1、第一章习题 1.1（P 6）1、写出下列随机试验的样本空间（1）同时抛掷三枚骰子，记录三颗骰子点数之和3,4,5,6,7,.16,17,18（2）单位圆内任取一点，记录其坐标(x,y)| x+y1（3）生产新产品直至有 10 件合格品为止，记录生产的总件数x|x10 且 xN3、一名射手连续向某个目标射击三次，事件 Ai 表示第 i 次射击时击中目标（i=1,2,3 ） 。试用文字叙述下列事件：（1）A 1A 2=“前两次至少有一次击中目标”;（2） =“第二次未击中目标”;（3）A 1A2A3=“前三次均击中目标”;（4）A 1 A2 A3=“前三次射击中至少有一次击中目标”;（5）A 3-
2、A2=“第三次击中但第二次未击中”;（6）A 3 =“第三次击中但第二次未击中”;（7） =“前两次均未击中”;12（8） =“前两次均未击中”;（9）(A 1A2) (A2A3) (A3A1)=“三次射击中至少有两次击中目标”.4、 设 A,B,C 表示三个事件，利用 A,B,C 表示下列事件。（1）A 发生，B,C 都不发生ABC（2）A,B 发生，C 不发生（3）三个事件，A,B,C 均发生ABC（4）三个事件，A,B,C 至少有一个发生ABC（5）三个事件，A,B,C 都不发生（6）三个事件中不多于一个事件发生 ABC（7）三个事件中不多于两个事件发生（8）三个事件中至少有两个发生AB
3、+AC+BC习题 1.2（P 11）6、一口袋中有 5 个白球，3 个黑球。求从中任取两只球为颜色不同的球的概率。设 A=“从中任取两只球为颜色不同的球 ”,则: 12538P(A)=/5/C7、一批产品由 37 件正品，3 件次品组成，从中任取 3 件，求(1)3 件中恰有意见次品的概率组成实验的样本点总数为 ,组成事件(1)所包含的样本点数为 340C,所以1237CP1= 0.202223740(2)3 件全为次品的概率组成事件(2)所包含的样本点数为 ,所以3CP2= 0.0001340C(3)3 件全为正品的概率组成事件(3)所包含的样本点数为 ，所以237CP3= 0.786427
4、40C（4）3 件中至少有一件次品的概率事件（4）的对立事件，即事件 A=“三件全为正品 ”所包含的样本点数为 ，所以37CP4=1-P(A)=1- 0.21363740（5）3 件中至少有两件次品的概率组成事件(5)所包含的样本点数为 ，所以21337CP5= 0.011342133740C8、从 0 至 9 这 10 个数字钟，不重复地任取 4 个，求（1）能组成一个 4 位奇数的概率；（2）能组成一个 4 位偶数的概率。设 A=“4 位奇数” B=“4 位偶数”由于“0”不能作为首位数，首先考虑首位和末位数P(A)=(A4A 5A8+ A5A4A8) A 104=（87202）5040=
5、4/9P(B)=(A4A 4A8+ A5A5A8) A 104=(87(16+25)5040=41/909、从 1,2，10 个数字钟任取一个，每个数字以 1/10 的概率被选中，然后还原。先后选择 7 个数字。求下列事件的概率。（1）A= “7 个数字全不相同”P（A）=710(2)B=“不含 10 与 1”因为不含 1 和 10，所以只有 2-9 八个数字，所以P(B)= 780（3）C= “10 刚好出现 2 次”即选择的 7 个数字中 10 出现 2 次，即 ，其他 9 个数字出现 5 次，即 ，27C59所以P(C)= 257910C（4）D= “至少出现两次 10”解法 1：10
6、可以出现 2，3，,7 次，所以7i27C9P(D)=0ii解法 2：其对立事件为 10 出现 1 次或 0 次，则P(D)=12574(5)E=“7 个数字中最大为 7，最小为 2 且 2 与 7 只出现一次”因为最大为 7，最小为 2，且 2 和 7 只出现一次，所以 3，4，5，6 这四个数要出现 5 次，即样本点数为 ，所以154CP(E)= 125740C10、从0,1中任取两数，求（1）两数之和大于 1/2 的概率；（2）两数之积小于 1/e 的概率。设两数分别为 x,y，则 x0,1,y0,1 。（1）作出 x=1；y=1 ； x+y=1/2 的图像。P(两数之和大于 1/2)=
7、1(1/2 1/21/2) 1=7/8（2）作出 x=1，y=1 ， xy,=1/e 的图像；图像的交点为 （1/e,1） ，（1,1/e）则 P(两数之积小于 1/e)=（11/e+ 1/e1/exdx）1=2/e习题 1.3（P 14）11、设 A,B 同时发生必然导致 C 的发生，则 P(C) P(A)+P(B)-1。证明：A,B 同时发生必导致 C 发生AB C，即 P(C) P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)= P(A)+P(B)- P(AB)P(AB)1P(AB)P(A)+P(B)-1P(C) P(A)+P(B)-1上述得证。12、设 P(A)=P(B)
8、=1/2，试证明：P(AB)= P(Error!Error!)。证明： 因为 P(Error!Error!) = P(Error!Error!Error!) = 1 P(A B) = 1 P(A) P(B) +P(AB)因为 P(A) = P(B) =1/2所以 P(Error!Error!) = 1 1/2 1/2 + P(AB)所以 P(Error!Error!) = P(AB)13、已知 P(A)=0.4，P(B)=0.2，若（1）A,B 互不相容；（2）B 包含于 A解：（1）P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.4-0=0.4
