1、1截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法:(1)过某一点作长边的垂线(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。补短法(1)延长短边。(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。例:HPGFB AC DE在正方形 ABCD 中,DE=DF,DG CE,交 CA 于 G,GHAF,交 AD 于 P,交 CE 延长线于 H,请问三条粗线 DG,GH,CH的数量关系方法一(好想不好证)HPGFB AC DE方法二(好证不好想)2HMPGFB AC DE例题不详解。(第 2 页题目答案见第 3、4 页)FE
2、D CA B(1)正方形 ABCD 中,点 E 在 CD 上,点 F 在 BC 上, EAF=45 。o求证:EF=DE+BF(1)变形 aEFD CA B正方形 ABCD 中,点 E 在 CD 延长线上,点 F 在 BC 延长线上, EAF=45 。o请问现在 EF、DE、BF 又有什么数量关系?(1)变形 bEFD CA B正方形 ABCD 中,点 E 在 DC 延长线上,点 F 在 CB 延长线上, EAF=45 。o请问现在 EF、DE、BF 又有什么数量关系?(1)变形 cjFEAB CD正三角形 ABC 中,E 在 AB 上,F 在 AC上EDF=45 。DB=DC, BDC=12
3、0 。oo请问现在 EF、BE、CF 又有什么数量关系?(1)变形 dFED CA B正方形 ABCD 中,点 E 在 CD 上,点 F在 BC 上,3EAD=15 , FAB=30 。AD=oo3求 AEF 的面积(1)解:(简单思路)GFED CA B延长 CD 到点 G,使得 DG=BF,连接AG。由四边形 ABCD 是正方形得ADG= ABF=90oAD=AB又 DG=BF所以 ADG ABF(SAS)GAD= FABAG=AF由四边形 ABCD 是正方形得DAB=90 = DAF+ FABo= DAF+ GAD= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90 -45 =45ooGAE
4、= FAE=45又 AG=AFAE=AE所以 EAG EAF(SAS)EF=GE=GD+DE=BF+DE变形 a 解:(简单思路)GEFD CA BEF= BF-DE在 BC 上截取 BG,使得 BG=DF,连接AG。由四边形 ABCD 是正方形得ADE= ABG=90oAD=AB又 DE=BG所以 ADE ABG(SAS)EAD= GABAE=AG由四边形 ABCD 是正方形得DAB=90 = DAG+ GABo= DAG+ EAD= GAE所以 GAF= GAE- EAF=90 -45 =45ooGAF= EAF=45又 AG=AEAF=AF所以 EAF GAF(SAS)EF=GF=BF-
5、BG=BF-DE变形 b 解:(简单思路)4GEFD CA BEF=DE-BF在 DC 上截取 DG,使得 DG=BF,连接AG。由四边形 ABCD 是正方形得ADG= ABF=90oAD=AB又 DG=BF所以 ADG ABF(SAS)GAD= FABAG=AF由四边形 ABCD 是正方形得DAB=90 = DAG+ GABo= BAF+ GAB= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90 -45 =45ooGAE= FAE=45又 AG=AFAE=AE所以 EAG EAF(SAS)EF=EG=ED-GD=DE-BF变形 c 解:(简单思路)GFEAB CDEF=BE+FC延长 AC 到
6、点 G,使得 CG=BE,连接DG。由 ABC 是正三角形得ABC= ACB=60o又 DB=DC, BDC=120所以 DBC= DCB=30oDBE= ABC+ DBC=60 +30 =90oACD= ACB+ DCB=60 +30 =90所以 GCD=180 - ACD=90ooDBE= DCG=90又 DB=DC,BE=CG所以 DBE DCG(SAS)EDB= GDCDE=DG又 DBC=120 = EDB+ EDCo= GDC+ EDC= EDG所以 GDF= EDG- EDF=120 -60 =60ooGDF= EDF=60又 DG=DEDF=DF所以 GDF EDF(SAS)E
7、F=GF=CG+FC=BE+FC5变形 d 解:(简单思路)延长 CD 到点 G,使得 DG=BF,连接AG。过 E 作 EH AG.前面如(1)所证,ADG ABF, EAG EAFGAD= FAB=30 ,S EAG=S EAFo在 Rt ADG 中, GAD=30 ,AD=o3AGD=60 ,AG=2o设 EH=x在 Rt EGH 中和 Rt EHA 中AGD=60 , HAE=45ooHG= x,AH=x3AG=2=HG+AH= x+x,EH=x=3- 3S EAF=S EAG=EH AG 2=3- .(第 5 页题目答案见第 6 页)(2)OEDBAC正方形 ABCD 中,对角线 A
8、C 与 BD 交于 O,点 E 在 BD 上,AE 平分 DAC。求证:AC/2=AD-EO(2)加强版FEMBD CAN正方形 ABCD 中,M 在 CD 上,N 在 DA延长线上,CM=AN,点 E 在 BD 上,NE平分 DNM。请问 MN、AD、EF 有什么数量关系?6(2)解:(简单思路)OEBDACG过 E 作 EG AD 于 G因为四边形 ABCD 是正方形ADC=90 ,BD 平分 ADC,AC BDo所以 ADB= ADC/2=45o因为 AE 平分 DAC,EO AC,EG AD所以 EAO= EAG,DGE= AOE= AGE=90 又 AE=AE,o所以 AEO AEG
9、(AAS)所以 AG=AO,EO=EG又 ADB=45 , DGE=90oo所以 DGE 为等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2(2)加强版解:(简单思路)PFEMBD CANGQMN/2=AD-EF过 E 作 EG AD 于 G,作 EQ AB 于Q,过 B 做 BP MN 于 P按照(2)的解法,可求证,GNE FNE(AAS)DGE 为等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF,因为四边形 ABCD 为正方形,ABC= GAQ= BCM=90oBD 平分 ABC,BC=BAABD= ABC/2=45 ,又 EQB=90ooEQB 为等腰 Rt 三角形
10、, BEQ=457因为 GAQ= EGA= EQA=90o所以四边形 AGEQ 为矩形,EQ=AG=AD-EF,EQ/AGQEN= ENG又 ENG= ENF,所以 QEN= ENF由BC=BA, BCM= BAN=90 ,CM=AN,o所以 BCM BAN(SAS)BM=BN, CBM= ABNABC=90 = ABM+ CBMo= ABM+ ABN= MBN,又 BM=BN所以 MBN 为等腰 Rt 三角形,又 BP 斜边 MN 于 P,所以 NPB 为等腰 Rt 三角形。BP=MN/2, PNB=45 。oBNE= ENF+ PNBBEN= QEN+ QEB又 QEN= ENF, PNB= QEB=45 o所以 BNE= BENBN=BE,又 PNB= QEB=45 = NBP= EBQo所以 BEQ BNP(SAS)EQ=BP因为 EQ=AG=AD-EF,BP=MN/2所以 AD-EF=MN/2。