1、第一章 数字信号处理概述简答题：1 在 A/D 变换之前和 D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在 A/D 变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率 2 倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。在 D/A 变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。判断说明题：2模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （ ）答：错。需要增加采样和量化两道工序。3一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处
2、理理论，对信号进行等效的数字处理。 （ ）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混叠效应） ，把从的整个系统等效为一个模拟滤波器。)(tyx到（a） 如果 ，求整个系统的截止频率。kHzTradnh10,8)(截 止 于（b）
3、 对于 ，重复（a）的计算。kHzT201采 样 （ T） nhxtx yD/A 理 想 低 通 Tcty解 （a）因为当 ，在数 模变换中0)(8jeHrad时1)( TXjTeYaj所以 得截止频率 对应于模拟信号的角频率 为)(nhc c8c因此 HzTfc62512由于最后一级的低通滤波器的截止频率为 ，因此对 没有影响，TT8故整个系统的截止频率由 决定，是 625Hz。)(je（b）采用同样的方法求得 ，整个系统的截止频率为kHzT201fc56二、离散时间信号与系统频域分析计算题：1设序列 的傅氏变换为 ，试求下列序列的傅里叶变换。)(nx)(jeX（1） （2） （共轭）)(*
4、解：（1） )(nx由序列傅氏变换公式DTFT nnjj exeXnx)()()可以得到DTFT 2)()2()2(njnnj exexx 为 偶 数)()(21)(21)(212)( )2(2jjjj njnnj jneXexex（2） （共轭）)(*nx解：DTFT )(*)()(* jnnjnj eXexex 2计算下列各信号的傅里叶变换。 （a） （b）2nu2)41(nu（c） （d）4n)(解：（a） 022)(nnjjn eeuXjnje10（b）2)41(24)( nnjjnn eeuX）（jjmmj e416)1(0)2(（c） 22)( jnnjjnexX （d） 1212
5、1)( jjjnn ee）（利用频率微分特性，可得 22)1()1(2)()( jjjj eedX3序列 的傅里叶变换为 ，求下列各序列的傅里叶变换。nxjwX（1） （2） (3) )(* )(Renx)(nx解： （1） *)()(* jwnjwnjweXex（2） n jwjjnnj eXx)()(21)(21)(R（3） dweXjenxdwjendxjenx jjwnjjw )()()(1)( 4序列 的傅里叶变换为 ，求下列各序列的傅里叶变换。)( )(jwX（1） （2） (3) x Imxj )(2nx解：（1） )()()( )()( jwnwjnwjnjw eXeee （2
6、） )()(21 )()(21)()1)(jwjwnnjj njwnjwjwnneXx exexex（3） )()(21 )()(21)()( )(2jwjjjnnnwjjnjweXdexeex 5令 和 表示一个序列及其傅立叶变换，利用 表示nxj )(jweX下面各序列的傅立叶变换。（1） )2(xg（2） 为 奇 数为 偶 数nn0解：（1） 为 偶 数kwkjnjnwnjwjw exexegeG2)()2()()()()(21)(21)( )(1)(222)2()2(222wjwjjjkwjkwj jkjkjkk wkjeXeexXexex（2） )()()()()( 222 wjrj
7、rrwjnjnwjw eXxgegeG6设序列 傅立叶变换为 ，求下列序列的傅立叶变换。xjeX（1） 为任意实整数)(00（2） 为 奇 数为 偶 数nxng2)(（3）解：（1） 0)(jwnjeX（2） n 为偶数)2(x)(ng )(2wjeX0 n 为奇数（3） )()2(2jweXnx7计算下列各信号的傅立叶变换。（1） )2()3()2nun（2） si78cos（3） 其 它041)3cos()(nnx【解】 （1） n knNjeukX2)()3()2)(223)1()1(nknjnkNjekNjjkNjj ee221418kNjjkNje25231)(8（2）假定 和 的变