9、（2）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+02-0.2=0.4P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.4-0.2=0.214、某城市有 40%的住户订日报，65%的住户订晚报，70%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订两种报纸的住户的百分比。解：记“订日报的住户” 为 P(A)， “订晚报的住户”为 P(B)，根据题意，易知：P(A B)=70%则 P(AB)=P(A)+P(B)- P(A B)=40%+65%-70%=35%答：同时订两种报纸的住户有 35%。15、一袋中有 4 只白球，3 只黑球，从中任取 3 只球，求至少有 2只白球的概率。本题在该答案上为第 12 题
10、。134725C2412.解 ： 设 “至 少 有 两 只 白 球 ”的 事 件 为 A事 件 ， 则P(A)=16、设 A,B,C 是三个事件，且 P(A)=1/2，P(B)=1/3，P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=1/12，且 P(CA)=0 求 A,B,C 至少有一个发生的概率。P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)-P(ABC)=1/2+1/3+1/4-1/12-0-1/12-0=11/12习题 1.4（P 20）17、P(A)=1/4 ，P(B|A)=1/3 ，P(A|B)，求 P(AB)。本题在该答案上为第 14 题。114.
11、()/)43212()(/)611()()()4623PABPBAPABPAB解 ：19、如果 P(Error!)=0.3，P(B)=0.4 ，P(AError!)=0.5 ，求 P(B| A Error!)解：P(B|A Error!) =P(AB)/P(A Error!)因为 P(A)=1-P( )=1-0.3=0.7，A所以 P(AError!)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.7- P(AB)=0.5即 P(AB)=0.2又因为 P(A Error!) = P(A) + P(Error!) - P(AError!) =0.7+1-0.4-0.5= 0.8所以 P(B| A E
12、rror!) = P(AB)/P(A Error!) =0.2520、一批产品共 100 件，其中 10 件为次品，每次从中任取一件不放回，求第三次才取到正品的概率。解：设“第三次才取到正品”为事件 A，则因为要第三次才取到正品，所以前两次要取到次品。第一次取到次品的概率为 ，10第二次取到次品的概率为 ，9第三次取到正品的概率为 。8109P(A)=0.3即第三次才取到正品的概率为 0.0083。21、三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4，求三人中至少有一人能将此密码译出的概率。解法 1：设 A，B，C 分别为“ 第一，第二，第三个人译出”的事件，则：P(
13、A)=1/5 P(B)=1/3 P(C)=1/4因为三个事件独立，所以 P(AB)=P(A)P(B)=1/15, P(AC)=P(A)P(C)=1/20 ,P(BC)=P(B)P(C)=1/12, P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1/60,所以P( )=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3/5ABC解法 2：设 A=“至少有一人能译出” ，则 =“三个人均不能译出 ”，所以A423 P(A)=1-()- 5522、加工一产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率为 0.9、0.95、0.8，假定各工序之间是否出废品是独立的，求经过
14、三道工序不出废品的概率。解：设 P(A),P(B),P(C)分别为第一，二，三道工序不出废品的概率,则，第一二三道工序均不出废品的概率为 P(ABC),因为各工序是否出废品是独立的,所以 P(ABC)= P(A)P(B)P(C)=0.9 0.95 0.8=0.68423、某一型号的高炮，每一门炮（发射一发炮弹）击中飞机的概率为 0.6，问至少要配置多少门炮，才能以不小于 0.99 的概率击中来犯的敌机？24、某机构有一个 9 人组成的顾问小组，若每一个顾问贡献的正确意见的概率为 0.7，现该机构对某事的可行性与否，个别征求各位顾问的意见，并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。解：根据
15、题意: 该题为伯努利事件。n=9,p=0.7,k=5,6,7,8,9所求事件概率为P=b(5,9,0.7)+b(6,9,0.7)+b(7,9,0.7)+b(8,9,0.7)+b(9,9,0.7)=0.901习题 1.5（P 24）26、设男人患色盲的概率为 0.5%，而女人患色盲的概率为 0.25%。若有 3000 个男人，2000 个女人参加色盲体检，从中任选一人，求此人是色盲患者的概率。P(此人是色盲)=27、甲乙两个口袋中各有 4 只白球，3 只黑球，从甲袋中任取 2 球放入乙袋中，再从乙袋中取出 2 球为白球的概率。解：该题为全概率事件。设 =“从甲袋中取出两球中有 i 只黑球”,i=
16、0,1,2 ，iAB=“从乙袋中取出 2 球为白球” ，则：2407P14327=A3271P26095BA25193P26BA4901963iiiPPA答：再从乙袋中取出两球为白球的概率为 。28、对敌舰进行三次独立射击，三次击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.如果敌舰被击中的概率分别为 0.2、0.6、1，求敌舰被击沉的概率。解：该题为全概率事件。设 =“敌舰被击中 i 弹” ,（i=0,1,2,3） ，iAB=“敌舰被击沉” ，则：根据题意 P( )=0.60.50.3=0.090P ( )=0.40.50.3+0.40.50.3+0.60.50.7=0.361AP( )=0.40.
