1、1导数中双变量的函数构造21（12 分）已知函数 （ ）()lnexfxR（1）若函数 是单调函数，求 的取值范围；()f（2）求证：当 时，都有 120x21121exx21解：（1）函数 的定义域为 ， ，()f(0,)()lnexfx，e()xxf函数 是单调函数， 或 在 上恒成立，()f ()0fx ()fx (0,) ， ，即 ， ，()0fx e ex ex令 ，则 ，当 时， ；当 时， ()ex1()ex01()01()0x则 在 上递减， 上递增， ， ；()0,1(,)min()()xee ， ，即 ， ，()fx e0x e0x x由得 在 上递减， 上递增，又 ， 时
2、 ，()ex(,1)(,)()0()0x；0综上可知，或 ； .6 分1e 0（2）由（1）可知，当 时， 在 上递减， ，1e=1()lnexfx(0,)120x ，即 ， ，12()fxf12lnlxx2112lnx要证 ，只需证 ，即证 ，21121exx 2121lnxx1221lx2令 ， ，则证 ，令 ，则 ，12xt(0,)t1lnt1()lnhtt21()0th 在 上递减，又 ， ，即 ，得证 ()ht,()0h()tlt.12 分典例 已知函数 f(x)ax 2xln x(aR)的图象在点(1，f(1)处的切线与直线x3y0 垂直(1)求实数 a 的值；(2)求证：当 nm
3、0 时，ln n ln m mn nm解 (1)因为 f(x)ax 2xln x，所以 f (x)2axln x1，因为切线与直线 x3y 0 垂直，所以切 线的斜率为 3，所以 f (1)3，即 2a13，故 a1(2)证明：要证 ln nln m ，mn nm即证 ln ，只需 证 ln 0nm mn nm nm mn nm令 x，构造函数 g(x)ln x x(x1)，nm 1x则 g(x) 11x 1x2因为 x1，)，所以 g(x) 10，1x 1x2故 g(x)在(1，)上单调递增由已知 nm 0，得 1，nm3所以 g g(1)0，(nm)即证得 ln 0 成立，所以命题得证nm
4、 mn nm1(2017石家庄质检)已知函数 f(x)a (x0)，其中 e 为自然对数的底xx2ex数(1)当 a0 时，判断函数 yf(x)极值点的个数；(2)若函数有两个零点 x1，x 2(x1x 2)，设 t ，证明：x 1x 2 随着 t 的增大而x2x1增大解：(1)当 a 0 时，f(x) (x0) ，x2exf(x) ， 2xex x2exex2 xx 2ex令 f(x)0，得 x2，当 x(0,2)时，f (x)0， yf(x)单调递减，当 x(2，)时， f(x) 0，yf(x) 单调递增，所以 x2 是函数的一个极小值点，无极大值点，即函数 yf(x)有一个极值点(2)证
5、明：令 f(x)a 0，得 x ae x，xx2ex 32因为函数有两个零点 x1，x2(x1x 2)，所以 x1 ae x1，x aex 2，可得 ln x1ln ax 1，232ln x2ln ax 232取对数，做差将两个零点x1，x2(x1x 2)，用 t 表示，注意的隐含范围。4故 x2x 1 ln x2 ln x1 ln 32 32 32 x2x1又 t，则 t1，且Error!x2x1解得 x1 ，x2 32ln tt 132tln tt 1所以 x1x 2 32t 1ln tt 1令 h(x) ，x(1，)，x 1ln xx 1则 h(x) 2ln x x 1xx 12令 u(
6、x)2ln xx ，得 u(x) 21x (x 1x )当 x(1，)时， u(x) 0因此，u (x)在 (1，)上单调递 增，故对于任意的 x(1，)，u(x)u(1)0，由此可得 h (x)0，故 h(x)在(1， ) 上单调递增因此，由 可得 x1x 2随着 t的增大而增大2(2016全国乙卷)已知函数 f(x)(x2)e xa(x 1)2 有两个零点(1)求 a 的取值范围；(2)设 x1，x 2 是 f(x)的两个零点，证明： x1x 20，则当 x(，1)时，f(x)0，所以 f(x)在( ，1) 内单调递减，在(1，)内单调递增又 f(1)e，f(2) a，取 b 满足 b (
