1、1上篇 用几何画板做数理实验图 1-0.1我们主要认识一下工具箱和状态栏，其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。案例一 四人分饼有一块厚度均匀的三角形薄饼，现在要把它平均分给四个人，应该如何分？图 1-1.1思路：这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。方案一：画三角形的三条中位线，分三角形所成的四部分面积相等， （其实四个三角形全等） 。如图 1-1.2。图 1-1.22方案二：四等分三角形的任意一边，由等底等高的三角形面积相等，可以得出四部分面积相等，如图 1-1.3。图 1-1.3用几何画板验证：第一步：打开几何画板程序，这时出现一个新绘图文件。说明：如果几何画板程序
2、已经打开，只要由菜 单“ 文件”“新绘图”，也可以新建一个绘图文件。第二步：(1)在工具箱中选取“画线段”工具；(2)在工作区中按住鼠标左键拖动，画出一条线段。如图1-1.4。注意：在几何画板中，点用一个空心的圈表示。图 1-1.4第三步：(1)选取“文本”工具；(2)在画好的点上单击左键，可以标出两点的标签，如图 1-1.5：注意：如果再点一次，又可以隐 藏标签，如果想改 标签为其它字母，可以这样做：用“文本”工具双击显示的标签，在弹出的对话框中进行修改，(本例中我们不做修改)。如图 1-1.6图 1-1.6在后面的操作中，请观察图形，根据需要标出点或线的标签，不再一一说明A B图 1-1.
3、5第四步：(1)再次选取“画线段”工具，移动鼠标与点A 重合，按左键拖动画出线段 AC；(2)画线段 BC，标出标签 C，如图 1-1.7。注意：在熟悉后，可以先画好首尾相接的三条线段后再标上标签更方便。A BC图 1-1.7第五步：(1) 用“选择”工具单击线段 AB，这时线段上出现两个正方形的黑块，表示线段处于被选取状态；(2) 由菜单“作图”“中点” ，画出线段 AB 的中点，标上标签。得如图 1-1.8。注意：如果被选取的是点，点的外面会有一个粗黑圆圈。在几何画板中，选取线段是不包括它的两个端点的，以后的问题都是这样，如果不小心多 选了某个对象，可以按 A BCD3Shift 键 后用
4、左 键再次单击该对 象取消选取。 图 1-1.8第六步：用同样的方法画出其它两边的中点。得如图 1-1.9。技巧：最快的方法是：按住 Shift 不放，用 “选择”工具分别点击三条线段，可以同时选取 这三条线段，再由 “作图”“画中点”( 或按快捷 键 Ctrl+M)，就可以同时画好三条边的中点。 A BCDEF图 1-1.9第七步：用“画线段”工具连结 DE、EF、FD，得如图1-1.10：技巧：画线段的另一方法，在保 证画线工具出现的是“ 画线段”按钮(不必选取)的前提下。选取两点后，由菜单“ 作图”“画线段” ，(或按快捷键Ctrl+L),可以画出连结两点的 线段。本例最快的做法：1、选
5、取“画点”工具，按住 Shift 键不放在工作区中画三个点，这时三个顶点都保持选取状 态2、按 Ctrl+L,可以同 时画出三条边并且三边同时被选取；3、按 Ctrl+M，可以同 时画出三边中点且三中点同时被选取；4、按 Ctrl+L,可以同 时画出小三角形三条边， 标上标签即可。A BCDEF图 1-1.10第八步：(1) 按住 Shift 键不放，用“选择“工具选取点A、D、F；(2) 由菜单“作图”“多边形内部”填充多边形内部；(3) 保持内部的选取状态，由菜单“度量”“面积” ，可以量出 ADF 的面积，如图 1-1.11。A BCDEF ADF = 0.77 cm2图 1-1.11第
6、九步：(1) 用同样的方法，填充并度量三角形BDE、ECF、DEF；(2) 选取 DEF 的内部，由菜单“显示”“颜色” ，选择其它颜色，如蓝色，得到如图 1-1.12。A BCDEF ADF = 0.77 cm2 DBE = 0.77 cm2 ECF = 0.77 cm2 DEF = 0.77 cm2图 1-1.2注意：在制作过程中，要经常保存文件，以免因意外原因造成文件丢失，以下每一个例子都是这样，不再加以说明。归纳结论：拖动顶点 A、B、C 中的任一个，可以改变三角形的大小和形状，请观察不同情况下，四部分的面积是否总是相等？这样做可以完成分饼的任务吗？说明：这是通过实验来验证数学规律，不
