1、第十章 曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求：1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2、会计算两类曲线积分3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes ）公式并会计算两类曲面积分。5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等） 。二、教学内容及学时分配：第一节 对弧长的曲线积分 2 学时第二节 对坐标的曲线积分 2 学时第三节 格林公式及其应用 2 学时习题课 2 学
2、时第四节 对面积的曲面积分 2 学时第五节 对坐标的曲面积分 2 学时第六节 高斯公式 通量与散度 2 学时第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 2 学时习题课 2 学时三、教学内容的重点及难点：1、二类曲线积分的概念及其计算方法2、二类曲面积分的概念及其计算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。5、两类曲线积分的关系和区别6、两类曲面积分的关系和区别7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用第一节 对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。1、引例：求曲线形构件
3、的质量最后举例巩固计算方法的掌握。2、 为第一类曲线积分，其中 为曲线，被积函数 中的点szyxfd),( ),(zyxf位于曲线 上，即 必须满足 对应的方程， 是弧微分、),(zyx),(zyx 22dds弧长元素。若 是封闭曲线，则第一类曲线积分记为 zyxf),(3、第一类曲线积分的应用：1） 、曲线 的长 s=sd2） 、若空间曲线形物体的线密度为 ， ，则其质量 M ;),(zyxf),(z dszyxf),(质心坐标为 ，其中 ;),(zyxszfdsyxfMdsx ),(,对 x 轴的转动惯量 zyfzyI),()(24、第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线 参数方程为： ，
4、，则 ，)(tzytxt dtztytxds222)()()(= 。szyxfd),(,)(tytxf tztytx)()(222例 1 计算 ，其中 ： ， ， ，dsz22cosinz20t解 因为 = = ， ,2incott1t dttd1)(cos)(2所以 szyx)(22 )38()1(0 例 2 ，其中 为球面 与平面 的交线；d|22zyxyx解 的参数方程为 ，tztsin2,co， ，根据对称性得到 =0t dttzyxs22 Lds| 4d420例 3 计算 ，其中 s)( :122zayx)(解 : , ,1sincoztayx20dtzttd222)()()(tdt
5、ta)c(sin22szyx )1(2)1(20adta或解：被积函数 中的点 位于曲线 上，即 必须满足 对应2zyx,zyx),(zyx的方程 ，所以 ， = =ds22dsa)1(2)1()1(22adsa二、教学要求和注意点1、理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线积分为定积分时，定积分的上限不能比下限小。三、教学设计与安排（包含于上面）四、作业 同步训练习题一第一型曲线积分的概念和性质1金属曲线的质量设有金属曲线 L（如图 91） ，L 上各点的密度为二元连续函数 （，） ，求这曲线的质
