1、 数怎么不够用了典型例题例 1 如果向东走 8 千米记作8 千米，向西走 5 千米记作5 千米，那么下列各数分别表示什么？（1）4 千米； （2） 千米； （3）0 千米解：（1）4 千米表示向东走 4 千米（2） 千米表示向西走 千米（3）0 千米表示原地未动说明：（1）用正数和负数可以表示意义相反的量 （2）正数前面可以加上“”号，一般地，正数前面的“” 号可省略不写，但有时为了强调，习惯上在正数前面要加上“”号 （3）0 除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义例 2 用有理数表示下面各量（1）如果收入 200 元记作200 元，则如何表示支出 100 元
2、？（2）如果海平面以下 100 米记作100 米，则如何表示海平面以上 1000 米？（3）如果向南行 100 米记作100 米，则向北行 200 米如何表示？（4）如果比标准重量重 10 千克记作10 千克，则比标准重量少 5 克应如何表示？分析 该题中每两个量都是意义相反的两个量，为了区别意义相反的量我们应用不同符号的数来表示解 （1）支出 100 元表示为100 元；（2）海平面以上 1000 米应表示为1000 米；（3）向北行 200 米表示为200 米；（4）比标准重量少 5 克表示为5 克注意 （1）一个量是用正数表示，还是用负数表示是人们规定的，但在表示中也应尊重人们在多年生活
3、中形成的习惯如：零上温度一般规定为正；海平面以上一般规定为正等；（2）正数前面的“” 号是可以省略不写的例 3 判断正误（正确的打，错误的打） （1）-a 一定是负数 （ ）（2）零是自然数 （ ）（3）没有最小的正有理数 （ ）解：（1）（2）（3）说明：应紧扣互为相反数、负数、零、正有理数的概念来解此类题，主要是应想到我们已经学到了代数领域了应时时注意到字母 a 可能为：负数、零、正数例 4 （1）在知识竞赛中，如果10 表示加 10，那么扣 20 分怎样表示？（2）某人转动转盘，如果用5 表示沿用逆时针方向转了 5 圈，那么沿顺时针方向转了 12 圈怎样表示？（3）在某次乒乓球质量检测中
4、，一只乒乓球超出标准质量 0. 02 克记作0.02，那么0.03 克表示什么？解：（1）扣 20 分记作20 分；（2）顺时针方向转了 12 圈记作12 圈；（3）0.03 克表示乒乓球的质量低于标准质量 0. 03 克说明：通过三个实例说明如何用正负数表示这种具有相反意义的量例 5 把下列各数填在相应的括号内：-16，26，-12，-0.92， ，0， ，0.1008，-4.95 （思考：小数是分数吗!） 正数集合 ； 负数集合 ；整数集合 ； 正分数集合 ；负分数集合 ；分析：根据正数、负数、整数和分数的定义，严格区别注意零既不是正数，也不是负数，但是整数解：正数集合26， ， ，0.1
5、008， ；负数集合-16 ，-12 ，-0.92，-4.95， ；正分数集合 ， ，0.1008 ， ； 负分数集合-0.92 ，-4.95，说明：用大括号表示集合时，要注意省略号的使用如“正数集合”指的是包含所有正数的一个“集体” ，因为是“ 所有的 ”，而具体填时仅能填写一部分，所以后面应加省略号习题精选一、选择题1下面说法中正确的是（ ） A一个数前面加上“”号，这个数就是负数B0既不是正数，也不是负数C有理数是由负数和0组成 D正数和负数统称为有理数2如果海平面以上200米记作200米，则海平面以上50米应记作（ ） A50米 B50米C可能是50米，也可能是50米 D以上都不对3下
6、面的说法错误的是（ ） A0是最小的整数 B1是最小的正整数C0是最小的自然数 D自然数就是非负整数二、填空题1如果后退10米记作10米，则前进10米应记作_；2如果一袋水泥的标准重量是50千克，如果比标准重量少2千克记作2千克，则比标准重量多1千克应记为_；3车轮如果逆时针旋转一周记为1，则顺时针旋转两周应记为_.三、判断题0是有理数 （ ）有理数可以分为正有理数和负有理数两类 （ ）一个有理数前面加上“”就是正数 （ ）0是最小的有理数 （ ）四、解答题1写出5个数（不许重复） ，同时满足下面三个条件（1）其中三个数是非正数；（2）其中三个数是非负数；（3）5个数都是有理数2如果我们把海平