7、b2)a(b1) 2a 0，a2 (b2 32b)故 f(x)存在两个零点设 a0，因此 f(x)在(1，)内单调递增又当 x1 时，f (x)1，e2故当 x(1，ln(2a) 时， f(x)0.因此 f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当 x1 时，f (x)f(2x 2)，即 f(2x 2)1 时，g(x)1 时，g(x)0.从而 g(x2)f(2x 2)0，故 x1x 22.3.已知函数 f(x)e xax1(a 为常数)，曲线 yf(x)在与 y 轴的交点 A 处的切线斜率为1(1)求 a 的值及函数 yf( x)的单调区间；(3)若 x1ln 2
8、，x 2ln 2，且 f(x1)f(x 2)，试证明：x 1x 22ln 2解：(1)由 f(x)e xax1，得 f(x)e xa又 f(0)1a1，所以 a2，所以 f(x)e x2x1， f (x)e x2由 f(x)e x20，得 xln 2所以函数 y f(x)在区间( ， ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增(2)证明：设 xln 2，7所以 2ln 2 xln 2，f(2ln 2x)e (2ln 2x) 2(2ln 2x)1 2x4ln 214ex令 g(x)f( x)f (2ln 2x)e x 4x4ln 2( xln 2)，4ex所以 g(x) ex4e x 40
9、，当且仅当 xln 2 时，等号成立，所以 g(x)f(x)f (2ln 2 x)在(ln 2， )上单调递增又 g(ln 2)0，所以当 xln 2 时，g(x)f( x)f(2ln 2x) g(ln 2)0，即 f(x)f (2ln 2x)，所以 f(x2)f(2ln 2x 2)，又因为 f(x1)f(x 2)，所以 f(x1)f(2ln 2x 2)，由于 x2ln 2 ，所以 2ln 2 x2ln 2，因为 x1ln 2 ，由(1)知函数 yf( x)在区间(，ln 2)上单调递减，所以 x12ln 2x 2，即 x1x 22ln 284(2017沈阳质监)已知函数 f(x) x2aln
10、 xb(aR) 12(1)若曲线 yf( x)在 x1 处的切线的方程为 3xy30，求实数 a，b 的值；(2)若 x1 是函数 f(x)的极值点，求实数 a 的值；(3)若2a 0，对任意 x1，x 2(0,2 ，不等式|f(x 1)f(x 2)|m 恒成|1x1 1x2|立，求 m 的最小值解：(1)因为 f(x) x2a ln xb，12所以 f (x)x ，ax因为曲线 y f(x)在 x1 处的切线的方程为 3xy 30，所以Error!即Error!解得Error!(2)因为 x1 是函数 f(x)的极 值点，所以 f (1)1a0，所以 a1当 a1 时，f (x) x2ln
11、xb，定 义域为(0 ， )，12f(x)x ，1x x2 1x x 1x 1x当 0x1 时，f (x)0，f(x)单调递减，当 x1 时，f (x)0，f (x)单调递增，所以 a1(3)因为2 a0,0x2，所以 f(x)x 0，ax故函数 f(x)在(0,2 上单调递 增，9不妨设 0x 1x 22，则|f(x 1)f( x2)|m 可化为 f(x2) f (x1) ，|1x1 1x2| mx2 mx1设 h(x)f( x) x2aln xb ，mx 12 mx则 h(x1)h(x 2)所以 h(x)为(0,2 上的减函数，即 h(x) x 0 在(0,2上恒成立，ax mx2等价于
12、x3axm0 在(0,2上恒成立，即 mx 3ax 在(0,2 上恒成立，又2a0，所以 ax2x，所以 x3axx 32x，而函数 yx 32x 在(0,2上是增函数，所以 x32x12(当且仅当 a2，x2 时等号成立)所以 m12，即 m的最小值为 125已知函数 f(x)x ，g( x)aln x(aR)1x(1)当 a2 时，求 F(x)f (x)g(x)的单调区间；(2)设 h(x)f(x)g( x)，且 h(x)有两个极值点为 x1，x 2，其中 x1 ，求(0，12h(x1)h( x2)的最小值解：(1)由题意得 F(x)x aln x(x0)，1x则 F (x) ，令 m(x