6、量。把 L 分成 n 个小弧段：s ， s ，s ，其中 s （i=1,2,n）也表示这些小弧段的12ni长度。在 s 上任取一点（ ， ） ，由于线密度函数是连续的，因此当 s 很小时，si ii i的质量m 便可近似地表示为： m （ ， ）s ，于是整个金属曲线地质量近似ii iiii于 M ( ， )s .记 s ,令 0 取上式和式的极限，得ni1ii ni1maxiM ( ， )s .0lmiii2第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义定义：设 L 为 xoy 平面内的曲线弧， 是 L 上的有界函数,把 L 分成 n 个小弧段: ),(yxfs ，s ，s ，其中 s （i=1,
7、2,n）也表示第 i 个小弧段的弧长. 记 s ,12ni ni1maxi在每个小弧段 s 上任取一点（ ， ）,作和式 s ,如和式极限i iini1),(ifi 0lis 存在 ,且极限值与 L 的分法和点（ ， ）在 s 上的取法无关, 则称此极限值),(ifi iii为函数 (x,y)在曲线 L 上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作 ,即Ldsyxf)(= s 称 为被积函数,L 为积分曲线弧.Lidsf),(0lmni1)(ifi),(yxf注 1:同前面一样,并非任一个函数 在 L 上的对弧长的曲线积分都是存在的 .但若在 L 上连续,则其积分是存在的 .故以后在不作特别说
8、明的情况下,总假定 在)(yxf ),(yxfL 上连续.注 2:显然物体 M 的质量为:M= Ldsyx),(注 3:类似地,我们可定义 对于空间曲线弧 的曲线积分: =,zf dszyxf),(ni iisf10),(lm注 4:若 L 为闭曲线 ,则 在 L 上的对弧长的曲线积分记为),(yxf Ldsyxf),(性质 1.若 (i=1,2n)存在,C (i=1,2,n)为常数,则 =Lidsf),(i niisyxfc),(niLiyxfc1),(性质 2:如按段光滑曲线 L 由曲线 L ,L ,L 首尾相接而成, 且 (i=1,2,n)都12niLdsyxf),(存在,则 =Ldsy
9、xf),(niLidsyxf1),(性质 3:若 , 都存在,且在 L 上 ,则fg),(yxf)(gLdsyxf),(Ldsyxg),(性质 4:若 存在,则 也存在,且有fLdsyxf)(Ldsyxf),(Lsyxf),(性质 5:若 存在,L 的弧长为 S,则存在常数 C,使得 =CSLsyx),( ,二.第一型曲线积分的计算法我们可应用下列定理将第一型曲线积分转化为定积分来计算:定理:设曲线 L 的方程为: , , ,其中 , 在 上具有连续)(tx)(ty)(t,的一阶导数, 为 L 上的连续函数,则有 =)yxf Ldsyxf),(dtttf 22)()(),(证:详细的证明书上有
10、, 大家自己看, 现在我们从另外一方面来说明这个问题: 我们用来表示 L 上的以 为取值区间所对应部分的弧长,则有 =)(tst)(ts.t dt22)(两边求微分,得 dts2)(进而: ttfyxf 2)(),(),( 又当 在 L 上变化时,相应地 在 上取值, 故, t= . (注: 并非严格的证明)Ldsyxf),(dtttf 22)()(),(注 1:若 L 的方程为 , 则 =x,Lsyxf,dxxf2)(1(,若 L 的方程为 , cy,则 =)()( yydc)2:若空间曲线 的方程为: , , , .则有(txttz=Ldszyxf),( dttf 222)()(),(3:
11、定理.注 1.2 中的定积分的上下限,一定满足:下限 上限.这是因为, 在这里的 L(或 )是无向曲线弧段,因而单从 L 的端点看不出上下限究竟是什么 .这就要从 L(或 )的方程的形式来考虑.又 0 0)(tstst0lim从而当 很小时, 0.此时若视 为 L 上某一段弧的弧长,应有 0 0.这/sst说明此时 的变化是由小到大的.而这里 正是 的一般形状,故下限 上限.t i例 1: 设 L 是半园周: 0 . 计算tayxsincotLdsyx)(2解: = = =Ldx)(20 222)cos()(ta03t3a例 2: 设 为球面 被平面 所截的圆周, 计算 .3zyzyxdsx2
