1、 条件概率例题解析1. 从 1, 2, 3, 15 中,甲、乙两人各任取一数(不重复 ),已知甲取到的数是 5 的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件 A 表示“甲取到的数比乙大”,设事件 B 表示“甲取到的数是 5的倍数”.则显然所要求的概率为 P(A|B).根据公式 而 P(B)=3/15=1/5 , , P(A|B)=9/14.2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有 1 点的概率. 解.设事件 A 表示“掷出含有 1 的点数”,设事件 B 表示“掷出的三个点数都不一样”.则显然所要求的概率为 P(A|B).根据公式 , , P(A|B)=1/2.3. 袋中有一个白球和一个黑
2、球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放 1 解.设事件 Ai 表示“第 i 次取到白球”. 回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了 N 次都没有取到黑球的概率. (i=1,2,N)则根据题意 P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3,由乘法公式可知:P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而 P(A 3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 .由数学归纳法可以知道P(A1A2AN)=1/(N+1).4. 甲袋中有 5 只白球, 7 只红球;乙袋中有 4 只白球, 2 只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所
3、取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件 A 表示“取到的是甲袋”, 则 表示“取到的是乙袋”,事件 B 表示“最后取到的是白球”.根据题意 : P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. .5. 有甲、乙两袋,甲袋中有 3 只白球,2 只黑球;乙袋中有 4 只白球,4 只黑球.现从甲袋中任取 2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. 解.设事件 Ai 表示“从甲袋取的 2 个球中有 i 个白球”,其中 i=0,1,2 . 事件 B 表示“从乙袋中取到的是白球”. 显然 A0, A1, A2 构成一完备事件组 ,且根据题意P(A0)=1/10 ,
4、P(A1)=3/5 , P(A2)=3/10 ;P(B|A0)=2/5 , P(B|A1)=1/2 , P(B|A2)=3/5 ;由全概率公式P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/51/10+1/23/5+3/53/10=13/25.6. 袋中装有编号为 1, 2, N 的 N 个球,先从袋中任取一球,如该球不是 1 号球就放回袋中,是 1 号球就不放回,然后再摸一次,求取到 2 号球的概率. 解.设事件 A 表示“第一次取到的是 1 号球”,则 表示“第一次取到的是非 1 号球”;事件 B 表示“最后取到的是2 号球”.显然 P(A)=1
5、/N, ,且 P(B|A)=1/(N-1), ; =1/(N-1)1/N+1/N(N-1)/N=(N2-N+1)/N2(N-1).7. 袋中装有 8 只红球 , 2只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.(1)取出的两只球都是红球; (2)取出的两只球都是黑球; (3)取出的两只球一解.设事件 A1 表示“第一次取到的是红球”,设事件 A2 表示“第二次取到的是红球”.(1)要求的是事件 A1A2 的概率 .根据题意 P( A1)=4/5,P(A2|A1)=7/9,P(A 1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/57/9=28/45. 只是红球,一只是黑球; (4
6、)第二次取出的是红球. (2)要求的是事件 的概率. 根据题意: , , . (3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件 的概率. , , , , . (4)要求第二次取出红球,即求事件 A2 的概率. 由全概率公式 : =7/94/5+8/91/5=4/5. 8. 某射击小组共有 20 名射手,其中一级射手 4 人, 二级射手 8 人, 三级射手 7 人, 四级射手 1 人. 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进解.设事件 A 表示“射手能通过选拔进入比赛”,设事件 Bi 表示“射手是第 i 级射手
7、”.(i=1,2,3,4) 显然, B 1、B 2、B 3、B 4 构成一完备事件组,且 P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20; P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2. 由全概率公式得到 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)=0.94/20+0.78/20+0.57/20+0.21/20=0.645.入比赛的概率. 9. 轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标 400、200、100(米) 的概率分别是 0
8、.5、0.3、0.2,又设它在距目标 400、200、100(米) 时的命中率分别是0.01、0.02、0.1 .求目标被命中的概率为多少? 解.设事件 A1 表示“飞机能飞到距目标 400 米处”,设事件 A2 表示“飞机能飞到距目标 200米处”,设事件 A3 表示“飞机能飞到距目标 100米处”,用事件 B 表示“目标被击中”.由题意, P( A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,且 A1、A 2、A 3 构成一完备事件组 . 又已知 P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.1. 由全概率公式得到 : P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.010.5+0.020.3+0.10.2=0.031.