13、)x 2ax1，则 a24x2 ax 1x210当2a 2 时，0，从而 F(x)0，所以 F(x)的单调递增区间为(0，)；当 a2 时 ，0，设 F(x)0 的两根为x1 ，x2 ，a a2 42 a a2 42所以 F(x)的单调递增区间为和 ，(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )F(x)的 单调递减区间为 (a a2 42 ，a a2 42 )综上，当2a2 时，F(x)的单调递增区间为(0 ，)；当 a2 时，F(x) 的单调递增区间为和 ，(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )F(x)的 单调递减区间为 (a a2 42 ，a a2 42 )(2)对 h(
14、x)x aln x，x(0，)求导得，1xh(x)1 ，1x2 ax x2 ax 1x2h(x)0 的两根分别为 x1，x2，则有 x1x21，x 1x 2a，所以 x2 ，从而有 ax 1 1x1 1x1令 H(x)h(x) h (1x)x ln x1x ( x 1x) 1x x ( x 1x)ln 1x112 ，( x 1x)ln x x 1x即 H( x)2 ln x (x0)(1x2 1) 21 x1 xln xx2当 x 时， H(x)0，所以 H(x)在 上单调递减，(0，12 (0，12又 H(x1)h(x 1)h h(x1)h(x 2)，(1x1)所以h( x1)h(x 2)m
15、inH 5ln 23(12)6.设 f(x)e x a(x1)(1)若xR ，f(x)0 恒成立，求正实数 a 的取值范围；(2)设 g(x)f( x) ，且 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)(x1x 2)是曲线 yg(x)上任意两aex点，若对任意的 a1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 m 的取值范围解 (1)因为 f(x)e xa(x1) ，所以 f (x)e xa由题意，知 a0，故由 f (x)e xa0，解得 xln a 故当 x(，ln a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递减；当 x(ln a，)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增所以函数 f(x)的最小值为
16、 f(ln a)e ln aa(ln a1)aln a12由题意，若xR，f( x)0 恒成立，即 f(x)e x a(x1)0 恒成立，故有aln a 0，又 a0，所以 ln a0，解得 0a1所以正实数 a的取值范围为(0,1(2)设 x1，x2是任意的两个实数，且 x1x 2则直线 AB的斜率 为 k ，gx2 gx1x2 x1由已知 km，即 mgx2 gx1x2 x1因为 x2x 10，所以 g(x2)g (x1)m(x 2x 1)，即 g(x2)mx 2g(x 1)mx 1因为 x1x 2，所以函数 h(x)g(x) mx 在 R 上为增函数，故有 h(x) g(x) m0 恒成
17、立，所以 mg(x) 而 g(x) e xa ，aex又 a10，故 g(x) e x a2 a2 a aex ex aex a而 2 a2 ( )2( 1) 213， a a a a13所以 m的取值范围为(，314练习：1 已知函数 .xagxfln,21(1)若曲线 在 处的切线的方程为 ,求实数 a 的值;y 0526yx(2)设 ,若对任意两个不等的正数 ,都有 恒成立,求实数xgfxh2121xha 的取值范围;(3)若在 上存在一点 ,使得 成立,求实数 a 的取值范围.e,10x0000 xgxff 2.已知函数 .Raxxf2ln（1）若 ，恒有 成立，求实数 的取值范围；0f（2）若函数 有两个极值点 ，求证： .xfg21,xaex2ln115