7、能保 证结论一定是正确，一般来说，有一些结果经过了人类4的长期实践，大家都公认了它的正确性，这时会把这个结论 作为公理直接使用；而大多数情况下，实验得到的结果仍然需要进行推理证明。那么，实验有什么用呢？实验可以帮助我们认识规律，更容易接受知识，并且常常可以让我们找到解决 问题的方向。练习：1、对于方案二，四等分面积的问题就转化为四等分线段的问题，四等分线段可以用哪些方法？2、为了方便在改变等分的份数（例如要分成五份）时方法仍然能用，这里介绍利用平行线等分线段的方法把一条线段四等分。第一步：(1) 选取 “画射线”工具；(2) 移动鼠标到与点A 重合，按住左键拖动，画出一条以点 A 为端点的射线
8、AD，得如图 1-1.13。A BCD图 1-1.13第二步：(1) 选取“画点” 工具，移动鼠标到射线 AD上，在靠近点 A 处单击画出一个点 E，得如图 1-1.14；(2) 按住 Shift 键不放，用“选择”工具，依次选取点A、E，由菜单“变换”“标记向量 A-E”。说明：标记了一个向量后，可以在后面的平移变换中按这个向量来平移，保证出现若干段相等的 线段，标记向量时，一定要注意选选择 点的先后顺序。 EA BCD图 1-1.14第三步：(1) 用“选择”工具选取点 E，由菜单“变换”“平移” ，在弹出的对话框中点“确定”即可得一点；(2) 选取，做同样的操作可以得 ，这样做下去，直到
9、得到你想要的若干段相等的线段，这里是四段，如图 1-1.15。EEDA BCEE图 1-1.155第四步：(1) 连结 B；（2）同时选取线段 B、点E、 ，由菜单 “作图”“平行线” ，画出了一组平行线，如图 1-1.16。A BCDEE EE图 1-1.16第五步：(1) 用“选择”工具单击平行线和 AB 相交处，得到三个四等分点；(2) 选取所有平行线、射线 AD 及 AD 上的点( 除 A 外)，由菜单“显示”“隐藏 对象” ，可以隐藏制作过程中的辅助线。得如图 1-1.17。以下只要连结点 C 和三个四等分点就行了， 注意：在最后结果中不需要看到的对象，一般是把它 隐藏，如果你选取后
10、删去了它，你会 发现你要的四等分点也会消失，这是因为这些点是受辅 助线控制的， 隐藏的对象只是看不到，但它仍然起作用。隐藏和删除是不同的。如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载案例一的练习供参考。A BC图 1-1.17、自己比较一下这两种方法，在只需要四等分的情况下，哪种方法方便？，在需要其它等分的情况下，哪种方法更具有一般性？案例二 三角形的内角和现有一块三角形的木板，用来制作一个半圆形的木盖，请设计一个浪费比较小并且便于施工的方案。图 1-2.1思路：以三角形较短一边的一半为半径，以三个顶点为圆心画弧，得到三个扇形后拼成半圆，如图 1-2.2：图 1-2.2那么，如何知道拼成的
11、一定是一个半圆呢？下面用几何画板做一个实验来说明。6方案：画一个三角形；量三个内角的度数；用几何画板的计算功能计算三个内角的和。如果对于任意的三角形，总有内角和是 1800，那么说明拼成的一定是一个半圆形。用几何画板验证：第一步：新建一个几何画板绘图文件。画出三角形 ABC第二步：(1) 选取“选择”工具，按住 Shift 不放，依次选取点 B、A、C；(2) 由菜单中的“度量”“角度” ，量出BAC 的度数，用同样的方法度量其它两个角。如图 1-2.3说明：由于每个人画的图不同，度数不一定和 图 1-2.3 一样）。注意：选一个角的关键是角的顶点要第二个选。 ABCBAC = 45.0ABC
12、 = 74.6ACB = 60.4图 1-2.3第三步：由菜单“度量”“计算”弹出一个计算器，依次点击“BAC=”、“+”、“ABC=”“+”、“ACB=”、“确定”，如图 1-2.4。说明：“BAC=”在本例中是“BAC=45.0 0”，这里用省略号表示，是因 为每个人画的图不同，量出的度数有可能不同，以后类似的问题都这样来表示。技巧：弹出计算器的方法有：(1) 由菜单“ 度量”“计算”；(2) 双击工作区中的任一度量 值，如“BAC= ”；(3) 在工作区中击鼠标右键， 由“度量”“计算”。ABCBAC = 45.0ABC = 74.6ACB = 60.4BAC + ABC + ACB =