7、面以上记为正，用有理数表示下面问题一架飞机飞行高于海平面9630米；（2）潜艇在水下60米深3如果每年的12月海南岛的气温可以用正数去表示，则这时哈尔滨的气温应该用什么数来表示？4某种上市股票第一天跌0.71，第二天涨1.25，各应怎样表示？5如果海平面以上我们规定为正，地面的高度是否都可以用正数为表示？6一学生参加一次智力竞赛，其中考五个题，记分标准是这样定的，如果答对一题得1分，答错或不答都扣1分，该生得了3分，问其答对了几个题？数轴习题精选一、选择题1一个数的相反数是它本身，则这个数是（ ）A正数 B负数 C0 D没有这样的数2数轴上有两点 E 和 F，且 E 在 F 的左侧，则 E 点
8、表示的数的相反数应在 F 点表示的数的相反数的（ ）A左侧 B右侧 C左侧或者右侧 D以上都不对3如果一个数大于另一个数，则这个数的相反数（ ）A小于另一个数的相反数 B大于另一个数的相反数C等于另一个数的相反数 D大小不定二、填空题1如果数轴上表示某数的点在原点的左侧，则表示该数相反数的点一定在原点的_侧；2任何有理数都可以用数轴上的_表示；3与原点的距离是5个单位长度的点有_个，它们分别表示的有理数是_和_；4在数轴上表示的两个数左边的数总比右边的数_三、判断题1在数轴离原点4个单位长度的数是4 （ ）2在数轴上离原点越远的数越大 （ ）3数轴就是规定了原点和正方向的直线 （ ）4表示互为
9、相反数的两个点到原点的距离相等 （ ）四、解答题1写出符合下列条件的数（1）大于 而小于1的整数；（2）大于4的负整数；（3）大于0.5的非正整数2在数轴上表示下列各数，并把各数用“”连结起来（1）7，3.5，0，4.5，5，2，3.5；（2）500，250，0，300，450；（3）0.1， ，0.9， ，1，03找出下列各数的相反数（1）0.05 （2） （3） （4）10004如图，说出数轴上 A、 B、 C、 D 四点分别表示的数的相反数，并把它们分别用标在数轴上5在数轴上，点 A 表示的数是1，若点 B 也是数轴上的点，且 AB 的长是4个单位长度，则点B 表示的数是多少？绝对值典型
10、例题例1 求下列各数的绝对值，并把它们用“”连起来， ，0，1.2分析 首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出 ，其他数的比较就容易了解 说明： 利用绝对值只是比较两个负数例2 求下列各数的绝对值：（1）38；（2）0.15；（3） ；（4） ；（5） ；（6）分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出 a 与 b 的大小关系，所以要进行分类讨论解：（1）|-38|38；（2）|
11、+0.15|0.15；（3） 0，| | ；（4）b0，3b0，|3b|3b；（5） 2， -20，| -2|-( -2)2- ；（6） 说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论例3 一个数的绝对值是6，求这个数分析 根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是 说明：互为相反数的两个数的绝对值相等例4 计算下列各式的值（1） ；（2） ；（3） ；（4） 分析 这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算解 （1） ；（2） ；（3） ；（4） 说明：在去掉绝对值之后，要
