1、高考数学(浙江专用),第十四章 数系的扩充与复数的引入,考点 复数的概念及运算 1.(2018浙江,4,4分)复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 ( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,答案 B 本小题考查复数的有关概念和运算. = =1+i, 的共轭复数为1-i. 思路分析 (1)利用复数的运算法则把 化为a+bi(a,bR)的形式; (2)由共轭复数的定义得出结论.,2.(2014浙江,2,5分)已知i是虚数单位,a,bR,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
2、D.既不充分也不必要条件,答案 A 当a=b=1时,有(1+i)2=2i,即充分性成立.当(a+bi)2=2i时,有a2-b2+2abi=2i,得 解得a=b=1或a=b=-1,即必要性不成立,故选A.,评析 本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.,3.(2014浙江文,11,4分)已知i是虚数单位,计算 = .,答案 - - i,解析 = = = =- - i.,4.(2017浙江,12,6分)已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .,答案 5;2,解析 本题考查复数的四则运算,复数相等的充要条件,复数模的运算,
3、解二元二次方程组,考 查运算求解能力. 解法一:(a+bi)2=a2-b2+2abi,a,bR, a2+b2=2a2-3=5,ab=2. 解法二:由解法一知ab=2, 又|(a+bi)2|=|3+4i|=5,a2+b2=5.,5.(2016浙江自选,“复数与导数”模块,03(1),5分)已知i为虚数单位.若复数z满足(z+i)2=2i,求复 数z.,解析 设复数z=a+bi,a,bR,由题意得a2-(b+1)2+2a(b+1)i=2i, 解得 或 z=1或z=-1-2i.,评析 本题考查复数的运算,正确将(z+i)2=2i变形是求解的关键.,6.(2015浙江自选,“复数与导数”模块,03(1
4、),5分)已知i是虚数单位,a,bR,复数z=1+ai满足z2+ z=1+bi,求a2+b2的值.,解析 由题意得(2-a2)+3ai=1+bi, 解得a2=1,b=3a, 故a2+b2=10.,考点 复数的概念及运算 1.(2018课标全国理,1,5分) = ( ) A.- - i B.- + i C.- - i D.- + i,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 D 本题主要考查复数的四则运算.= = =- + i,故选D.,2.(2018课标全国文,2,5分)设z= +2i,则|z|= ( ) A.0 B. C.1 D. 答案 C z= +2i= +2i= +2i=i, |z|=|
5、i|=1,故选C.,3.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数 的共轭复数对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 D 本题主要考查复数的概念、运算和几何意义. = = + i,其共轭复数为 - i,又 - i在复平面内对应的点 在第四象 限,故选D.,4.(2018课标全国理,2,5分)(1+i)(2-i)= ( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i,答案 D 本题考查复数的运算. (1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.,5.(2017课标全国文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( ) A.i(1
6、+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i),答案 C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i2i=-2; B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i; D.i(1+i)=-1+i,故选C.,6.(2017课标全国文,2,5分)(1+i)(2+i)= ( ) A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i,答案 B 本题考查复数的基本运算. (1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B.,7.(2017北京文,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 ( ) A.(
7、-,1) B.(-,-1) C.(1,+) D.(-1,+),答案 B 本题考查复数的运算. 复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限, a-1.故选B.,8.(2017课标全国理,3,5分)设有下面四个命题: p1:若复数z满足 R,则zR; p2:若复数z满足z2R,则zR; p3:若复数z1,z2满足z1z2R,则z1= ; p4:若复数zR,则 R. 其中的真命题为 ( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4,答案 B 本题考查复数与共轭复数的概念、复数的运算以及命题真假的判断,考查学生的 逻辑思维能力和运算求解能力. 解法
8、一(特值法):取z=i,则z2=-1R,但zR,故命题p2不正确;取z1=i,z2=2i,则 =-2i,z1z2=-2R,但z1 ,故命题p3不正确,结合选项可知选B. 解法二(直接法):对于命题p1,设z=a+bi(a,bR),由 = = R,得b=0,则zR成立,故命 题p1正确;对于命题p2,设z=a+bi(a,bR),由z2=(a2-b2)+2abiR,得ab=0,则a=0或b=0,复数z可能为 实数或纯虚数,故命题p2错误;对于命题p3,设z1=a+bi(a,bR),z2=c+di(c,dR),由z1z2=(ac-bd)+ (ad+bc)iR,得ad+bc=0,不一定有z1= ,故命