13、 180.0图 1-2.4归纳结论：请按要求操作后填写下表：序号 操 作 现象 三个角的和等于1 观察 BAC=_ ABC=_ ACB=_2 用鼠标拖动其中一个顶点改变三角形变成钝角三角形 BAC=_ ABC=_ ACB=_3 用鼠标拖动其中一个顶点改变三角形变成直角三角形 BAC=_ ABC=_ ACB=_4 用鼠标拖动其中一个顶点任意改变三角形的形状 三个内角的和总是结论 三角形的内角和总是_如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载案例二供参考。练习：1、自己画一个凸四边形，度量它的内角，计算内角和，验证凸四边形的内角和是 3600。如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载
14、案例二练习 1 供参考。2、用“选择”工具同时选取点 A、B，由菜单“度量”“距离” ，可以度量出线段 AB 的长度，请你用上面所学的知识验证“三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边” 。如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载案例二练习 2 供参考。7案例三 最佳行走路线如图 1-3.1：你身在草原上，现在要走到公路边去等车，请设计一个最佳行走路线。图 1-3.1思路：把人所处位置看作一个点，公路看作一条直线，行走的路线看作线段，由垂线段最短可以找到最佳行走路线。方案：画一条直线，过直线外一点引直线的垂线段和斜线段，度量线段的长，动态验证垂线段最短。用几何画板验证：第
15、一步：新建一个几何画板绘图文件。第二步：(1) 按住工具箱中的画线工具不放，在弹出的工具条中选取“画直线”工具，按住鼠标左键拖动画出一条直线；(2) 用“画点”工具在直线外画一点，如图 1-3.2。A BC图 1-3.2第三步：(1) 按 Shift 键，用鼠标选取点 C 和直线AB，(不要选取点 A 和 B)；(2) 由菜单“作图”“垂线” ，画出了过点 C 垂直于 AB 的直线，如图1-3.3说明：虽然点 A、B 在直线 AB 上，但 选取直线时并没有选取直线上的点，在后面的学 习中，如果要求 选取直线、线段、圆等对象，这时不要把对象上的点也选取，除非特别指明要选取这些点。A BC图 1-
16、3.3第四步：(1) 用“选择”工具单击垂足处，定义出垂足，标上标签 D；(2) 选取垂线 CD(不要选取点 C、D)、点 A、B ，由“显示”“隐藏” ，把选取的对象隐藏，用“文本”工具在直线上点一下，标出直线的标签 j；(3) 选“画线段”工具，连结线段 CD，如图 1-3.4。说明：点 A、B 是控制直线 AB 的点，通 过拖动这两点，可以改变直线的方向和位置，一般情况下，如果不想再改变直线的位置，或不再画其它 线经过这两个点，可以jCD E1-3.48在制作完成后把它隐藏。第五步：(1) 选取“画线段”工具；(2) 移动鼠标到点C 处，按下左键拖动，当鼠标位于直线 j 上时松开，如图
17、1-3.5。技巧：CE 是直线 j 的斜线段，所以要保证一个端点是C，另一个端点 E 只能在直线 j 上移动，怎样才能保证呢？，在画图的过程中，移动鼠标到点 C 时，注意观察状态栏中有“从点 C”，这时按下左键可以保证一个端点为 C，移 动鼠标到直线 j 时，状态栏中有“到点位于直线 j”时松开，这样 点 E 一定在直线上，不能拖到直 线外。在几何画板中，状态栏的作用非常重要。jCD E图 1-3.5第六步：同时选取点 C、D，由“度量”“距离” ，量出 CD，同理量出 CE，如图 1-3.6。jCD ECD = 1.68 cmCE = 2.16 cm图 1-3.6归纳结论：拖动点 E 在直线
18、 j 上移动，观察 CD 与 CE 的大小，什么时候 CE=CD？，除了这个位置外的其它位置CD 与 CE 哪一个比较大？以上操作说明：从直线处一点引直线的所有线段中，_最短，因而最佳行走路线是走点到直线的垂线段。如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载实例三供参考。练习：1、在图 1-3.6 的基础上，增加一个点 F，通过度量CDF、CEF，如图 1-3.7，拖动点 E，观察什么情况下两个角相等，除了 CD 外，CE 在其它位置能和直线 j 垂直吗？jCD EFCD = 1.68 cmCE = 2.16 cmCDF = 90CEF = 51图 1-3.7如有问题，请到 http:/