12、解:根据对称性知 = =sx2d2sz2= = = 的弧长= =dsx231zy)(2231a2.a2.33第二节 对坐标的曲线积分一、内容要点引例：变力沿曲线所作的功由例子引入对坐标的曲线积分的定义，给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分化为定积分的计算方法，并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法，最后举例巩固计算方法的掌握。一、 为第二类曲线积分，其中 是一条定向曲线，dzyxRdzyxQdzyxP),(),(),( 为向量值函数， 为定向弧长元素（有向曲,(F r),(dzyx线元）若曲线 的参数方程为： ，则)(tzytx切向量 ，单位切向量)(,)(tytx )cos,(cse弧长元
13、素 =dsdt22)(定向弧长元素 =r,(z)(,),dtztyx dtztyx)(,(stztttztttztytx )()(,)()(,)()( 22222 = dsecos,cs= = yxRdxQdzP, Frdse= =szzyx),(s)(cos)( dstztytxtzyxRQzyP 22)()( )(,(上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。例 1 把第二类曲线积分 化成第一类曲线积分，dRdyzxQdzyxP,),(),(其中 为从点 到点 的直线段。)0,()1,2(解 方向向量 ，其方向余弦 ，, 2cos,1s,2cos原式= =dzyxRzyxQzy
14、xP),(cos),(cos),( dszyxRzyxQzP),()()(例 2.把第二类曲线积分 化成第一类曲线积分，其中 为LQdP, L从点 沿上半圆周 到点)0,( 2)1,(解 的参数方程为 ，切向量L0:xyx ),(yx)21,(x其方向余弦 ， ，2cos1cos= = 。LdxQyxP),(),( dsyxQxPLco),(),( dsyQyxPL),(1),(2二、第二类曲线积分的应用：若一质点从点 A 沿光滑曲线（或分断光滑曲线） 移动到点 B，在移动过程中，这质点受到力 ，则该力所作的功kzyxRjzyxizyxF ),(),(),(W= =rddzddP),(三、第二
15、类曲线积分的计算方法：1、若空间定向曲线 的参数方程 ，则batzyx:)(dxRdyzxQdzyxP,(),(),(= ba dtztytxRtyzttt )(,)()2、若平面定向曲线 的参数方程： ，则Lbat:=LdyxQyxP),(),(ba dtytxQtyxP)(),()(),(例 1 计算 ，其中 为曲线 上从 到z2sin,coazk0的一段弧。解 = = 。ydzx2 dakcossin022323例 2 计算曲线积分 ，其中 是曲线c zyxzxy)()(d)( C从 轴正向看去， 取顺时针方向1zyxzC分析 先写出曲线 的参数方程，可令 ， ，则 ，cosxsinys
16、inco2z为参数，由题设， 的起点、终点对应的参数值分别为 和 0；在代入计算公式。 2解 曲线 的参数方程为 ， ， ， ，于Ccsxiysicoz 0:是原式 02 cos)in2o()sin(co( d)in)(in(0 d)1c2si 20二、教学要求和注意点1、二类曲线积分的定义及计算方法，并讲清楚它们的联系和区别。2、曲线积分与二重积分由格林公式联系起来，并由此得出结果可用曲线积分计算平面图形的面积。在本章的讲述中，应提醒学生注意：1、对坐标的曲线积分与曲线方向有关。2、求曲线型构件的质量转动惯量，长度及重心坐标用对弧长的曲线积分；求变力沿曲线所作的功用对坐标的曲线积分。三、作业