9、题p3错误;对于命题p4,设z=a+bi(a,bR),则由zR, 得b=0,所以 =aR成立,故命题p4正确.故选B.,9.(2017山东理,2,5分)已知aR,i是虚数单位.若z=a+ i,z =4,则a= ( ) A.1或-1 B. 或- C.- D.,答案 A 本题主要考查复数的概念及运算. z=a+ i, =a- i,又z =4,(a+ i)(a- i)=4,a2+3=4,a2=1,a=1.故选A.,10.(2016课标全国,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|= ( ) A.1 B. C. D.2,答案 B x,yR,(1+i)x=1+yi,x+xi=
10、1+yi, |x+yi|=|1+i|= = .故选B.,评析 本题考查复数相等的条件,属容易题.,11.(2016课标全国,2,5分)若z=1+2i,则 = ( ) A.1 B.-1 C.i D.-i,答案 C z =(1+2i)(1-2i)=5, = =i,故选C.,12.(2016课标全国,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取 值范围是 ( ) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+) D.(-,-3),答案 A 由已知可得 -3m1.故选A.,13.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+ =3-2i,其中i为虚数单位,则z=
11、 ( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i,答案 B 设z=a+bi(a、bR),则2z+ =2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,a=1,b=-2,z=1-2i,故选B.,14.(2015课标,1,5分)设复数z满足 =i,则|z|= ( ) A.1 B. C. D.2,答案 A 由已知 =i,可得z= = = =i,|z|=|i|=1,故选A.,15.(2015课标,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i, 则a= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,答案 B (2+ai)(a-2i)=-4i4a+(a2-4)i=-4i, 解得a
12、=0.,16.(2015安徽,1,5分)设i是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 B = =-1+i,复数 在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.,17.(2015湖北,1,5分)i为虚数单位,i607的 为 ( ) A.i B.-i C.1 D.-1,答案 A i607=i4151+3=(i4)151i3=-i, i607的共轭复数为i.,18.(2015湖南,1,5分)已知 =1+i(i为虚数单位),则复 数z= ( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i,答案 D z= = = =
13、-1-i.,19.(2015山东,2,5分)若复数z满足 =i,其中i为虚数单位,则z= ( ) A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i,答案 A =i(1-i)=1+i,则z=1-i.,20.(2015四川,2,5分)设i是虚数单位,则复数i3- = ( ) A.-i B.-3i C.i D.3i,答案 C i3- =-i+2i=i.故选C.,21.(2015福建,1,5分)若集合A=i,i2,i3,i4(i是虚数单位),B=1,-1,则AB等于 ( ) A.-1 B.1 C.1,-1 D.,答案 C A=i,-1,-i,1,B=1,-1,所以AB=1,-1,故选C.,22.(2
14、014辽宁,2,5分)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z= ( ) A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i,答案 A 由(z-2i)(2-i)=5,易得z= +2i=2+i+2i=2+3i,故选A.,23.(2014安徽,1,5分)设i是虚数单位, 表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则 +i = ( ) A.-2 B.-2i C.2 D.2i,答案 C +i = +i(1-i)= +i+1=2.故选C.,24.(2014江西,1,5分) 是z的共轭复数,若z+ =2,(z- )i=2(i为虚数单位),则z= ( ) A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i
15、,答案 D 令z=a+bi(a,bR),则 =a-bi,所以z+ =2a=2,得a=1,(z- )i=2bi2=-2b=2,得b=-1,z=1-i, 故选D.,25.(2014山东,1,5分)已知a,bR,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2= ( ) A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i,答案 D a-i与2+bi互为共轭复数,a=2,b=1,(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.,26.(2017课标全国文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 C z=i(-
16、2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限. 故选C.,27.(2018江苏,2,5分)若复数z满足iz=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为 .,答案 2,解析 本题考查复数的概念、复数的运算. iz=1+2i, z= = =2-i. 复数z的实部为2. 一题多解 设z=x+yi,x,yR, iz=1+2i, i(x+yi)=1+2i,即-y+xi=1+2i, x=2,y=-1,复数z的实部为2.,28.(2018天津文,9,5分)i是虚数单位,复数 = . 答案 4-i 解析 本题主要考查复数的四则运算.= = =4-i.
