1、48 第 4 讲教师版满分晋级新课标剖析当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查 515 分要求层次内容A B C具体要求高考要求奇偶性 结合具体函数，了解奇偶性的含义2008 年 2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年(新课标 )北京高考解读 第 2 题 5 分第 13 题 5 分第 3 题 5 分第 13 题 5 分第 6 题 5 分第 14 题 5 分第 6 题 5 分第 8 题 5 分第 13 题 5 分第 14 题 5 分第 4 讲函数 3 级函数的单调性函数 4 级函数的奇偶性函数 5 级指数与指数函数函数的奇偶性
2、今天我们再学一个新的函数性质奇偶性，我们按照从直观到数学表达的顺序进行讲解因为奇偶性的判定比较容易，所以常见函数的奇偶性以及复合函数的奇偶性都直接结合例题适当拓展总结即可，不再单独作为考点给出4.1 函数奇偶性的定义与判别奇偶性的引入（直观）直观：特殊的对称性初中学过中心对称和轴对称，奇偶性正是反映这两个对称的问题的有些函数关于 轴对称：y 2xyx21yx Ox yx yOyOx像这样的关于 轴对称的函数叫做偶函数y还有一类函数呈现标准的中心对称，即关于原点的中心对称： ： yx1yx3yx3yx O yxO yxO yxO yx象这样的关于原点中心对称的函数叫做奇函数例：根据图象判断以下函
3、数的奇偶性： 50 第 4 讲教师版11O yxO yxO yxO y xO y x偶 偶 非奇非偶 不是函数 奇函数注意 不是偶函数，偶函数中 轴相当于一个镜子对着镜子照，发现你有钮扣，镜子里没有；或者y你带着手表，一照镜子，镜子里没有，像这种情况只有在大家来找茬里才有下面我们要从直观中寻找数学表达，先通过一些例子来总结总结规律例：直观判断下列函数的奇偶性（可以利用图象，或取值代入等方式） ； ； ； ； ； 4fx1fx3fx0fx1fx2fx答案：偶；偶；偶；既奇又偶；非奇非偶；奇先看偶函数的数学表达：总结：可以用数字验证，取一对相反数，若它们的值总是一样的，大概猜它是一个偶函数，这就是
4、我们总结出来的规律那么怎么判断一个函数是偶函数呢？换言之，我们看什么情况下这个函数是偶函数？任取 ，在它对称的地方取 ，看它们函数值是否相等，若相等就是偶函数，xx从而得到偶函数的数学表达： 定义域为 ，yfD 关于原点对称（ 任意 ，有 ） ；（如上面的图形对应的函数就不可能是偶函数）Dx任意 ， ，称 为偶函数xfxff再看奇函数的数学表达：任取一点 ，存在另 ，使 与 互为相反数 （这就是关于原点中心对称）xxffx对于奇函数有 f如果 ， ，则是非奇非偶函数fff考点 1：函数奇偶性的定义与判定知识点睛1奇函数：如果对于函数 的定义域 内任意一个 ，都有 ，且 ，那么()yfxDxD(
5、)(fxf函数 就叫做奇函数；()fx2偶函数：如果对于函数 的定义域 内任意一个 ，都有 ，且 ，那么函g g数 就叫做偶函数g3图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一y个函数的图象关于 轴对称，则这个函数是偶函数y练习 1：证明： 是偶函数证明： 是奇函数421fx31()gx答案 ：先看定义域：定义域为 ，0， 为偶函数44221f xff先看定义域：定义域为 ， 为奇函数331() (
6、)gxxgx()判断一个函数的奇偶性先看定义域是否对称，定义域 ， 都是对称的定10)(， ， R义域；而 ， 就不是对称的定义域，这样的函数一定是非奇非偶的0)， 1)，在一个函数的定义域是对称的基础上考查每个 ，看 与 是否相等或互为相反x()f)fx数函数的奇偶性是整体性，这与单调性截然不同经典精讲【铺垫】判断下列函数的奇偶性： ； ； ；()3fx()31fx4()1fx ； ； 122x【解析】 奇；非奇非偶；偶； 奇；非奇非偶； 偶【例 1】 将下列函数按照奇偶性分类： ； ； ；2()1fx， ()01fx， 1()fx ； ；2x52 第 4 讲教师版 ； ； ；32()1xf