8、换分别为 和 ，则)71cos(n)si( )(1kX)(2 k kNkNX 782(82)(1 kj )()()(2所以 ()21kXX k kNjkNjkkNkN )2()2()2718()2782( （3） 43cos)(nkjneX4 23)(21n kNjnjnj 90)23()32(490)23()3(4 1nnNjkNjnnkjkNj eeee )23()()32(4)23()()32(4 1111 99 kNjjkNjkNjjkNj eeee 8求下列序列的时域离散傅里叶变换， ， )(nx)(Renx)(0解： )()(jj eX )()()(21)(21)(Re jejjn
9、j Xxnx )(Im)()(0 jnjj eXen三、离散时间系统系统函数 填空题：1设 是线性相位 FIR 系统，已知 中的 3 个零点分别为)(zH)(zH1，0.8，1+j，该系统阶数至少为（ ） 。解：由线性相位系统零点的特性可知， 的零点可单独出现，1z的零点需成对出现， 的零点需 4 个 1 组，所以系统至8.0z jz1少为 7 阶。简答题：2何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数 有何特点？)(minZH解：一个稳定的因果线性时不变系统，其系统函数可表示成有理方程式，他的所有极点都应在单位圆内，即NkkMrrZabQPZH10)(。但零点可以位于 Z 平面的任何地方。有些应
10、用中，需要约1k束一个系统，使它的逆系统 也是稳定因果的。这就需要)(1)(ZHG的零点也位于单位圆内，即 。一个稳定因果的滤波器，如)(ZHr果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值 唯一确定。)(jweH从 求 的过程如下：给定 ，先求 ，它是 的函数。jwe)(ZHjwe2jwecosk然后，用 替代 ，我们得到 。最后，)21k)cos(k )()(1ZG最小相位系统由单位圆内的 的极、零点形成。ZG一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相
11、位系统和一个全通系统的乘积，即 )()(minZHZap完成这个因式分解的过程如下：首先，把 的所有单位圆外的零)(点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数是最小相位的。然后，选择全通滤波器 ，把与之对应)(minZH )(ZHap的 中的零点映射回单位圆外。i3何谓全通系统？全通系统的系统函数 有何特点？)(ap解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数 对应的傅里叶变)(ZHap换幅值 ，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方1)(jweH程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即。因而，如果在 处有一NkkNkMrrap ZZabQPZ1110)( kZ个极点，则在其共轭倒数点 处
12、必须有一个零点。k4有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。 nhxny解：频率响应： jj eeH)()(系统函数： nZh)()(差分方程： )(1XYZ卷积关系： )(nxhny第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1如果 是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周)(nx期序列。把 看作周期为N的周期序列有 （周期为N） ；)()(1kXnx把 看作周期为2N的周期序列有 （周期为2N） ；试用)(nx )(2表示 。）（ kX1）（ k2解： 101021 )()()(NnNnknNjkexWxnkNjnn
13、nkjkNexkX 212120102 )()()()( 对后一项令 ，则 1010)(222 )()()(NnNnNnkjkj exexk )2(1(102kXejnnkNjjk所以 0)12kX为 奇 数为 偶 数k二、离散傅立叶变换定义填空题2某 DFT 的表达式是 ，则变换后数字频域上相邻两10)()(NkklMWxlX个频率样点之间的间隔是（ ） 。解： M23某序列DFT的表达式是 ，由此可看出，该序列的10)()(NkklMWxlX时域长度是（ ） ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ） 。解：N M24如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ 纯
