否存在这样的点P,使 得弦AB在l上的投影的长度与圆C的直径之比为43?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明 理由.,解析 (1)由题意易得p=8,直线方程为x=-4. (5分) (2)假设存在这样的点P,设P(x0,y0)(0x08), 则切线方程为(x0-4)(x-4)+y0y=16, (7分) 将其与抛物线方程y2=16x联立,显然x04,y00. 整理得 y2+y0y-4x0=0, (9分) 设弦AB在l上的投影为MN.
26、由题意可得|MN|=|yA-yB|= = , 解得x0=1(x0=16舍去). 此时P(1, ),则yA= ( +2),yB= ( -2), (11分) 因为抛物线弧的右上端点坐标为(8,8 ), 且 ( +2)8 ,故此时的P不满足条件,即这样的P点不存在. (15分),1.(2018浙江宁波模拟,8)设抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(5,0)的直线与抛物线相交于A,B两点, 与抛物线的准线相交于C,若|BF|=5,则BCF与ACF的面积的比 = ( ) A. B. C. D.,B组 20162018年高考模拟综合题组 (时间：60分钟 分值：88分),一、选择题,答案 D 设直线AB:
27、x=my+5,代入抛物线y2=4x可知,y2-4my-20=0,所以yAyB=-20.(不妨设yA0 yB) 由抛物线定义知,|BF|= +1=5,所以yB=4,yA=-5,所以xA= . 分别过点A,B作准线的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1. 因为A,B,C三点共线,所以 = , 由三角形相似知 = = = = ,故选D.,2.(2018浙江杭州二中期中,8)已知点A(4,4)在抛物线y2=2px(p0)上,该抛物线的焦点为F,过点A 作抛物线准线的垂线,垂足为E,则EAF的平分线所在的直线方程为 ( ) A.2x+y-12=0 B.x+2y-12=0 C.2x-y-4=0 D.x
28、-2y+4=0,答案 D 由题意知,所求直线即为在点A处的切线4y=4 ,即x-2y+4=0,故选D.,3.(2017浙江“超级全能生”联考(3月),4)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,若抛物线上 的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a= ( ) A.4 B.4或-4 C. -2 D.-2或2,答案 D 依题意,可设抛物线方程为y2=-2px(p0),从而有1+ =2,得p=2.所以抛物线方程为y2 =-4x. 又点A(-1,a)在抛物线上,所以a2=4,所以a=2,故选D.,4.(2018浙江台州第一次调考(4月),12)抛物线C:y2=8x的焦点F的坐标为 ,若点P( ,m)在
29、抛物线C上,则线段PF的长度为 .,二、填空题,答案 (2,0); +2,解析 显然,焦点F的坐标为(2,0);由焦半径公式知|PF|= +2.,5.( 2018浙江镇海中学阶段性测试,16)已知M(a,4)为抛物线y2=2px(p0)上一点,F为抛物线的焦 点,N为y轴上的动点,当sinMNF的值最大时,MNF的面积为5,则p的值为 .,答案 2或8,解析 设N(0,n),当sinMNF的值最大时,有MNF= ,从而有 =0, 得 ap+n2-4n=0,又2ap=16,ap=8,n2-4n+4=0,即n=2,当N的坐标为(0,2)时,sinMNF的值最 大. 过点M作y轴的垂线,垂足为M,则
30、梯形OFMM的面积为10,10= 4,又ap=8,得p=2或8.,6.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,13)设抛物线y2=4x的焦点为F,P,R为抛物线上的点,若|PF| =4,则点P的坐标是 ;若直线RF与抛物线的另一交点为Q,且RQO(O为坐标原点)的 重心在直线y= x上,则直线RF的斜率是 .,答案 (3,2 );2或1,解析 由xP+1=4,得xP=3,所以yP= =2 ,故P点坐标为(3,2 ). 显然直线RF的斜率存在且不为0,设直线RF:y=k(x-1)(k0).将其代入y2=4x,消去x,得ky2-4y-4k=0, 设R(x1,y1),Q(x2,y2),所以y1+y2