17、,29.(2017天津文,9,5分)已知aR,i为虚数单位,若 为实数,则a的值为 .,答案 -2,解析 因为 = 为实数,所以- =0, 解得a=-2.,30.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是 .,答案,解析 本题考查复数的运算. z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1, |z|= = .,31.(2016天津,9,5分)已知a,bR,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则 的值为 .,答案 2,解析 由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则 解得 所以 =2.,32.(2016北京,9,
18、5分)设aR.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .,答案 -1,解析 (1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,aR,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,a+1=0,a= -1.,33.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是 .,答案 5,解析 (1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.,34.(2015重庆,11,5分)设复数a+bi(a,bR)的模为 ,则(a+bi)(a-bi)= .,答案 3,解析 复数a+bi(a,bR)的模为 = ,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-
19、bi)=a2-(bi)2=a2-b2i2=a2+b2=3.,35.(2015江苏,3,5分)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为 .,答案,解析 设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi, 由复数相等的定义得 解得 或 从而|z|= = .,36.(2014北京,9,5分)复数 = .,答案 -1,解析 = = =-1,故填-1.,37.(2014江苏,2,5分)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为 .,答案 21,解析 z=(5+2i)2=21+20i,故z的实部为21.,考点 复数的概念及运算 1.(2017山东文,2,5分)已知i是虚
20、数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2= ( ) A.-2i B.2i C.-2 D.2,C组 教师专用题组,答案 A 本题考查复数的运算. 由zi=1+i得z= =1-i, 所以z2=(1-i)2=-2i,故选A.,2.(2014陕西,8,5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命 题真假性的判断依次如下,正确的是 ( ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假,答案 B 先证原命题为真:当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,bR),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|= ,原命题为真,故其逆否命题为
21、真;再证其逆命题为假:取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2 不是互为共轭复数,其逆命题为假,故其否命题也为假.故选B.,3.(2015北京,1,5分)复数i(2-i)= ( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i,答案 A i(2-i)=2i-i2=1+2i,故选A.,4.(2015广东,2,5分)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则 = ( ) A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.3-2i,答案 A i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2+3i, 所以 =2-3i,故选A.,5.(2014天津,1,5分)i是虚数单
22、位,复数 = ( ) A.1-i B.-1+i C. + i D.- + i,答案 A = = =1-i.,6.(2014湖南,1,5分)满足 =i(i为虚数单位)的复数z= ( ) A. + i B. - i C.- + i D.- - i,答案 B 由 =i,得z= = = - i,故选B.,7.(2014大纲全国,1,5分)设z= ,则z的共轭复数为 ( ) A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i,答案 D z= = =1+3i, =1-3i.故选D.,8.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 .,答案 -2,解
23、析 (1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数, 解得a=-2.,9.(2014四川,11,5分)复数 = .,答案 -2i,解析 = =-2i.,考点 复数的概念及运算 1.(2018浙江宁波模拟(5月),2)已知复数z满足z(1+i)=2-i(i为虚数单位),则z的虚部为 ( ) A.- i B. i C.- D.,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案 C z= = = - i,z的虚部为- ,故选C.,2.(2018浙江名校协作体,2)在复平面内,复数z和 表示的点关于虚轴对称,则复数z= ( ) A. + i B. - i C.- + i D.- - i
24、,答案 A 复数 = =- + i对应的点 关于虚轴对称的点为 ,即复数z=+ i,故选A.,3.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,2)已知i为虚数单位,复数z满足(1+i)z=i,则|z|= ( ) A. B. C. D.,答案 C (1+i)z=i, |z|=1,|z|= ,故选C.,4.(2018浙江嵊州第一学期期末质检,2)若复数z= (i是虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为( ) A.-2 B.- C. D.2,答案 C z= = ,令2m-1=0,解得m= ,故选C.,5.(2018浙江嘉兴第一学期期末,2)若复数z=2-i,i为虚数单位,则(1+z)(1-z)= ( ) A.