14、实数、偶对称 ） 。 解：纯实数、偶对称5采样频率为 的数字系统中，系统函数表达式中 代表的物HzFs 1z理意义是（延时一个采样周期T=1/F） ，其中时域数字序列 的序)(nx号 代表的样值实际位置是（nT=n/F） ； 的N点DFT 中，序n )(nxkX（号 代表的样值实际位置又是（ ） 。k kk2解：延时一个采样周期 ， ，FT1kk26用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔 为8000/512,数字角f频率间隔 为 2pi/512和模拟角频率间隔 8000*0.0123。w解：15.625，0.0123rad，98
15、.4rad/s判断说明题：7一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。 （ ）解：错。如果序列是有限长的，就能做 DFT 对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。计算题8令 表示N点的序列 的N点离散傅里叶变换， 本身也是)(kX)(nx )(kX一个N点的序列。如果计算 的离散傅里叶变换DFT得到一序列kX，试用 求 。)(1nx)(nx)(1解： 1010)(01101 )()(NnknNkNknnNNkn WxWxX因为10)(0NknW其 他 l所以 11 )()()()(Nn NnRxlxx9序列 ，其4点DFT 如下图所示。现将
16、 按下列0,k)(nx（1） ， （2） ， （3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？（尽量利用DFT的特性） nxnkXk（1） )4()1nxy730（2） 0)(2nxy7430（3） )()3 奇 数偶 数n解：（1） 0123,kYkX（2） 30,7,2,1112 k（3） 4mod,30,711413kkXY10设 是一个 2N 点的序列，具有如下性质：)(nx)(nxNnx另设 ，它的 N 点 DFT 为 ，求 的 2N 点 DFT)()1RxN)(1kX)(nx和 的关系。(kX解： 推导过程略21k11试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）（1） （2）)()
17、(nRaxN )()(nRxN解：（1）因为 ，所以)(NkNjnnkjaeeakX21021)( （2）由 ，得)()(RnxN10nkWkX10)()(NnNknk R10)(10()1(NnNkNnkk RWWX )()1( )(1)2(232 )1(3)1(kRN kRNWNn kkkkNkkk )()()( kWNkN所以 )(1)(kRkXN12计算下列序列的N点DFT： 16P（1） 0,)(nax（2） ， ，mN2cosNm0解：（1） ，kNkNKnk aWaWkX11)(10 1（2） 0222102cos)( n nkNjmjnjNnk eem)(2)(211mkNjj
18、mkNjjee )(1)()()(1)()(2 mkNjkjmkNjjjkjmkNjkNjjj eee )(1)(1)(sin)(sin1 mkNjkj ek, k=m 或 k=-m2N= 0, 其它13已知一个有限长序列 )5(2)(nnx（1） 求它的 10 点离散傅里叶变换 kX（2） 已知序列 的 10 点离散傅立叶变换为 ，求序)(y )()(210kXWkY列 n（3） 已知序列 的 10 点离散傅立叶变换为 ，求)(m)()(kkM序列解；（1） 109010)5(2)()(Nnnnkk WWxkX=1+2 =1+2k51kje512=1+2 ，)(9,.（2）由 可以知道， 是
19、 向右循环移位 2 的结果，)(210kXkY)(nyx即 )7(2)()2()10nnxy（3）由 可以知道，)()(kYXkM 点 循 环 卷 积 。的与是 10)()(nyxm一种方法是先计算 的 线 性 卷 积与 nyxllnyxnu)()()(=4,0,01然后由下式得到 10 点循环卷积)7(4)2(50,4,50,)(10()( nnRlunml 另一种方法是先计算 的 10 点离散傅立叶变换ykkn nkNnk WWykY 7102109010 72)()( 再计算乘积 kkkXkM7102105)()( 77102104kkW45由上式得到 7425)(nnm14 （1）已知