19、几何画板分版，下载案例三练习供参考。案例四 横梁有多长如图 1-4.1，一个三角形屋架，屋面的宽度是 13 米，立柱长 5 米，那么横梁有多长？图 1-4.1思路：这是直角三角形中应用勾股定理的问题，那么，是不是任意的直角三角形三边都有这种关系？方案：大家都已经证明过勾股定理，但现在我们用不同的方法来重新认识一下这个老朋友。用几何画9板画一个直角三角形，度量三条边，计算两直角边的平方和，计算斜边的平方，不断改变图形的大小形状(但保持直角不变)，验证定理是否总是成立。用几何画板验证：第一步：新建一个几何画板绘图文件。第二步：在工作区中画一条线段 AB，如图 1-4.2。 BA图 1-4.2第三步
20、：(1) 按住 Shift，用“选择”工具选取点 A 和线段 AB；(2) 由菜单“作图”“垂线” ，作出点 A垂直于线段 AB 的直线。如图 1-4.3注意：不要选另外一个端点 B，那 样过 B 点也会有一条直线与 AB 垂直，本例中我们 不需要同时画两条垂线。技巧：只有这样画的图才能在你拖动点改变图形的大小和形状时总是保持垂直的关系，如果只是画出一条自己看上去“垂直” 的直线，就不能在改变形状时保持垂直关系。BA图 1-4.3第三步：(1) 选“画点”工具；(2) 移动鼠标到垂线上单击，如图图 1-4.4注意：观察状态栏中出现“点位于直线上”时单击， 这样画的点永远位于直线上，不会拖到外面
21、。 A BC图 1-4.4第三步：(1) 选取垂线 CD，由 “显示”“隐藏直线”，把垂线隐藏； (2) 用画线段工具画出线段 AC、线段 BC，如图 1-4.5。技巧：最后的图中应该是线段，但 为了保证变化过程中保持垂直关系，必须先画辅助垂 线，最后在不需要 时把它隐藏。A BC图 1-4.5第四步：用“文本”工具单击三角形的三边，得到如图 1-4.6 所示，jm nA BC图 1-4.6第五步：用“文本”工具双击标签 n，在弹出的对话框中作如下改动：如图 1-4.7。cb aA BC图 1-4.810图 1-4.7用同样的方法改 j 为 c，改 m 为 b，如图 1-4.8。说明：这样做是
22、为了照顾我们的数学习惯，或者是 题目本身的要求，这种改点或线的标签的方法，在操作过程中会经常用到。第七步：同时选取线段 a、b、c，由菜单“度量”“长度” ，可以同时量出三条边的长度，如图 1-4.9cb aA BCc = 2.70 cm a = 3.03 cmb = 1.39 cm图 1-4.9第八步：弹出计算器，依次点击“b=” 、 “”、 “2”、“+”、 “c=”、 “”、 “2”，然后按“确定” ，可以计算出 b2+c2 的值；同样可以算出 a2 的值，得到如图 1-4.10，说明：这里“”表示乘方运算。cb aA BCc = 2.70 cm a = 3.03 cmb = 1.39
23、cmb2 + c2 = 9.20 cm2 a2 = 9.20 cm2图 1-4.10归纳结论：序号 操 作 现象 b2+c2 与 a2 相等吗？1 观察 b2+c2=_a2=_2 用鼠标拖动点 B 到另一位置。 b2+c2=_a2=_3 用鼠标拖动点 B 到另一位置。 b2+c2=_a2=_4 任意拖动三角形顶点改变直角三角形的形状，结论 b2+c2_a2可以看到，总是有两直角边的平方和等于斜边的平方，本例中的横梁用勾股定理算得一半为 1211米，全长为 24 米。如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载实例四供参考。练习：1、量出直角三角形的两锐角的度数，验证直角三角形的两锐角互余。
24、如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载案例四练习 1 供参考。2、学画一个矩形，先完成本例到第三步得图 1-4.11，这里只是把原来的点 C 改成了 D。A BD图 1-4.11（1）选取点 D 和线段 AB，由“作图” “平行线” ，画出过 D 平行 AB 的直线；（2）选取点 B 和直线AD，同样画出过点 B 平行于 AD 的直线；（3）用“选择”工具定义出第四个顶点，标记标签为 C；如图 1-4.12 A BDC图 1-4.12（4）隐藏三条直线，画出线段 AD、DC、CB，即得矩形 ABCD，如图 1-4.13。说明：拖动点 A、B 可以改变矩形的大小和位置并可以旋转一定的角