17、 同步训练习题这里讲的是曲线积分的另一种形式.假设一质点受力 = i+ j 的作),(yxF),(P),(yxQ用沿平面曲线 L 运动,求当质点从 L 的一端点 A 移动到另一端点 B 时,力 所做的功W.(这里假设 , 在 L 上连续)(yxPQ首先,对有向曲线 L 作分割: 用点 M ,M ,M 与 M =A,M =B 将 L 分成 n 个小段121n0n(i=1,2n).iiM1以 表示其弧长.记该分割的细度为 s ,当 很小时,有向的小弧段 可isni1maxiisiiM1用有向的直线段 来代替: = i+ j,其中 = , =ii1iiiixiyixiiy.而 , 分别为 M 与 M
18、 点的坐标 .又在 上任取一点1iy)(iiyx(i1ii ii1（ ， ） .当 很小时,由于 , 在 L 上连续, 故可用在iiiiM1is)(yxPQ（ ， ）点处的力 = i+ j 来近似代替 上其它各点的力,因ii )(iF,i iiiM1此变力 在小弧段 上所作的功 ,就近似地等于常力 沿),(yxii1iW)(iF所做的功.故有 . = +ii1i),(iiiM1)(iPix,iQiy所以 W= .niiW1n iiii yQxP1 ,且当 时,有 W= .0ni iiii10 ),(),(lm2.第二型曲线积分(对坐标的曲线积分 )的定义定义:设 L 是 面上从点 A 到点 B
19、 的有向光滑曲线, , 在 L 上有界,把xoy )(yxPQL 分成 n 个小弧段 s ，s ，s ，其中 s （i=1,2,n）也表示第 i 个小弧段的弧长.在12nis (i=1,2,n)上任取一点（ ， ）,做和式 ,其中 和i iii iiii yx1 ),(),(ix是 分别在 轴和 轴上的投影.记 s ,如果极限iyisxyni1maxi存在,且极限值与 L 的分法及点（ ， ）在 s 上的ni iiiiQP10 ),(),(lm iii取法无关,则称此极限值为函数 , 在有向曲线弧 L 上的第二型曲线积分或对yxP)(坐标的曲面积分,记作 Ld),(即有: = ,LyxQdyx
20、P),( )(yxQ其中 , 称为被积函数,L 称为积分曲线弧.同理 ,当 , 都在 L)(yxPQ上连续时,上述积分才存在. 故今后总假定 , 在 L 上连续)(yxP注 1: 完全可以类似地扩到空间曲线 上,得dzRdyzxQdzyxP),(),(),(2: 当 L 为封闭曲线时 ,常记为 : LdyxQyx),(3:这两类线积分,除了形式上不同之外,还有一关键性区别在于:第一类线积分与 L 的方向无关, 而第二类线积分与 L 的方向有关.( 下见性质 2)性质 1:若 L 由有限有向曲线弧组成, 例如 L=L +L ,则12= +LdyxQyxP)()(1 )(),(LdyxQxP2 )
21、,(),(LdyxQxP性质 2:设L 是 L 的反向曲线弧,则=)(),(Ly),(),(一. 第二型曲线积分的计算法同前面一样,我们可以将对坐标的曲线积分转化为定积分来计算, 有下列定理:定理: , 在有向曲线弧 L 上连续,L 的方程为: , . 当 由 变)(yxPQ)(tx)(ty动到 时,对应 L 上的动点 从 L 的起点 A 变到终点 B, , 在 上连续),(yxM,且不全为零,则= (证明略)LdyxyxP),()( dttQttP)(,)(),(注 1:若 L 的方程为 , 在 a ,b 之间.且 x=a 且 x=b 分别为 L 的起点和终点, 则有=yxQyx),(),(