12、注意能简算的要简算，如（2）题例5 已知数 的绝对值大于 ，则在数轴上表示数 的点应在原点的哪侧？分析 确定表示 的点在原点的哪侧，其关键是确定 是正数还是负数由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定 是负数解 由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以 是负数，故表示数 的点应在原点的左侧说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值绝对值习题精选一、选择题1如果 ，则（ ）A B C D 2下面说法中正确的是（ ）A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 3下面说法中正确的是（ ）A若 和 都是负数，且有 ，
13、则 B若 和 都是负数，且有 ，则 C若 ，且 ，则 D若 都是正数，且 ，则 4数轴上有一点到原点的距离是5，则（ ）A这一点表示的数的相反数是5B这一点表示的数的绝对值是5C这一点表示的数是5D这一点表示的数是5二、填空题1已知某数的绝对值是 ，则 是_或_；2绝对值最小的有理数是_；3一个数的相反数是8，则这个数的绝对值是_；4已知数轴上有一点到原点的距离是3，则这点所表示的数的绝对值是_，这点所表示的数是_三、判断题1有理数的绝对值总是正数 （ ）2有理数的绝对值就等于这个有理数的相反数 （ ）3两个有理数，绝对值大的数反而小 （ ）4两个正有理数，绝对值大的数较小 （ ）5 （ ）四
14、、解答题1求下列各数的绝对值，并把它们用“”连起来2.37，0， ，385.72把下列一组数用“”连起来999， ， ，0.01， 3计算下列各式的值（1） ；（2） ；（3） ；（4）4如图，比较 和 的绝对值的大小5计算下面各式的值（1）（2） ；（2）（2） 水位的变化典型例题例1 小明业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表：正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降（1）问本周哪一天的平均成绩最高，它是多少环？（2）问本周哪一天的平均成绩最低，它是多少环？（3）本周日的成绩和上周日的成绩比是提高了，还是下降了，其变动的环数是多少？分析 这
15、题的关键问题是求出本周每天训练的平均环数，而要求出一天的平均环数只需知道前一天的平均环数，而上周日的平均环数已知。解 本周训练每天的平均环数如下：周一：8.519.5； 周二：9.50.29.9；周三：9.7（0.5）9.2； 周四：9.20.39.5；周五：9.50.29.7； 周六：9.7（0.7）9；周日：9（0.1）8.9。由此可知本周二和本周五训练的平均成绩最高，是9.7环，本周日训练的平均成绩最低，是8.9环，本周日的平均成绩和上周日的平均成绩比是提高了，提高了（8.98.50.4）0.4环。说明： 本题中正数和负数的标准是以前一天的平均环数为标准，而不是都以上周日的平均环数为标准
16、；注意在计算类似于这样的题时首先要把正、负的标准弄清楚。例2 下表是一个水文站在雨季在某条河一周内水位变化情况的记录其中，水位上升用正数表示，水位下降用负数表示注：表中记录的数据为每天12时的水位与前一天12时水位的变化量上周日12时的水位高度为2米（1）请你通过计算说明本周末水位是上升了还是下降了（2）用折线图表示本周每天的水位，并根据折线图说明水位在本周内的升降趋势分析 计算这七天水位变化量的和，看结果是正、还是负，若是正，说明周末水位上升了；若是负；说明水位下降了解 （1） 本周末水位下降了（2）如图所示说明：本例是有理数的加法和统计图知识交汇综合题水位的变化习题精选1小胖去年年末称体重
17、是75千克，今年一月份小胖开始减肥，下面是小胖今年上半年体重的变化情况：负数表示比上月减少，正数表示比上月增加（1）小胖16月中哪个月的体重最重，是多少？（2）小胖16月中哪个月的体重最轻，是多少？（3）小胖6月份的体重较比去年年末是增加了还是减少了，是多少？2某校初一抽出5名同学测量体重，小明体重是55千克，其他4名同学的体重和小明体重的差数如下表：比小明重记为正，比小明轻记为负（1）哪几名同学的体重比小明重，重多少？（2）哪几名同学的体重比小明轻，轻多少？（3）写出最重和最轻的两个同学的体重，并说明这两名同学之间的体重相差多少？3某百货商场的某种商品预计在今年平均每月售出500千克，一月份