25、度；拖动点 D 只能改 变矩形在纵向上的大小，拖动点 C 不会改变矩形的大小，但可以改变矩形的位置，但无论如何改变，这个图形一定是矩形，你可以通过度量角和边来证实这一点。A BD C图 1-4-133、先画出如图 1-4-14 的图形，然后用类似于第 2 题的方法画一个平行四边形，A BC图 1-4-14案例五 三角形的高三角形的高可能出现在哪些位置？思路：应该对于直角、锐角、钝角三种不同类形的三角作不同的回答。方案：如果用笔在纸上画图，只能三种类型中各画一个图来说明，现在借助几何画板，我们可以动态地改变三角形的形状，使不同类形的三角形的高可以动态改变。用几何画板验证：12第一步：(1) 选取
26、“画点”工具画三个点；(2) 选取“画直线”工具后，什么都不用做；(3) 选取“选择”工具，在屏幕上拉一个虚线框框住画好的三点；(4) 由菜单“作图”“画直线” (快捷键是 Ctrl+L) ，可以画出过这三点的三条直线，标上标签，如图 1-5.1。技巧：(1) 如果要选取的对象比较多，可以用“ 选择”工具在工作区中拉一个虚线框框住这些对象， 这时可能会多选了一些你并不想选的，可以按 Shift 键后，单击该对象取消选择状态；(2) 上面第二步选“ 画直线”工具的操作会影响菜单中会不会出出“画直线”的选项，如果你没有做这一步，菜单中通常出 现“ 画线段”，也就是说，几何画板中的有些菜单命令和按
27、钮的显示状态是相关的。AB C1-5.1第二步：过点 A 作直线 BC 的垂线，并单击垂足，定义出垂足 D，用同样的方法作出垂线 BE 和 CF，如图1-5.2， AB CDEF图 1-5.2第三步：按住 Shift 键，用“ 选择”工具选取所有的直线，注意不要选到点；由菜单“显示”“隐藏直线” ，可以隐藏所有直线，得到如图 1-5.3B CDEFA图 1-5.3第四步：(1) 同时选取点 A、B，(2) 选取“画线段”工具，然后按 Ctrl+L，画出线段 AB;(3) 用同样的方法画出线段 BC、AC、AD、BE、CF，得到如图 1-5.4。技巧：上面说 Ctrl+L 是画直线，但当你先画了
28、“ 画线段”的工具后，它的功能会自动变边 画线段。注意：为什么不一开始就画三条线段组成三角形呢？这是本例的要点，因为如果一开始画的是 线段，点D、E、F 被定义为 垂线和线段的交点，如果你拖动三角形变为钝角三角形，垂线和线 段没有交点， 这样会导致有两条高消失。现在的点 D、E、F 分别是垂线和直线的交点，再拉动三角形成钝角三角形 时，高不会消失。AB CDEF图 1-5.413第五步：(1) 拖动点 A，使ACB变成钝角， （如图 1-5.5） ；(2) 选取点 C 和 D，按 Ctrl+L，画出线段CD；(3) 保持线段 CD 的选取状态，由菜单“显示”“线型”“虚线”，改 CD 为虚线，
29、符合通常的习惯，用同样的方法画线虚线段 CE，AB C DEFAB C DEF图 1-5.5第六步：拖动点 A 使使ABC 变成钝角后用同样的方法作出虚线段 BF。最后完成图 1-5.6AB CDEF图 1-5.6归纳结论；序号 操 作 三角形三条高的 位置 三条高（或高的延长 线）交于一点吗？1 观察2用鼠标拖动点 C 到另一位置。使ABC 仍为锐角三角形，再观察，3用鼠标拖动点 A 到另一位置。使ABC 变为直角三角形，再观察，4 用鼠标拖动点 A 到另一位置。使ABC 为钝角，再观察结论 三角形的三条高或高的延长线_.如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载案例五供参考。练习：观
30、察三角形的三条中线，三条角平分线的位置关系。其中画中点的方法：选取线段，由菜单“作图”“中点” （或按 Ctrl+M）可以作出线段的中点，接着就可以画中线了；画角平分线的方法：如按 Shift，依次点选点 B、A 、C ，可以作出BAC 的平分线，确定角平分线和对边的交点后，隐藏角平分线，再连出线段就行了。1、请自己画一个三角形作出它的三条中线，然后按要求填写实验报告。序号 操 作 三角形三条中线 的位置 三条中线交于一点吗？1 观察2用鼠标拖动点 C 到另一位置。使ABC 仍为锐角三角形，再观察，3 用鼠标拖动点 A 到另一位置。14使ABC 变为直角三角形，再观察，4 用鼠标拖动点 A 到