7、21|xf1()()xf 是奇函数但不是偶函数的有_； 是偶函数但不是奇函数的有_； 既不是奇函数也不是偶函数的有_； 既是奇函数又是偶函数的有 （填相应函数的序号） 【解析】 ；看函数先看定义域，定义域不对称的一定是非奇非偶函数，如， ，与的定义域比较隐蔽，如果不注意定义域，直接化简，就会掉到坑里如：定义域 ， 且 ， ，非奇非偶如果直接化简10x 10x 1x 1，得到 就会误以为是偶函数，掉到坑里2f（这里学生化简可能会遇到困难，遇到 ，有 ，从而得结果）aa对： 的定义域为 ， .21|xf10， ， 22211|xxxf是奇函数从这里可以引申出三个结论：结论一：如果一个奇函数，在 处
8、有定义，则一定有 0x0f因为在 处，要关于 对称，又不可能同一个 对应两个 ，只能是 0x， xy0f也可以根据 ，有 fffff当然，奇函数可能在 处无定义，如 ，这样的就不用管，只要有定义，一定有0x1()x0f对于偶函数有这样的结论吗？没有如偶函数 2()f结论二：既奇又偶的函数有穷多个，这些函数的值域都为 0请别忘记，定义域不同的函数就是不同的函数如 ， ； ，fxR0fx； ， ； ， 图象为一个点它也是既奇又偶的函1x，0fx1，0fx数结论三：已知 ，系数 为常数5432()fabcdefabcdef， ， ， ， ，若 是奇函数，则系数满足 ；若 是偶函数，则系数满足()fx
9、 0()fx0ace对于一个多项式函数来说，若它是奇函数，则一定只有奇次项，若它是偶函数，则一定只有偶次项一般情况下认为，偶函数与 、 、 、 、常数 相关，由以上东西加加减减x2421xa得到的多为偶函数；若是与 、 、 、 相关基本上会觉得是奇函数若都有，如 ，135 1x，就是非奇非偶函数讲完结论三，就可以秒例 2 了21x【拓展】函数 的图象关于（ ）29|4|3|xyA 轴对称 B 轴对称 C原点对称 D直线 对称xy 0xy【解析】 B【例 2】 若函数 是偶函数，则 的递减区间是 2()(1)3fxkx()fx 已知函数 ，当 ， 时， 是奇函2mnmn()fx数【解析】 ；0)
10、， 12mn【例 3】 已知函数 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，且()fxR()gxR，则 的解析式为（ ）23()1fxg()gxA B C D22212x【解析】 C本题可以推广到任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和我们在秋季再展开讲【例 4】 已知 都是定义在 上的函数，下列说法正确的是（ ）()fxg， RA若 为奇函数， 为奇函数，则 为奇函数()x()fxgB若 为奇函数， 为奇函数，则 为奇函数f C若 为奇函数， 为奇函数，则 为偶函数()x fD若 为奇函数， 为偶函数，则 为奇函数f()gx()x 设函数 是奇函数，则 _3
11、1aa【解析】 B ；1拓展：复合函数的奇偶性也会由每一层的奇偶性决定，一个函数是奇的还是偶的，到底产生了什么样的变化，换言之，要判断函数是奇还是偶，把 取 ，看结果前是否有负号x如：要判断 的奇偶性yfghrx54 第 4 讲教师版相当于小人， ， ， ， 相当于 4 个守关 boss，来看一下每个 boss 的属性xrhgf偶： 对于“ ”的态度是坚决消灭，也就是“ ”闯不过偶函数这一关ffx奇： ，对“ ”可以闯过去令 ，看小人 闯关，逐层分析， “ ”能否过关取决于是否有偶函数如果每层函x 数都具有奇偶性，则只要某层为偶函数，复合后一定为偶函数只有所有层都为奇函数的情况下，复合后才是奇
12、函数如果某层出现非奇非偶函数，则没有固定的结论例：判断函数 的奇偶性231fx答案：偶函数最内层 为偶函数即可判定 为偶ufx不需要再考虑 与 的奇偶性，只要遇到偶函数，则一定为偶2v3yv函数运算之后的奇偶性也可以直接通过定义去验证，奇函数的和（或差）仍为奇函数，偶函数的和（或差）仍为偶函数，奇函数与偶函数的积，考虑奇函数的个数，有奇数个奇函数则为奇函数，有偶数个奇函数则为偶函数考点 2：函数奇偶性的简单应用知识点睛与奇偶性相关的几个问题：奇偶性在图象范围是一种对称性的体现：如果告诉你一个函数是偶函数，已知右半边的图象，你能否画出左边的？（可以随手给个图形为例） 若已知一个函数是奇函数，给出