25、2+4i B.-2+4i C.-2-4i D.-4,答案 B 由z=2-i,得(1+z)(1-z)=(3-i)(-1+i)=-3+3i+i-i2=-2+4i,故选B.,6.(2018浙江温州二模(3月),2)已知aR,i为虚数单位,且(1+ai)(1+i)为实数,则a= ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2,答案 B (1+ai)(1+i)=1-a+(1+a)i为实数,1+a=0,a=-1,故选B.,7.(2017浙江温州十校联考,2)若复数z= ,其中i为虚数单位,则 = ( ) A.1-i B.1+i C.-1+i D.-1-i,答案 A z= =1+i, =1-i,故选A.,8.(
26、2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,1)已知复数z=a-1+(a2-2)i在复平面上对应的点落在第四 象限,则实数a的取值范围是 ( ) A.(- ,1) B.(1, ) C.1, D.(- , ),答案 B 由题意得, 1a ,故选B.,9.(2017浙江温州2月模拟,2)设复数z1=-1+2i,z2=2+i,其中i为虚数单位,则z1z2= ( ) A.-4 B.3i C.-3+4i D.-4+3i,答案 D z1z2=(-1+2i)(2+i)=-4+3i,故选D.,10.(2018浙江宁波高三上学期期末,12)设i为虚数单位,则复数 的虚部为 ,模为 .,答案 -2;,解析 = = =3
27、-2i,则其虚部为-2,模为 = .,11.(2017浙江台州4月调研卷(一模),11)已知复数z= (aR)的实部为1,则a= ,|z|= .,答案 1;,解析 化简得z=a-i,因此a=1,故|z|= .,12.(2016浙江高考冲刺卷(六),“复数与导数”模块,1)若关于x的复系数方程(4+3i)x2+mx+4-3i= 0有实数根,求复数m的模的最小值.,解析 设t是原方程的一个实数根,显然t0,设m=a+bi(a,bR),代入原方程得 |m|2=a2+b2=25 +1464,当且仅当t=1时等号成立. 故复数m的模的最小值是8.,1.(2018浙江台州第一次调考(4月),2)若复数z=
28、(1-i)(2+i)(其中i为虚数单位),则z在复平面内对应 的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,B组 20162018年高考模拟综合题组 (时间：15分钟 分值：62分),一、选择题,答案 D 复数z=(1-i)(2+i)=3-i对应的点(3,-1)在第四象限,故选D.,2.(2018浙江台州第一学期期末质检,2)若复数z= (i为虚数单位),则|z|= ( ) A.2 B.1 C. D.,答案 C 解法一:z= = = =- i,|z|= ,故选C. 解法二:|z|= = = ,故选C.,3.(2018浙江杭州第二次教学质量检测(4月),2)设aR,若(
29、1+3i)(1+ai)R(i是虚数单位),则a= ( ) A.3 B.-3 C. D.-,答案 B 由复数的四则运算知,(1+3i)(1+ai)=(1-3a)+(a+3)i,令a+3=0,所以a=-3,故选B.,4.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),1)已知1+i是复系数方程ax2+x+i=0的根,则a= ( ) A.-1+ i B.1- i C.-1- i D.1+ i,答案 A 由题意知a= ,将x=1+i代入得a= =-1+ i,故选A.,5.(2017浙江镇海中学模拟卷四,2)已知i是虚数单位,复数z满足z(1-i)=2-3i,则复数z所表示的点 位于复平面的 ( ) A.第一
30、象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 D 本题考查复数的四则运算和复数的几何意义.由题可知,z= = = , 在复平面内,z对应的点 在第四象限,故选D.,6.(2017浙江绍兴教学质量调测(3月),2)已知i是虚数单位,复数z= ,则z = ( ) A.25 B.5 C. D.,答案 D z =|z|2= = ,故选D.,7.(2017浙江镇海中学模拟卷一,2)已知复数z=1+i(其中i是虚数单位),则 = ( ) A. - i B. + i C.- - i D.- + i,答案 A 本题考查复数的四则运算. = -z2= -(1+i)2= -2i= - i,故选A.,8.(
31、2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,2)在复平面内,复数6+5i、-2+3i对应的点分别为A、B,若 复数z对应的点C为线段AB的中点, 为复数z的共轭复数,则 z的值为 ( ) A.61 B.13 C.20 D.10,答案 C 由题意知,点A、B的坐标分别为(6,5)、(-2,3),则点C的坐标为(2,4),所以z=2+4i,故 z =|z|2=20.,9.(2018浙江杭州第一学期教学质检,11)设复数z= (其中i为虚数单位),则复数z的实部为 ,虚部为 .,二、填空题,答案 2;1,解析 由已知可得z= = =2+i,故复数z的实部为2,虚部为1.,10.(2018浙江嘉兴教学测试(4月
32、),11)若复数z满足(3+i)z=2-i(i为虚数单位),则z= ;|z|= .,答案 - i;,解析 由(3+i)z=2-iz= = = = - i,|z|= = .,11.(2018浙江湖州、衢州、丽水第一学期质检,14)已知a,bR,i是虚数单位,z1=a+i,z2=b-i.若z1z2 是纯虚数,则ab= ,|z1z2|的最小值是 .,答案 -1;2,解析 z1z2=(a+i)(b-i)=ab+1+(b-a)i,由z1z2是纯虚数得 |z1z2|=|b-a|= = 2, 则最小值为2.,12.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),12)设复数z满足z+|z|=2+i,那么z= , = .,答案 +i;,解析 设z=a+bi(a,bR),代入条件,根据复数相等的定义,有 解得a= ,b=1,则z=+i,= = = .,13.(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,12)已知复数z满足 =1+i,则z= ;若实数x满足 |x-z|2,则x的取值范围是 .,答案 -i;- , ,解析 z= =-i,|x-z|=|x+i|2,即 2,所以x- , .,