31、另一位置。使ABC 为钝角，再观察结论 三角形的三条中线_.如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载案例五练习 1 供参考。2、请自己画一个三角形，作出它的三条角平分线，然后按要求填写实验报告。序号 操 作 三角形三条角平 分线的位置 三条角平分线交于一 点吗？1 观察2用鼠标拖动点 C 到另一位置。使ABC 仍为锐角三角形，再观察，3用鼠标拖动点 A 到另一位置。使ABC 变为直角三角形，再观察，4 用鼠标拖动点 A 到另一位置。使ABC 为钝角，再观察结论 三角形的三条角平分线_.如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载案例五练习 2 供参考。案例六 挂画的学问要把一幅画挂
32、在墙上，画的上下边框要和横梁平行，左右与立柱的距离相等，应该如何钉上挂钉？图 1-6.1思路： 这个问题可以转化为和线段的垂直平分线有关的问题。15方案：挂绳拉紧后，挂点到像框边框两端的距离应该相等，考虑到平行和等距的条件，只要横梁的中垂线与边框中垂线二线合一就行了，所以只要画横梁的中垂线，把挂绳的中点定位在横梁中垂线上即可。下面验证“线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等” 。用几何画板验证：第一步：画一条线段 AB。如图 1-6.2 A B图 1-6.2第二步：(1) 用选择工具选取线段 AB，(2) 由菜单“作图”“中点” （快捷键是 Ctrl+M） ，画出线段AB 的中点 C，如图
33、 1-6.3注意：不要多选其他对象，如果你多 选了其他对象， “中点”这个选项是灰色的不可用，一般来说，只要 选择的对象不符合要求的条件，就不可能使用相应的菜单项。A BC如图 1-6.3第三步：(1) 用“选择”工具按住左键拉一个框经过点 C 和线段 AB（但不要框住 A、B 两点） ，这样可以同时选取点 C 和线段 AB，(2) 由菜单“作图”“垂线” ，画出过点 C 垂直于线段 AB 的垂线，即是线段AB 的垂直平分线。如图 1-6.4注意：如果你画的图不是这样，过点 A 或 B 也有了垂线，那是因为你多选了点 A 或点 B。A BC图 1-6.4第四步：选取“画点”工具，在中垂线上画一
34、点，标记为 P，如图 1-6.5A BCP图 1-6.5第五步：(1) 画出线段 PA、PB；(2) 选取点 P、A，由菜单“度量”“距离” ，量得 PA，同样量出 PB。第六步：(1) 同时选取点 P 和中垂线；(2) 由菜单“编辑”“操作类按钮” “动画” ，在弹出的对话框中，设置如图 1-6.6图 1-6.6这样在屏幕上会出出一个“动画”按钮，当双击这个按钮时，点 P 会在直线上双向地移动。便于我们动态地观察。A BCPPA = 2.59 cmPB = 2.59 cm-图 1-6.716最后结果如图 1-6.7。注意：不要多选其它对象，这里只需要点 P 在中垂线上运动。归纳结论：序号 操
35、 作 现象 结论(是否相等)1 拖动点 P 到另一位置， 这时 PA=_PB=_ PA_PB2 拖动点 P 到第二个位置 这时 PA=_PB=_ PA_PB3 拖动点 P 到第三个位置 这时 PA=_PB=_ PA_PB4 双击“动画”按钮，点 P 在 AB 的中垂线上不停的运动， PA_PB结论 只要点 P 在线段 AB 的中垂线上，实验过程中 PA_PB.如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载案例六供参考。练习:1、我们将在前面作图的基础上，进一步验证等腰三角形、等边三角形的一些性质。第七步：(1) 选取垂直平分线，将它隐藏；(2) 画出线段 PC。得到如图 1-6.8。A BC
36、PPA = 2.59 cmPB = 2.59 cm-图 1-6.8第八步：用量距离的方法量 AC、BC，量PAB、 PBA、APB、PCB、APC 、BPC的度数，得到如图 1-6.9。A BCPPA = 3.17 cmPB = 3.17 cm-AC = 1.47 cmBC = 1.47 cmPAB = 62.47PBA = 62.47PCB = 90.00 APC = 27.53BPC = 27.53BPA = 55.06图 1-6.9归纳结论：序号 操 作 现象 结论1 PA 和 PB 总是相等吗？_ PAB 是_三角形。2 PAB 和PBA 总是相等吗？ 等腰三角形的两底角 _3用鼠标拖