22、ba xxx)(,()(同理,若 L 的方程为 ,也有类似的结果.2:设空间曲线 的方程为: , , , ,且 , 分别对应)(tx)(ty)(tzt于 的起点和终点,则有 =dzyxRdzyxQdyxP)() tttRttQttP ,()(),()(),(3:定理及注 1,2 中的定积分的上下限分别时参数所对应的参数值,起点对应的值为下限,终点对应的值为上限.例 3 计算 .其中 L 为抛物线 上的点 A(-1,1)到 B(4,-2)的一段.Lxydxy2解法一:由题知 L 的方程为 , 从-1 到-2, 故x= = = =xy21.y214dy2156解法二: L 的方程可写为 , 从 1
23、 到 4x= = = =Lxyd41).(d4123125x6例 4 求在力 的作用下: ,zyxF(1) 质点由点 A(a,0,0)沿螺旋线 L 到点 B(0,0,2b)所作的功 . L : , 1 1taxcos, taysinbtz)2(o(2) 质点由 A(a,0,0)沿直线 L 到点 B(0,0,2b)所作的功.解: W= =20dsFLdzyxdy)(1) W= )sinco(s.co)in.(i dtbtattatat= =20 2sbb2(2) L : x=a, y=0,z=t (0t2b) 则2W= = = .b dta0 )0(bdta20)()(ba二. 两类线积分之间的
24、关系直到现在为止,我们已学过两种曲线积分: 和 .两Lsyxf),(LdyxQyxP),(),(者都是转化为定积分计算.那么两者有何联系呢?这两种曲线积分来源于不同的物理原型 ,有着不同的特性, 但在一定的条件下,我们可建立它们之间的联系.设有向曲线弧 L 表示成以弧长 s 为参数的参数方程: x=x(s),y=y(s), 0s,这里 L 由点A 到点 B 的方向就是 s 增大的方向 .又设 , 依次为从 x 轴正向 ,y 轴正向到曲线 L 的切线的正向的夹角,则, adsxcocosinadsy(cos,cos 也称为有向曲线 L 上点(x,y) 处的切向量的方向余弦,切向量的指向与曲线 L
25、 的方向一致). 因此 ,得=LyxQdyxP),()( dssyxQsyxPl c)(,c)(,0=d,Loo注 1: 上式可推广到空间曲线的曲线积分上去,有 L dzyxRzyxzyx),(),(),(= dsQPco,coscos 其中 cos,cos,cos 是 L 上点(x,y,z) 处的切向量的方向余弦.例 5 把第二型曲线积分 化为第一型曲线积分, 其中 L:LyxdyxP)(),(上从(0,0)到(1,1)的一段弧.xy解: ,L 的切向量 T=1, xy21 x21= =21cosxx421cosxx4于是 =LdyQyxP),(),( dsyQxPL 41),(412),(
26、= .sxL41,2,第三节 格林公式一、内容要点（教学设计）先介绍单连通域，画图说明然后回忆牛顿菜布尼兹公式，由此推出格林公式（书上定理 1）并证明。提出格林公式将二重积分与曲线积分联系起来了。举 2 个例子说明格林公式的用法再介绍平面上曲线积分与路径无关的条件。给出 149 页定理 3，并证明，更重点讲 151 页公式，然后举 2 个例子说明该公式的用法。该堂课讲 153 页习题 3，再由此说明格林公式的条件。二、教学要求和注意点（略）三、作业 同步训练习题格林(Green)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系.下面我们来规定 L 的正向: 设区域 D 是由一条或几条光滑曲
27、线所围成. 边界曲线 L 的正向规定为: 当人沿着 L 行走时, 区域 D 总在他的左边 .若与 L 的正向相反 ,就称为负方向.记作L.定理 1 设闭区域 D 由分段光滑的闭曲线 L 围成,函数 , 在 D 上具有)(yxPQ一阶连续偏导数, 则= (1)LQdyPxDdxyP其中左端的闭曲线积分是沿边界曲线 L 的正方向. 公式 (1)称为格林公式.证:(i)首先我们证明一个特殊情况:D 既可表示为 X-型区域,也可表示为 Y-型区域.由 D 可表示为 X 型区域 ,不妨设D=(x,y) : axb, y (如图) )(1x2则 =DdxyPbadyxP)(21,= ba )(,)(,2又