18、比预计平均月售出额多10千克记为10千克，以后每月销售量和其前一个月销售量比较，其变化如下表（前11个月）：（1）每月的销售量是多少？（2）前11个月的平均销售是多少？（3）要达到预计的月平均销售量，12月份还需销售多少千克？有理数的乘法典型例题例1 计算：（1） （2）（7） ；（2） 分析 （1）和（2）都是两个有理数相乘，我们根据法则先来确定乘积的符号，再把绝对值相乘解 （1） （2）（7）（27）14（2） 说明：（1）为了使结果不出现差错，初学者做题时，中间的步骤是必要的 （2）我们不必死记法则，只需知道两个数相乘如何确定符号，其他就和小学的乘法一样了例2 计算： 时，应首先（ ）A
19、把小数化为分数，或者把分数化为小数B利用符号法则确定乘积的符号C把带分数化为假分数D考虑怎样使用乘法结合律或者交换律分析 有理数乘法与小学所学乘法的区别在于符号，初学者进行有理数乘法运算最容易出现的错误也在于符号，发生错误的同学往往并不是没记住有理数乘法的运算法则，而在于重视符号的意识不强，所以初学者一定要把确定乘积的符号作为大事，放在首位，也就是说，完成有理数乘法运算要分两步走：先是确定乘积的符号，然后再计算乘积的绝对值解 选 B说明 进行两个以上有理数相乘的运算，首先确定乘积的符号，这样做不但有减少运算错误使运算简化的作用，与此同时，也能起到培养良好的学习习惯的作用就本题来讲，如果不先确定
20、乘积的符号，可能在运算过程中就必须确定三次符号（头两个因数相乘，积的符号；与第三个因数相乘，积的符号；与第四个因数相乘，积的符号） ，这样就增加了运算步骤例3 计算： 分析 这类题目只不过比小学做过的题目多了一个符号问题，应该先确定乘积的符号，之后再考虑怎样运算更简便些本题中，由于“81”是9（第一个因数的分母）的倍数， “72”是12的倍数，可以使用乘法交换律与结合律简化运算解 说明：（l）如果运算基础较好，则完全可以不使用交换律与结合律，而把带分数化为假分数，把小数化为分数形式后进行约分（2）上面约分过程中没有把分母中的100与某个分子约分，是为了把结果化为小数时方便，这是思维灵活性的表现
21、概括以上内容，就是“符号正负先定好，灵活准确做计算” 例4 计算：（1） ；（2）17.6（10）（0.5） 分析 （1）和（2）是三个以上有理数相乘，我们可以根据乘法法则两个两个相乘，最后求出结果，在进行有理数的乘法时，过去学过的结合律和交换律仍是适用的解 （1） （2）17.6（10）（0.5）176（0.5）88说明：（1）乘法法则是对两个数相乘而言的，当三个数以上相乘时我们可以依法则两两相乘；（2）由该题我们可以发现，当三个以上非零有理数相乘时，积的正负由负因数的个数而定，当积中有偶数个负因数时积为正；当积中有奇数个负因数时积为负例5 计算：（1） ；（2） 解 （1） （2） 说明：
22、在应用乘法对加法的分配律时，应注意符号的变化初学者中间分别相乘的步骤是为避免出错而设的，熟练之后可以省略习题精选一、选择题1下面说法中正确的是（ ）A因为同号相乘得正，所以（2）（3）（1）6B任何数和0相乘都等于0C若 ，则 D以上说法都不正确2已知 ，其中有三个负数，则 （ ）A大于0 B小于0 C大于或等于0 D小于或等于03若 ，其 a、 b、 c（ ）A都大于0 B都小于0 C至少有一个大于0 D至少有一个小于0二、填空题1两个数相乘，同号得_，异号得_，并把_相乘；2一个数和任何数相乘都得0，则这个数是_；3若干个有理数相乘，其积是负数，则积中负因数的个数是_数4先填空，然后补写一个有同样特点的式子（1）1（7）1_， （2） 9（9）1_，12（7）2_， 98（9）2_，123（7）3_ 987（9）3_ _