37、动（或双击动画按钮）不断地改变点P 位置。PCB 总是等于 90 度吗？_PC 是等腰三角底边上的_174 AC 和 CB 的长总是相等吗？_ PC 是等腰三角形底边上的 _.5 APC 和BPC 总是相等吗？_ PC 是等腰三角形顶角的_.结论 等腰三角形的两底角_，底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三线_.也可以拖动使APB=60 0，再观察边角的变化。如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载案例六练习 1 供参考。2、学画一个菱形，接第 1 题，先画出如图 1-6.10 的图形，由于点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，所以PA=PB。BA CP图 1-6.10（1）选择线段
38、AB，由“变换”“标记镜面” ，标记 AB 为镜面，线段上出现闪烁后消失的两个方框。说明：标记镜面后，一个对象如果关于 这个镜面反射， 这时 就好象人照镜子一样，人离镜面近，人像离镜面也近，用数学的说法，镜面就是对称轴，反射可以得到对称点或对称图形。技巧：标记镜面的另两种方法：（1）直接双击直线（线段、射线）；（2）选取直线（线段、射 线）后用快捷键 Ctrl+G.（2）同时选取点 P、线段 PA、PC、PB；（3）由“变换”“反射” ，得到如图 1-6.11。（4）用“文本”工具改各点标签为你想要的，例如得图 1-6.12。说明：在几何画板中，画特殊四 边形的方法不只一种，但不管用哪种方法，
39、都要符合图形的几何关系，也就是当改变大小了位置时，矩形仍是矩形，菱形仍是菱形。BA CPCA ODB图 1-6.11 图 1-6.12如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载案例六练习 2 供参考。案例七 抽水房的位置18在一条河的同一旁有两个村庄 A 和 B，现在要在河边建一个抽水房，应该建在什么位置，才能使所用的水管的钱最少?图 1-7.1思路：用钱最少，一般要求所用的水管最短，转化为数学问题，即是在表示河流的直线上找一个点C，使 AC+BC 最小。方案：作点 A 关于河流的对称点 A，连 AB 交河流于 C，计算 AC+CB；在河流上另取一点 D，计算AD+DB，通过拖动点 D
40、在直线上移动，验证 AC+CB 最小，从而说明 C 为最佳点。用几何画板验证：第一步：（1）画出表示村庄的点 A、B；（2）画一条直线表示河流，隐藏直线上的两个点，设置直线的标签为“河流” ，如图 1-7.2。说明：标签可以用中文表示，这 种技巧常用来标注点或线等对象的功能，例如：给某一点 标上“ 拖动我改变图形”。BA图 1-7.2第二步：（1）选取表示河流的直线；（2）由菜单“变换”“标记镜面” ，直线上出现闪烁后消失的两个方框。第三步：（1）选取点 A，由菜单 “变换”“反射” ，得点 A 关于直线（河流）的对称点；（ 2）用文本工具标出标签，默认的是字母 A，得到如图 1-7.3ABA
41、图 1-7.319第四步：（1）用“画线段”工具连结 AB；（2）用“选择”工具在线段和河流相交处单击，作出线段和河流的交点，标出交点的标签 C，如图 1-7.4。ABAC图 1-7.4第五步：（1）用“画点”工具在河流上画一个点，标记为 D；（2）用“画线段” 工具连结AC、AD、BD、AD，如图 1-7.5。ABAC D图 1-7.5第六步：（1）同时选取点 A、点C；（2）由菜单“度量 “距离” ，量出AC；（3）用同样的方法量出 AC、CB、 AD、 AD、DB，如图 1-7.6。说明：量出点 A、C 的距离，由数学定义可知，这就是线段的长；量线段的 长还可以直接选取线段 AC，（不要