13、左边图象，能否画右边的？（可以随手给个图形为例） 那这个过程能解决什么问题？若一个函数是奇/偶函数，且告诉你它在一半区间上的特点，就能反推到另一半特点，比如已知左边单调性、与 轴交点、最大值、最小值，你就能知道另一半什么样，x就好有一个镜子，你照一半，就知道另一半什么样如：已知 是偶函数，且 ，则fx13f；若 是奇函数，其它条件不变，则有 再比如已知 是奇/偶函数，给出(1)3f()fx 13fx在 （或 ）的解析式，就可以得到另一半的解析式x0练习 2： 是偶函数，且在 上， ，则在 上， _f 0，2fx0，()f答案 ： （可以通过图象的对称性得到，或者通过两点得到）1x经典精讲【例
14、5】 是偶函数，在 上， ，则在 上，fx0，243fx0，_() 是偶函数，在 上， ，则在 上， f，31f ，fx 已知函数 为 上的奇函数，且当 时， 求函数 的解析()fxR0x21()fx()式【解析】 （画图解决） 243fx可以画出图象的问题，知一半求一半可以直接通过图形得到当给出的一半的解析式不能画图时怎么办？有什么统一的方法？统一方法：以为例：设 ， ，0xx243fxfx目的求 ， （ 在左边取） ，而 要由对称的点求，即 ，先求 f f fx用此方法可以求出的解析式 ；31()fx 220()1xfx，4.2 单调性与奇偶性综合知识点睛所有跟奇偶性相关的问题实质上就是一
15、个问题：告诉你一半区间上的性质，让你去求另一半性质单调性：若一个偶函数在 上单调递增，则在 上单调递减；0， 0，若一个奇函数在 上单调递增，则在 上单调递增说明：偶函数在对应区间上单调性相反，奇函数在对应区间上单调性相同56 第 4 讲教师版奇函数与偶函数的单调性可以通过单调性的定义去证明由此可以得到奇（或偶）函数的值域与最值的一些相关结论，如偶函数在 上的值域与它在 上的值域相同而奇函数在0， 0，上的值域若为 ，则它在 上的值域为 偶函数在 上的最值与0，34，430，它在 上的最值相同；奇函数在 上的最大值的相反数是它在 上的最小值奇， 函数在 上的最小值的相反数是它在 上的最大值这些
16、通过图象都很容易得到， 0练习 3：已知 ，它是奇函数，已知它在 上单调递减，在 上单调递增，那么1fx1，1，可以得到它在 上的单调情况为_(0)，答案 ：在 上单调递减，在 上单调递增10，1，经典精讲【例 6】 定义在 上的偶函数 满足在 上单调递增，则（ ）R()fx0)，A B(3)21f(12(3)ffC D3f 3 设 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，则 与fx ， (1)f（ ）的大小关系是_2()aa 是偶函数，在 上单调递增，且 ，解不等式 f0， 10f20fx【解析】 ； ；2(3)(1ff ，【拓展】已知定义在 上的奇函数 是一个减函数，且 ， ， ，则Rfx
17、120x230x310x的值（ ）123fxffA大于 B小于 C等于 D以上均有可能00【解析】 A已知定义在 上的奇函数 是增函数，求使 成立的实数 的2， ()fx(21)()0fafaa取值范围【解析】 ；30，实战演练【演练 1】 定义在 上的函数 是奇函数，且 ，则 （ ）R()fx()0fx2()1()FxfxA是奇函数但非偶函数 B是偶函数但非奇函数C既是奇函数又是偶函数 D为非奇非偶函数【解析】 A【演练 2】 在 上， ， 在定义域上为偶函数求在0)，4321fxxfx上，0，fx 是奇函数，当 时， ，则在 上，(0)x， 21fxx0，f【解析】 ；432()1x ；f
18、x【演练 3】 函数 的图象关于 轴对称，它的定义域为 ，则函数23faby32a，的值域为 fx【解析】 ；7，【演练 4】 已知 是偶函数， 是奇函数，若 ，则 的解析式为()fx()gx1()fxg()fx_【解析】 ；21fx【演练 5】 已知函数 1()fx求证：函数 为奇函数；用定义证明：函数 在 上是增函数()f)，【解析】 的定义域为 关于原点对称；1()fx|0x1()f所以函数 为奇函数()fx 任取 ，且 ，则12， ， 12x58 第 4 讲教师版，1212()fxfxx211()x12()x由 ，且 ，可知 ， ， ， 1210所以 所以函数 在 上是增函数12()ff()f，概念要点回顾1奇函数与偶函数的定义域都关于_对称，奇函数满足_，且奇函数的图象关于_对称；偶函数满足_，且偶函数的图象关于_对称2奇函数在对称区间上的单调性_，偶函数在对称区间上的单调性_3如果一个奇函数在原点有定义，则一定有 _(0)f答案：1原点； ，原点（中心对称） ； ， 轴；()(fxf()fxfy2相同；相反；3 0
