1、立体几何单元测试一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下面四个命题：分别在两个平面内的两直线是异面直线；若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行其中正确的命题是( )A BC D答案：B2棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( )A平行 B相交C平行或相交 D不相交解析：由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选 B.答案：B3一直线 l
2、 与其外三点 A，B，C 可确定的平面个数是( )A1 个 B3 个C1 个或 3 个 D1 个或 3 个或 4 个解析：当 A、B、C 共线且与 l 平行或相交时，确定一个平面；当 A、B、C 共线且与 l异面时，可确定 3 个平面；当 A、B、C 三点不共线时，可确定 4 个平面答案：D4若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A三条交线为异面直线B三条交线两两平行C三条交线交于一点D三条交线两两平行或交于一点答案：D5如图，在ABC 中，BAC90 ，PA面 ABC，ABAC ，D 是 BC 的中点，则图中直角三角形的个数是( )A5 B8C10 D6解析：这些直角三角
3、形是：PAB，PAD，PAC，BAC，BAD，CAD，PBD，PCD. 共 8 个答案：B6下列命题正确的有( )若ABC 在平面 外，它的三条边所在直线分别交 于 P、Q、R，则 P、Q 、R 三点共线若三条平行线 a、b、c 都与直线 l 相交，则这四条直线共面三条直线两两相交，则这三条直线共面A0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：易知与正确，不正确答案：C7若平面 平面 ， l，且点 P，P l，则下列命题中的假命题是( )A过点 P 且垂直于 的直线平行于 B过点 P 且垂直于 l 的直线在 内C过点 P 且垂直于 的直线在 内D过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 答案：B8如右
4、图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，O 是底面 ABCD 的中心，M、N 分别是棱 DD1、D 1C1 的中点，则直线 OM( )A与 AC、MN 均垂直相交B与 AC 垂直，与 MN 不垂直C与 MN 垂直，与 AC 不垂直D与 AC、MN 均不垂直解析：易证 AC面 BB1D1D， OM面 BB1D1D，ACOM.计算得OM2MN 2ON 25，OMMN.答案：A9(2010江西高考)如图，M 是正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，给出下列四个命题：过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，B 1C1 都相交；过 M 点有且只有一条直线与直线 A
5、B，B 1C1 都垂直；过 M 点有且只有一个平面与直线 AB，B 1C1 都相交；过 M 点有且只有一个平面与直线 AB，B 1C1 都平行其中真命题是( )A BC D解析：将过点 M 的平面 CDD1C1绕直线 DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB， B1C1都相交，故 错误，排除 A，B ，D.答案：C10已知平面 外不共线的三点 A、B、C 到 的距离相等，则正确的结论是( )A平面 ABC 必平行于 B平面 ABC 必不垂直于 C平面 ABC 必与 相交D存在ABC 的一条中位线平行于 或在 内解析：排除 A、B、C，故选 D.答案：D11(2009广东高考)给定下列四个命
6、题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是( )A和 B和C和 D和答案：D12(2009海南、宁夏高考)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E、F，且 EF ，则下列结论错误的是( )12AACBEBEF 平面 ABCDC三棱锥 ABEF 的体积为定值DAEF 的面积与 BEF 的面积相等解析：易证 AC平面 BB1D1D，ACBE.EF
7、 在直线 B1D1上，易知B1D1面 ABCD，EF 面 ABCD，VA BEF 1 .13 12 12 22 224A、B、C 选项都正确，由排除法即选 D.答案：D二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填在题中横线上)13已知 A、B、C、D 为空间四个点，且 A、B、C 、D 不共面，则直线 AB 与 CD 的位置关系是_解析：如图所示：由图知，AB 与 CD 为异面直线答案：异面14在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取点 E、F、G、H ，如果EH、FG 相交于一点 M，那么 M 一定在直线_上答案：BD15如下图所示，以等腰直角