42、选取点 A、C），“度量”“长度”，但这样的方法无法直接量出图 1-7.6 中 CB 的长，还要进一步作 图。ABAC DAC = 0.45 cm AC = 0.45 cmCB = 0.92 cmAD = 0.89 cm AD = 0.89 cmDB = 0.63 cm图 1-7.6第七步：（1）调出计算器；（2）依次点击“AC=”、 “+”、“CB=”、 “确定” ，可以计算出 AC+CB 的值；（3）同样去计算 AC+CB、AD+DB 、AD+DB，拖动到适当位置得到如图 1-7.8。ABAC DAC = 0.45 cm AC = 0.45 cmCB = 0.92 cmAD = 0.89
43、cm AD = 0.89 cmDB = 0.63 cmAC + CB = 1.37 cmAC + CB = 1.37 cmAD + DB = 1.52 cmAD + DB = 1.52 cm图 1-7.8归纳结论：(一)序号 操 作 现象 D 点是否是最佳点1 观察 AC+CB=_AD+DB=_2 拖动点 D 远离点 C，上面的两个和差距变_（大或小）203 拖动点 D 靠近点 C，上面的两个和差距变_（大或小）4 拖动点 D 与点 C 重合， 上面的两个和 _结论 以上现象说明，只有取点_处，才能使所用的水管最短，（二）序号 操 作 现象 有无相等的关系1 观察AC+CB=_AC+CB=_A
44、D+DB=_AD+DB=_2 拖动点 D 远离点 C，AC+CB=_AC+CB=_AD+DB=_AD+DB=_3 拖动点 D 靠近点 C，AC+CB=_AC+CB=_AD+DB=_AD+DB=_4 拖动点 D 与点 C 重合，AC+CB=_AC+CB=_AD+DB=_AD+DB=_结论以上现象说明，研究 AC+CB、AD+DB 的关系，可以转为研究 AC+CB 和AD+DB 的关系，而这个关系可以简单地用三角形的两边之和_第三边来说明。如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载案例七供参考。练习：画一条直线，在直线的一旁画一个三角形，标记直线为“镜面” （即对称轴） ，选取三角形的全部（
45、包括顶点和边） ， “反射”出它关于直线对称的图形，1、 用鼠标拖动改变三角形的形状，体会“对称的图形是全等形” ，2、 连结对称点，通过过量角和量线段，体会“对称点的连线被对称轴垂直平分” 。如有问题，请到 http:/ 几何画板分版，下载案例七练习供参考。案例八 选择厂址如图，河南区新建一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥的距离为 300 米，在图上标出工厂的位置，并说明理由。比例尺是 1：2000021图 1-8.1思路：这里可以把桥看作是一个角的顶点，河岸和公路分别是角的两边，问题转化为：在角平分线上找一点，使它到顶点的距离是 300 米。方案：（1）
46、画出角的平分线，以顶点为圆心；（2）1.5cm 为半径画圆，定义圆与角平分线的交点即为所求。用几何画板验证：第一步：新建一个几何画板文件。第二步：选“画射线”工具，画一个角，如图 1-8.2。 ABC图 1-8.2第三步：（1）用“选择”工具依次选取点B、A、C ；（2 ）由菜单“作图 ”“角平分线” ，画出了BAC 的平分线，如图 1-8.3。ABC图 1-8.3第四步：用“画点工具”在角平分线上画一个点，标出标签。得到如图 1-8.4。ABCD图 1-8.422第五步：（1）用“选择”工具同时选取点 D 和射线AB；（2）由“作图”“垂线” ，画出过点 D 垂直于射线 AB 的直线；（3）
47、用“选择”工具单击垂足处，定义表示垂足的点，并用“文本”工具标上标签；（4）选取画好的垂线，把它隐藏，并用“画线段”工具画出垂线段 DE，用同样的方法画出垂线段 DF，得到如图 1-8.5ABCDEF图 1-8.5第六步：（1）选取点 D 和射线 AD， （2）由“编辑”“操作类按钮” “动画” ，在弹出的对话框中设置点 D 在射线 AD 上双向慢速运动。得到如图 1-8.6。ABCDEF-图 1-8.6第七步：度量出AED、AFD，线段 DE、DF ，最后的结果如图 1-8.7。操作验证：双击“动画” 按钮或用鼠标拖动点 D 移动，可以发现 DE、DF 总是分别垂直于角的两边，并且DE=DF，这说明了我们要找的点可以定位于角平分 线上。ABCDEF-AED = 90.00AFD = 90.00DF = 1.27 cmDE = 1.27 cm图 1-8.7第八步：在工作区中画一条线段 GH，量出距离，通过调整