28、 = + = +LPdx12LdxbadxP,1badxP)(,2=ba )(,)(,2因此有 =LdxDxdy同理,D 可表示为 Y-型区域,不难证明: =LQDdxy将上面两式相加得 = .LdyPxDyPx(ii)对于一般的区域 D,即如果闭区域不满足上述条件(既可表示为 X-型区域,也可表示为 Y-型区域),则可以在 D 内引进若干条辅助线把 D 分成有限个部分闭区域 ,使每个部分满足上述条件.在每快小区域上分别运用reen 公式, 然后相加即成 .如图中 D 的边界曲线 L,通过作辅助线 AE 将 L 分为 L ,L ,同时将区域 D 分为 D ,D1212,它们都满足上述条件, 于
29、是= , =EALQdyPx11DdxyPAELQdyPx2D上面两式相加,并注意到 = + , = + , = .EAL11EAEL22LAEEA又 L=L +L , D= D +D , 于是 = .122QdyPxDdxyP注:在reen 公式中 ,当 , 时,有 =1(1)=2, 代入公式, 得xQy= = (其中 为 的面积)LdDx2A于是 . (2)yxA21例 5 计算椭圆 围成的面积.ba解: 椭圆的参数方程为 , , .txcostayin20t由式(2) , 得 A=20 )s(i. db= = .2)s(cttab例 6 求 I= , 其中 L 的为任一不含原点的闭区域
30、D 的边界.Lyxd2解: , . 不难验证 ,2yxP2yxQ2)(yxPQ且 P,Q 在 D 上连续, 故由 Green 公式,得= dyxI 0Dd例 7 计算 , 其中 L 是包围原点在内的区域 D 的正向边界曲线(如图)LI2解: , . 因 , 在原点(0,0)处不连续,故不能直接利用格林公2yxP2yxQPQ式. 选取充分小的半径 0,在 D 内部作圆周 : .记 与 之间的区域为 D , Dr22ryxL1的边界曲线为 ,这时 D 内不含原点, , 在 D 上连续, 应用格林公式. 由 1 )(1L1 1, 2)(yxPQ0yPxQ= = =1L01DdLyxdI22yxd其中
31、 的参数方程为: , , .trxcostryin0t= .I 20202isdtttr平面曲线积分与路径无关的条件从前面的讨论,我们看到第二型曲线积分当积分路径起点,终点固定时,它的数值一般与积分曲线有关. 如: 中, 当 L 的端点固定在 (1,1)点和(4,2)点时,若 LLdyxyx)()(取不同的路径, 所得到的积分值不一样.这说明积分值与所取的积分路径有关.然而, 存在着另一种情况,即积分值与积分路径无关,只与起点和终点有关. 亦即对任意两条以 A 为起点,B 为终点的曲线 和 ,有 = .121LQyPx2Lyx本段将讨论曲线积分在什么条件下,其值与路径无关.首先,介绍单连通区域
32、的概念:若对于平面开区域 D 内任一条封闭曲线 L,均可以 D以外的点而连续收缩于 D 中某一点,即 L 所围的点全属于 D,那么就称 D 为单连通区域,通俗地说 D 是没有“洞”的区域.否则,称为复(多)连通区域.(如图).定理: 设是一个单连通的开区域,函数 , 在内具有一阶连续偏导)(yxPQ数,则下述命题是等价的1) 在 D 内恒成立;yPxQ2) 对 G 内任意闭曲线 L 成立;0Ld3) 在 G 内与积分路径无关;yPx4) 存在可微函数 ,使得 在 G 内恒成立.)(xuQdyPxu证 1) 2).已知 在 G 内恒成立,对 G 内任意闭曲线 L,设其所包围的闭区域为 D,yxQ