17、50.3+0.50.70.6+0.40.70.5=0.412P( )=0.40.50.6=0.143P(B )=0, P(B )=0.2, P(B )=0.6, P(B )=10A1A2A3A根据全概率公式有 30=0.458iiiPBP即敌舰被击中的概率为 0.458.31、将二信息分别编码 A 与 B 发出，接受时 A 被误作为 B 的概率为 0.02，B 被误作为 A 的概率为 0.02；编码 A 与 B 传送的频率为2:1，若接收到的信息为 A，则发信息是 A 的概率是多少？解：设事件 A1 为“原发信息是 A”，事件 A2 为“ 原发信息是 B”,B 为事件“接收到的信息为 A”，则
18、：122112111()()33/0.98/)0.()()(/)2306 20.98()(/)(3(/) 6PABPBAPABPA 32、有朋友自远方来访，他乘火车，汽车，飞机来的概率分别为0.4、0.2、0.4.（1）他迟到的概率；（2）结果他迟到了，试问让乘火车来的概率是多少？第二章习题 2.2（P 31）4、设随机变量 X 的概率分布为P X=k= (k=1,2,9)18ak(1)求常数 a(2)求概率 PX=1 或 X=4(3)求概率 P-1 X1/2;（3）P-11/2 =1-Px1/2=1-F(1/2) =1-1/2=1/2(3)P-10.5;(3)PX1/X. |PXP|e1d1
19、7、设连续型随机变量 X 的分布函数为（1） 求 PX1，P-1X2（2）求概率密度 f(x）解：（1）PX1=F(1)= 1/21/4=3/4P-1X2=F(2)F(1)=1/22/41/2e -1=11/2e -1（2）如下：18、19、设 XN(0,1)（1）求 0,1.25,0.68;PPX(2)求 ;,=使 它 满 足（3） 23求 ， 使 它 满 足解：（1） PX=01.25.（ 125） =-0894156（2）PX0.68=.X=-().当 时 ， .（ -） =即 得 （与前提不符） 所以.9（ ） 051.641.64（3）当 2()23X时(与条件不符)0.861解：（
20、1）由 0,:， 4， 得 .56X2.56=1-(.89)-0.13=.867(2) 1.721.7(.).754P（3） -5+X31X20-()+.534或 或23、某校抽样调查表明，该校考生外语成绩（百分制）服从正态分布 N（72， ） ，已知 96 分以上的占考生总数的 2.3%，求考生的2外语成绩在 60 分到 84 分之间的概率。解：因为 XN(72, )2所以 N(0,1)-72由题意得 PX 96= =X-7296P724XP= =1-4=0.023所以 =0.97724查表得 =2.00所以 =1.0012因为 607284726084XPXP= 1=2 0.8413-1=
21、0.6826习题 2.5（P 48）24、设随机变量 X 分布为X -2 -1 0 1 2P 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1试分别求 Y=2X+3 和 的概率分布。2Z=解：由题可得P 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1X -2 -1 0 1 2Y=2X+3 -1 1 3 5 72Z=4 1 0 1 4所以可知Y -1 1 3 5 7P 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1Z 0 1 4P 0.3 0.5 0.227、设 XN（0,1） ，求（1）Y=e 的概率密度；（ 2）Y=X 的概率X 2密度。解：由题可知，X 的概率密度为21()xXfxe（1）由于 Y=e 0，故当 y
22、 0 时，0xYFPey当 y0 时，lnlxY XyyeyPyF即 00lnYXFy从而，Y 的概率密度为21lnl000XYyffye（2）由于 Y=X 0,故当 y 0 时，22()YFPXy当 y0 时，2()Y XXyyyyFy即 00()()YXXFyFy从而，Y 的概率密度为 12()0()00XXYyffyfyey30、设 X 服从参数 =1 的指数分布，求 Y= -1 的概率密度。X解：由题 0xXef由于 Y= -1 -1,故当 y -1 时，10YFPXy当 y-1 时，11Y XXXyyyPxyFyyFy即 01YXyFy从而，Y 的概率密度为 110XYyffe31、
23、测量球的直径，设测量值服从a,b上的均匀分布，求球的体积的概率密度。解：设 x 为球的直径，则球的体积为 ，已知 x 满足34Y=26x10axbfb其 他当 时，ax336y1133366Y XFyPXPyFy11123331233369960YXYfyfyyybafba其 他复习题（P 48）34、设 XP（ ） ，且 ，求 。12PXx0PX解：因为 XP（ ） ，所以 （k=1，2，3）!kPXe因为 ，所以12x1!:所以 所以 1010PXe39、设 ,且 P21500)=21503dx以 Y 记所取 5 只中寿命大于 1500h 的元件的数目，则 Y 服从二项分布B(5, ),故所求概率为 05145212C3324PYP