31、= ,y1y2=-4, 因此x1+x2= ( + )= -2y1y2= +2, 所以RQO的重心坐标为 ,又重心在直线y= x上,故 = ,即k2-3k+2 =0,所以k=1或2.,7.(2018浙江温州二模(3月),21,15分)如图,斜率为k的直线交抛物线x2=4y于A,B两点,已知点B的 横坐标比点A的横坐标大4,直线y=-kx+1交线段AB于点R,交抛物线于点P,Q. (1)若点A的横坐标等于0,求|PQ|的值; (2)求|PR|QR|的最大值.,三、解答题,解析 设P(x1,y1),Q(x2,y2). (1)由题意知A(0,0),B(4,4),k=1. (2分) 由 得x2+4x-4
32、=0, 则|PQ|= |x1-x2|=8. (6分) (2)设AB的方程为y=kx+b,代入x2=4y,得x2-4kx-4b=0. xB-xA= =4,k2=1-b. (9分) 由 得xR= = . (10分) 由 得x2+4kx-4=0, x1+x2=-4k,x1x2=-4, (11分) 则|PR|QR|=-(1+k2)(x1-xR)(x2-xR)=-(1+k2)x1x2-xR(x1+x2)+ =-(1+k2) =- + , (13分),当k= 时,(|PR|QR|)max= . (15分),8.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),21,15分)如图,点P(1,1)为抛物线y2=x上一定点,
33、斜率为- 的直 线与抛物线交于A,B两点. (1)求弦AB的中点M的纵坐标; (2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点),过Q作PA的平行线交抛物线于E,F两点,求证:|QE|QF| -|QP|QB|为定值.,解析 (1)由 作差,可得(yA+yB)(yA-yB)=xA-xB, = =- ,(*) (3分) 所以yA+yB=-2,yM= =-1. (5分) (2)证明:设Q(x0,y0),直线EF:x-x0=t1(y-y0),联立方程组 y2-t1y+t1y0-x0=0, 所以yE+yF=t1,yEyF=t1y0-x0, (8分) |QE|QF|= |yE-y0| |yF-y0|=(1+ )|
34、 -x0|, 同理,|QP|QB|=(1+ )| -x0|. (11分) 由(1)中(*)可知,t1= = =yA+yP,t2= =yB+yP, (13分) 所以t1+t2=(yA+yB)+2yp=-2+2=0,即t1=-t2 = , 所以|QE|QF|=|QP|QB|, 即|QE|QF|-|QP|QB|=0. (15分),9.(2018浙江杭州第二次高考教学质量检测(4月),21,15分)如图,过抛物线M:y=x2上一点A(点A不 与原点O重合)作抛物线M的切线AB,交y轴于点B,点C是抛物线M上异于点A的点,设G为ABC 的重心(三条中线的交点),直线CG交y轴于点D. (1)设A(x0,
35、 )(x00),求直线AB的方程; (2)求 的值.,解析 (1)因为y=2x,所以直线AB的斜率k=y =2x0. 所以直线AB的方程为y- =2x0(x-x0), 即y=2x0x- . (6分) (2)由题意得,点B的纵坐标为yB=- ,所以AB的中点坐标为 . 设C(x1,y1),G(x2,y2),直线CG的方程为x=my+ x0. 联立 得m2y2+(mx0-1)y+ =0. 因为G为ABC的重心,所以y1=3y2. 由根与系数的关系,得y1+y2=4y2= ,y1y2=3 = , 所以 = , 解得mx0=-32 , 所以点D的纵坐标为yD=- = ,故 = =4 6. (15分),
36、10.(2017浙江温州三模(4月),21)已知A,B,C是抛物线y2=2px(p0)上三个不同的点,且ABAC. (1)若A(1,2),B(4,-4),求点C的坐标; (2)若抛物线上存在点D,使得线段AD总被线段BC平分,求点A的坐标.,解析 (1)A(1,2)在抛物线上,p=2. (2分) 设C ,则由kABkAC=-1,得t=6,即C(9,6). (5分) (2)设A(x0,y0),B ,C , 则直线BC的方程为(y1+y2)y=2px+y1y2. (7分) 由kABkAC= =-1,得 y0(y1+y2)+y1y2+ =-4p2, (9分) 代入直线BC的方程,得(y1+y2)(y+y0)=2p(x-2p-x0), 故直线BC恒过点E(x0+2p,-y0), (11分) 因此直线AE的方程为y=- (x-x0)+y0, 代入抛物线的方程y2=2px(p0), 得点D的坐标为 . (13分),因为线段AD总被线段BC平分, 所以 解得x0= ,y0=p, 即点A的坐标为 . (15分),