20、序列： ，求 的 N 点 DFT。10siNx，)(nx（2）已知序列： ，则 的 9 点 DFT 是2,10)(n， 其 它 )(正确否？用演算来证明你的结论。8,.9sin3)(kekXkj ，345P解：（1） )(kXknNjNne210si1022n knjnjj 10)1(2)(2NnnkNjnkje,j= 12k0， 其它（2） kjkjj kjkjjkjjnknj eeekX 99339262091)( 8,.09sin32Kkekj ，可见，题给答案是正确的。15一个 8 点序列 的 8 点离散傅里叶变换 如图 5.29 所示。)(nx )(kX在 的每两个取样值之间插入一个
21、零值，得到一个 16 点序列 ，)(nx )(ny即， 为偶数2xn)(ny0 ， 为奇数n（1）求 的 16 点离散傅里叶变换 ，并画出 的图形。)( )(kY)(kY（2）设 的长度 N 为偶数，且有 ，)(kX 12,.0),1() NNX求 。Nx01234567-1kX1234解：（1）因 n 为奇数时 ，故)(ny14,.20161506)()(nnknkWxykY， 708)(mkx 150k另一方面 其 它,07)()(78kWxkXmk因此 其 它,0158,)()8(7)(8kxkmk其 它,015)(78kWxmk所以 )(kY其 它,015)(78kxmk其 它,015
22、8)(7,kkX按照上式可画出 的图形，如图 5.34 所示。)(Y16计算下列有限长序列 的DFT，假设长度为N。)(nx1012345678 9 k2)(kY（1） nax)( 10Nn（2） 1,32解：（1） 010)(NnnkNnkaWkXkNkN110Nk(2) 304)()(nnkxkXkkW34241jj)1()( )30(k17长度为 8 的有限长序列 的 8 点 DFT 为 ，长度为 16 的一nxX个新序列定义为 )2(x14,.20)(ny0 15,.3n试用 来表示 。)(kX)()(yDFTkY解： 15016nnWy70)12(670216()(rkrrky708
23、)(rrkx)5,.(而 708)()(nnkWkX)7,.10(因此，当 时， ；当 时，令,.1)kXY15,.98，得到：)7,.10(8lk )()()()8(70870)8( lXWrxrxlYll 即 )kXY于是有 )(k7,.1)(k)8X5,.9k18 试计算 的离散傅里叶变换 的值304,21)(nNx若 )(nx)(kX。),(k【解】 140(kknNWxnX所以 5012)()( 030 NkknjjjjNNkkn eeWxX 224221030 02)()1( 242030)()2( jjkkn 3263030 01)()( jjNNkkn exX 证明题：19设
24、表示长度为 N 的有限长序列 的 DFT。)(kX)(nx（1） 证明如果 满足关系式)(nx)1()(nNxn则 0)(X（2） 证明当 N 为偶数时，如果)1()nxn则 0)2(X解 （1） 12120101010 )()()()()()()( NnNnNnNnnnk nxxWxXk令 m1012120)()()(NnNnmxX显然可得 )(（2） （将 n 分为奇数和偶数两部1010 )(NnnNnjkxexX分表示）12012120 )()(NrrNr xx120120)()(NrNr121)2()1(10120 krNrxNxNrr 令12002 )()(NrNkxx显然可得 )2
25、(X简答题：21在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？解：因为为采样时没有满足采样定理减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率 的频率成分。2sf22试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。解：离散傅立叶变换是 Z 变换在单位圆上的等间隔采样。三、离散傅立叶变换性质填空题：1已知序列 ，序列长度 ，写出序列3,210;,32kkx 4N的值（ ） 。)2(4RxN解： 3,210;,23,10;3,1,2 kkxxk2已知 ，则 和 4;40;,31 nhnx nx的 5 点循环卷积为（ ） 。h解： 32 kkxkx 4,3210;
26、,)()(55 kx3已知 则 的3,210;,24,3210;,3 knhknx nhx和4点循环卷积为（ ） 。解： 7346201423201230xhh证明题：4试证N点序列 的离散傅立叶变换 满足Parseval恒等式 nxkX210210NmNk证： 10210 *mXX21010*1010)(NkNkmmkkNkkNxxWx5 是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的)(nXkx和对称性： )()(1nxkN证明略。6 长为N的有限长序列， 分别为 的圆周共轭偶)(nx )(,nxoe )(nx部及奇部，也即 )(*)(21)(*)( nNxnNxnee )(*)(21)(