8、三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AD 为折痕使ABD 和ACD 折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD 与 CD 的关系为 _(2)BAC _.解析：(1)ABAC，ADBC ，BDAD ，CDAD，BDC 为二面角的平面角，BDC90，BDDC.(2)设等腰直角三角形的直角边长为 a，则斜边长为 a.2BDCD a.22折叠后 BC a.(22a)2 ( 22a)2折叠后ABC 为等边三角形BAC 60.答案：(1)BD CD (2)6016在正方体 ABCDAB C D中，过对角线 BD的一个平面交 AA于 E，交CC于 F，则四边形 BFDE 一定是平行四边形四边形 BFDE 有可能
9、是正方形四边形 BFDE 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形平面 BFDE 有可能垂直于平面 BBD .以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号)解析：如图所示：BEFD ，EDBF，四边形 BFDE 为平行四边形正确不正确(BFD不可能为直角) 正确(其射影是正方形 ABCD)正确当E、F 分别是 AA、CC 中点时正确答案：三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分) 如下图，已知 ABCD 是矩形，E 是以 CD 为直径的半圆周上一点，且面CDE面 ABCD.求证：CE平面 ADE.证明：Error!Error!CE面
10、 ADE.18(12 分) 求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形已知：如图，三棱锥 SABC，SC截面 EFGH，AB截面 EFGH.求证：截面 EFGH 是平行四边形证明：SC截面 EFGH，SC平面 EFGH，SC 平面 ASC，且平面 ASC平面EFGHGH，SCGH.同理可证 SCEF，GHEF.同理可证 HEGF.四边形 EFGH 是平行四边形19(12 分) 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1MAN a，如图23(1)求证：MN面 BB1C1C；(2)求 MN 的长解：(1)证明：作 NPA
11、B 于 P，连接 MP.NPBC， ，APAB ANAC A1MA1BMPAA 1BB 1，面 MPN面 BB1C1C.MN面 MPN，MN面 BB1C1C.(2) ，NP a，NPBC ANAC 23a2a 13 13同理 MP a.23又 MPBB 1，MP面 ABCD，MP PN.在 Rt MPN 中 MN a.49a2 19a2 5320(12 分)(2009浙江高考)如图， DC平面ABC，EBDC，ACBCEB 2DC2，ACB 120，P，Q 分别为 AE，AB 的中点(1)证明：PQ 平面 ACD；(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值解：(1)证明：因为 P，Q 分别
12、为 AE，AB 的中点，所以 PQEB.又 DCEB ，因此 PQDC ，又 PQ平面 ACD，从而 PQ平面 ACD.(2)如图，连接 CQ，DP ，因为 Q 为 AB 的中点，且 ACBC ，所以 CQAB .因为 DC平面 ABC，EBDC ，所以 EB平面 ABC，因此 CQEB.故 CQ平面 ABE.由(1)有 PQDC ，又 PQ EBDC，12所以四边形 CQPD 为平行四边形，故 DPCQ，因此 DP平面 ABE，DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角，在 Rt DPA 中，AD ，DP1，5sinDAP ，55因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为 .5521(12
13、 分) 如图，在四面体 ABCD 中，CB CD，AD BD，点 E、F 分别是 AB、BD的中点求证：(1)直线 EF面 ACD.(2)平面 EFC 平面 BCD.证明：(1)在ABD 中，E、F 分别是 AB、BD 的中点，EFAD .又 AD平面 ACD，EF 平面 ACD，直线 EF面 ACD.(2)在ABD 中，ADBD，EFAD，EFBD.在BCD 中，CDCB，F 为 BD 的中点，CFBD.CFEFF，BD平面 EFC，又BD平面 BCD，平面 EFC平面 BCD.22(12 分)(2010安徽文)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB 2EF2，E
14、F AB ，EFFB，BFC90，BFFC，H 为 BC 的中点(1)求证：FH 平面 EDB；(2)求证：AC平面 EDB；(3)求四面体 BDEF 的体积解：(1)证明：设 AC 与 BD 交于 G，则 G 为 AC 中点，连接 EG，GH，由于 H 为 BC中点，故 GH 綊 AB.12又EF 綊 AB，EF 綊 GH，12四边形 EFHG 为平行四边形，EGFH ，而 EG平面 EDB，FH平面 EDB，FH平面 EDB.(2)证明：由于四边形 ABCD 为正方形，ABBC ，EFAB，EFBC，而 EFFB，EF平面 BFC，EFFH ，ABFH.BFFC，H 为 BC 中点，FH BC，FH平面 ABCD，FHAC，FHEG ， ACEG .ACBD，EGBD G，AC 平面 EDB.(3)EFFB，BFC90，BF平面 CDEF，BF 是四面体 BDEF 的高，BCAB2， BF FC .2V BDEF 1 .13 12 2 2 13