33、由格林公式LdPDdxyP0Dd2) 3).已知对 G 内任一条闭曲线 L, . 对 G 内任意两点 A 和 B,设0LQdyPx和 是 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线( 如图),则 是 G 内一条封闭曲线,1L2 21L从而有= + 。LQdyPx01Ldyx2Ldyx于是 1 22QP即曲线积分 与路径无关,其中 L 位于 G 内.Ldyx3) 4).已知起点为 ,终点为 的曲线积分在区域 G 内与路径无关, 故可)(0M),(yx记此积分为.),(0 ),(,yx dyxQP当 固定时,积分值仅取决于动点 ,因此上式是 的函数,极为 ,)(0yxMMyx)(yxu即 ),(u)
34、,(0 ),(,yx dyx下面证明 在 G 内可微,且 dyxQPu),(由于 都是连续函数,故只需证 , .)(,yxQP )(yx,u不难证明 = =uxyux),(,lim0 ,= = (详细过程见 P157)yy,(li0 ),xQ故 的全微分存在,且 .)(xu dyyPxdu,(),(4) 1).已知存在一个函数 ,使得 )( dyxQxu),(),(从而 , , )(yxPu,yxQuy22由于 具有一阶连续偏导数,所以混合偏导数 , 连续,故 =)(, yxu2yxu2,即xyu2 yPxQ例 8 证明 与路径无关.)1,(0)(dyx证: =),(yx1,()0)(dyx与
35、路径无关., , , 在)1,(0)(dPxQ1yP整个平面上连续,且 ,由定理, 得 与路径无关.yxQ)1,(0)(dyx例 9 讨论 的原函数.dyxyx)cos()sin2(解: , , , 在整个平面上连续,且PiQyPcsyxQcos有 , 即定理中的 1)成立,所以 4)成立.即 为某个函数的yxQ d)()in2(全微分. 且 , 由于曲线积),(0cossi,(yx yxu分与路径无关,可取先从点 O(0,0)到点 A( ,0)的直线段 OA: ,再沿从点 A 到0y)(d点 M 的平行于 轴的直线段 AM ,所以有),(yx )(dxxyAMO dxQPu00),(),()
36、,(ddyx sincos2200所求原函数为 ( 为任意常数).Cyxsin2第四节 对面积的曲面积分一、内容要点（教学设计）引例：求空间曲面的质量由例子引进对面积的曲面积分的定义，并给出性质介绍将对面积的曲面积分化为二重积分的计算方法，该方法可概括为“一代二换三投影” 。举 3 个例子提出该积分与二重积分的区别二、教学要求和注意点了解对面积的面积分的定义，掌握其计算方法在本章的讲述中，应提醒学生注意：求空间曲面的质量、转动惯量，曲面面积及重心坐标用对面积的曲面积分；三、作业 同步训练习题一 第一型曲面积分的概念和性质考虑这样一个实际问题:设某一物体占有空间曲面 ,其面密度函数为 ,求)(z
37、yx该物体的质量. 我们仍用以前惯用的方法,先分割 为若干小块,再作和式:.最后取极限,得 M= 其中 为各小块面直iiniiS),( iiniiS),(lm0 径的最大值.这就是曲面积分的思想.下面我们给出定义:定义 设函数 在曲面 上有界,把 分成 n 个小片 , , ,其中),(zyxf12nS(i=1,2,n)也表示第 i 小片的面积 ,在 上任取一点 ,作和式iSiS),(ii,若当此 n 个小曲面片的直径的最大值 时,上述和式极限存在,iiniiSf),( 0且此极限值与 的分法及点 在 上的取法无关,则称此极限值为函数),(iiiS在曲面 上的第一型曲面积分或称为对面积的曲面积分
38、,记作 ,),(zyxf dSzyxf),(即= (1)dSzyxf),( iiniiSf),(lm0其中 称为被积函数, 称为积分曲面.)(zyxf注 1: 同以前一样,今后总假定 在曲面 上连续),(zyxf2: 由定义知, 物体的质量 M= , 其中 为面密度函数.dS),(zyx3: 对面积的曲面积分,同样具有被积函数的可加性与积分曲面的可加性, 即= +zyxbgzyxaf),(),( zyxfa),(dSgb),(= +21dS1dSf2dS二 第一型曲面积分的计算法设曲面 的方程为 , 在 平面上的投影区域为 , 在 上)(yxzxyD),(zxy具有连续的偏导数, 在 上连续.