27、*)( nNxnNxnoo 证明： )(Im)(ReKXjnxDFToe证 )(*)(21*21*)( Nee nxnNxNnx )(Re)()(kXkX)(*)(21)(*)(21)(*)( Noo nxnNxnNxn )(Im)()( kXjkX7若 NxnDFTknxDFT,)( 求 证证： （1）10)(NknNW（2）10)()(kknxX由（2） ，将 互换，则有10)()(NkknN与（这应该是反变换公式）10)()(nknWxX（用 ，且求和取主值区）10)(NkknNk代 替10)(knkx与（1）比较 所以 NX)(8若 ，求证 。)()(kIDFTnx)()(1nRXkx
28、IDFTN证： 10)()(NkknWxxIDFS1010)(2)(NrrnrkNk krrX而 l（ 为整数）10)(NknrWl0 lNnr所以 )(1)(1)(2XlNXkxIDFS于是 RRnTN9令 表示 N 点序列 的 N 点 DFT，试证明：)(kX)(x（a） 如果 满足关系式 ，则 。)(n)1(nxn0)(X（b） 当 N 为偶数时，如果 ，则 。)2证： 10)()(nnkWxkX1,.0(N（a） 10)()(NnN 为偶数： 120120)()()(NnnxX0)()1()120120NnnxN 为奇数： )21()1()()(210120 NxnXnn)21(0)2
29、1( )1()21(110NxxnxxnNn而 中间的一项应当满足：)(nx)21()1()2( nxxN因此必然有 0nX这就是说，当 N 为奇数时，也有 。0)(X（b）当 N 为偶数： 10102)()2(NnnNnxWx120120120110 )()()( )()(NnnNnn nNn xx当 N 为偶数时， 为奇数，故 ；又由于1N故有,)1()(nn0)1()1(2200 NnnNnxxX10设 ，求证 。)(kxDFT)()nNxkXDFT【解】因为 nkNNW)(根据题意 10)(knkNx10)()(knkX因为 nkNkNW)(所以 )()(10kXDFTXxkkn11证
30、明：若 为实偶对称，即 ，则 也为实偶对)(nnNx)(k称。【解】 根据题意 10)()(NnnkWxkX的 周 期 性 质再 利 用 nkNNnkNx10)(10)()(nkn下面我们令 进行变量代换，则 mN1)()(NmmkWxX又因为 为实偶对称,所以 ，所以)(nx 0)(x)(0)(kNmkNkNWx可将上式写为 0)()(1) kkmWxXNmkx0)(NkmkNx)(0)( 10)(NmkWx所以 )()()(10)(XkXNmmkN即证。注意：若 为奇对称，即 ，则 为纯虚数并且奇)(nx )()nx)(kX对称，证明方法同上。计算题：12已知 ，用圆周卷积法求)30()1
31、(),30(1)( nnynx和 的线性卷积 。)(nyz解： ， 4,32x ,)(y因为 的长度为 , 的长度为)(41Nn42N所以 的长度为 ,故应求周期)(ynxz711的圆周卷积 的值，即7N)()()()(10nRmnyxnyxnz NNm所以 60,43,213序列 ，序列 。3,21)(为na1)(为nb（1）求线性卷积 （2）若用基 2 FFT 的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT 至少应取多少点？ 解：（1） nmbabanw)()()(所以 ，3,81440（2）若用基 2FFT 的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为 的长
32、度为 ；所以 得长度为)(na1Nnba。5121N故 FFT 至少应取 点。8314有限长为 N=100 的两序列01)(nx910n10)(ny980n做出 示意图，并求圆周卷积 及做图。)(,y )()(yxf解 示意图略，圆周卷积nx nn9010,2,83974,65,9738,210nnnf15已知 是长度为 N 的有限长序列， ，现将)(x )()(nxDFTkX的每两点之间补进 个零值，得到一个长为 的有限)(n1r rN长序列 )(y0)(rnx 1,0,Nirn求：DFT 与 的关系。 )(y)(kX解：因为 01NllWxk1k令knrNNrlrNnknrxyY12,010)()()( lrn