39、下面来求 .,f dSzf),(由定义, = ,将 往 平面上投影, 其投影dSzyxf),( iiniif),(lm0 ixy区域为 =xyi)(idzyxxyi)( 22),(),(1利用二重积分的中值定理: , 得 =),(ixyi)(iSxyiiyixzz),(),(122又 为 上任一点,故不妨令 , , iiiSiii),(iiz=dzyxf),( xyiiyixiini zzf ,),(1),(,lm2210 = dyyxfDxy ),(),(),( 22事实上,由 也很快能得到上式.xzdSyx),(),(122例 1 设 为圆锥面 介于 与 之间得部分, 求z01dSyxI)
40、(2解: , , 2yxz2yx2yxz又 在 平面上的投影区域为 1),(2DDdxyzxyxI 2221)(d)(2 r1032.412例 2 是 与 围成的闭曲面.dSyx)(22yxz1z解: 在 面的投影区域为 xoy 1),(:2yxDxy= +2)(2dSyxdSyx)(21)(2dSyx= +zxyDyx22 xdyxyD2201= + xyd)(2xyd)(2= =r1032)()1(例 3 是 被 所截下的一块曲面.dSzxy2yxzx2解: 由于 关于 面对称 ,而 是 的奇函数, 故 .从而原式=o)( 0)(ydSzzxdS在 面的投影区域为 关于 轴对称.o 2),
41、(:2xyxDy原式= =dzxyD21 dxyyxyD221= (被积函数是关于 的偶函数,且 关于 轴对称)xydy2 xy= ( 为 对称区域的一半)Dx22xy= = = .cos20rddd205cos42164第五节 对坐标的曲面积分一、内容要点先介绍有向曲面引例：稳定流体在单位时间流过曲面 的流量由例子引入对坐标的曲面积分的定义，给出性质重点说清楚对坐标的曲面积分与曲面的侧有关，同时提醒学生注意区别两类曲面积分。再介绍对坐标的曲面积分化为二重积分的方法，举 2 个例子说明该方法。最后给出两类曲面积分之间的联系。二、教学要求和注意点1、二类曲面积分的定义及计算方法，并讲清楚它们的联
42、系和区别。2、曲线积分与曲面积分计算空间立体的体积。3、求稳定的流体在单位时间内通过曲面的流量用对坐标的曲面积分。一 第二型曲面积分的概念和性质首先介绍双侧曲面和有向曲面的概念.我们通常遇到的曲面都是双侧的, 如果规定某侧为正侧,则另一侧为负侧. 对简单闭曲面如球面有内侧和外侧之分;对曲面 有),(yxz上、下侧之分;曲面 有左、右之分；曲面 有前、后侧之分。在讨),(zxy),(zyx论第二型曲面积分时，我们需要选定曲面的侧。所谓侧的选定，就是曲面上每点的法线方向的选定。具体的说，对于简单闭曲面，如果它的法向量 指向朝外，我们认定曲面n为外侧；对曲面 ，如果它的法向量指向朝上，我们就认定曲面
43、为上侧.因此我),(yxz们称规定了侧的曲面为有向曲面.习惯上对简单闭曲面,规定外侧为正侧,内侧为负侧, 对规定上侧为正侧,即法向量与 轴正向夹角小于 的一侧为正侧. 类似地,对)(yxzz2规定右侧为正侧;对 规定前侧为正侧.),(yx设 为一有向曲面,在 上取一小块曲面 ,将 投影到 平面上,得一投影区域. 记Sxoy投影区域得面积为 .假设 上各点得法向量与 轴的夹角 的余弦 具有相xy)(cs同的符号.规定 在 平面上的投影 为: Soxy)(0cos0)()( xyxy可见, 总为正, 可正可负. 事实上, xy)(xyS)( SSxycos)(定义: 设 为光滑的有向曲面,函数 在
44、 上有界.将 分成若干个小块,zR( 也表示其面积), . 在 面的投影为 ,又在 上任取一iSi ni,21ixoyxyi)(i点 ,如果当小曲面的直径的最大值 时,极限),ii 0存在,则称该极限值为函数 在有向曲面 上对坐标ni xyiiiSR10)(,(lm ),(zyxR的曲面积分, 记作 ,即yxdyzR),= .dxyz),(ni xyiiiS10)(,(lm其中 称为被积函数, 称为积分曲面.R类似地,我们可定义 在有向曲面 上对 的曲面积分: ;),(zyxPzy,dyzxP),(在有向曲面 上对 的曲面积分: .即)(zyxQdxQ)(=dyzxP),(ni yziiiSP10)(,(lm=Q),(ni
