1、 本讲分成三大块：三角函数、平面向量与函数，针对学校的期末考试进行的复习，题量稍大，老师可以根据学生的需求重点讲解一些模块与例题15.1 三角函数知识点睛经典精讲【例 1】 已知 是第一象限角 ， 是锐角 ， 是小于 的角 ，那A|B|C|90么、 、 的关系是（ ）BCA B C DAAB 已知 ，且 ，则 1cossin2250，33sincos22第 15 讲 期末复习2 第 15 讲目标班教师版 函数 的部分图象如右图所示，则 ，sin0yAx， 1239fff (北京四中 2010-2011 学年度高一第二学期期中试卷)函数 的图象为sifxC图象 关于直线 对称；C12x函数 在区
2、间 内是增函数；f5，由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 3sinyx3C以上三个论断中，正确的论断是 （目标班专用）已知函数 ， ，有下列命题：()sinfx()sin2gx当 时， 的最小正周期是 ；2()fxg当 时， 的最大值为 ；198当 时，将函数 的图象向左平移 可以得到函数 的图象()fx2()gx其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上） 【解析】 B 3603609AkkkZ， 09B， 90C，显然有 ， ，且 ， 之间没有包含关系，选项 B 正确BCAC， 75；1cossinsinco225；33incosi两式分别平方相加得 ，即 ，22214
3、9coin5从而 ，又 ，故 7cosin507cosin注：因为本题三角函数值比较特殊，直接看出 也有可能，只是需要注43cs5，意这种观察得到的结果不一定惟一，可能漏解 4， 2观察图象可知： 284AT， ，由 知 2sinfkZ，8 -2 6422O y x ()2sin2sin4fxxkx由图象或由解析式可知 关于 中心对称，故 ；()f(0)， ()8)0fx于是 1(7)6352(4)0f ff故 239(8)9f ，图象 关于直线 对称，正确sinsin3112fC12x当 时， 此时函数 是增函数，正确52xx， f，3sin3sin6f是由 的图象向右平移 个单位长度得到的
4、，错误 fxi2yx .【例 2】 若 ，则 等于（ ）(cos)f(sin15)fA B C D3232212 已知 ， ，则角 的终边所在的象限是（ ）1sin4cos4A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (北京四中 2010-2011 学年度高一第二学期期中试卷)已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等于 ()2sinfx043， 2 （目标班专用） （人大附中联合 2010-2011 学年度必修四模块试卷）已知存在实数 （其中 ）使得函数 是奇函数，且在，Z，cosfxx上是增函数04，当 ， 时， 的值为 1所有符合题意的 与 的值为 【解析】 A法一： 2(co
5、s)cos1fxx， 21fxx- = (sin15f23i10法二： = = )fcs75f 2 C，1339sin2ios2048 为第三象限角5co1， 24 第 15 讲目标班教师版的周期为 ，因为 ， 在 上单调递增，fx2=T0()2sinfx4Tx，所以 在区间 上至少有一个最小值点，4， 24 ， 2 是奇函数， 2cosfxx2kZ，当 时， 在 上是减函数，与已知矛k2cossinfxx04，盾当 时， 在 上是增函数2s2sifk，又因为 ，所以 ，2 或 或 或 ，21kk21k2kZ由可得： ， 在 上是增函数2Z， fx04， 4T 当 时， ， 在 上是增函数，
6、2kcos2sinfxxkxf04， ， 或 0Z， 1当 时， ， 在 上是增函数， 2ssi2ffx， ， 或 ， 2【例 3】 已知函数 ，其图象过点 211sincossin02fxx例如此类的角度问题，是一个易错点，特别需要注意对角度的范围的判断，根据定义，如果 ，那么 是锐角或者 ；如果 时，那么 是钝角或0， cos00cos0者 ，在做题目时一定要注意区分清楚.【例 6】 设 是两个非零向量，下列说法正确的有 _ab，若 ，则 ；若 ，则 ；ab ab ab若 ，则存在实数 ，使得 ；若存在实数 ，使得 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 abababab （目标班专用）设 为同一平
7、面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足c， ，与 不共线， ， ，则 的值一定等于（ ）A以 为邻边的平行四边形的面积 B以 为两边的三角形的面积ab， bc，C以 为两边的三角形的面积 D以 为邻边的平行四边形的面积， ，【解析】 ；利用向量加法的三角形法则知， 不共线时， 可构成三角形，均错ab， ab， ，误；正确； 错误，因为当 时， ；利用向量加法的平行四边形法0则知 可看成是起点相同的向量 构成的平行四边形的两条对角线，故ab， ，这个平行四边形为矩形 ，均正确ab A假设 与 的夹角为 ，则 与 的夹角可能为 ，bc909027， ，于是 ，即为以 ， 为邻边的平行四边形的c
8、ossinsiba， ab8 第 15 讲目标班教师版FECA BDa b面积，故选 A本题也可使用排除法，首先 B，D 肯定不正确，只可能为 A，C，再由特殊情况排除 C 答案【例 7】 在 中，已知 是 边上一点，且 ，若B DB23A，Aa，则 （ ）bA B123213abC D4a4 一个质点受到平面上的三个力 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知123F，成 角，且 的大小分别为 1 和 2，则有（ ）12F，012，A 成 角 B 成 角3913，50C 成 角 D 成 角2， 26 如图，在 中， ， 是C AAC， ， DB边上一点， ，则 等于（ ）A B C D8383
9、323 已知在 中，已知 ， ， ，则 4B5CAB (目标班专用 ) （2010 年天津高考）如图，在 中， ， ，AB 3D，则 1ADCA【解析】 A法 1： Bba23123ab法 2：过点 分别作 的平行线，交 于点 ，DCAB，CBA，F由平面几何知识可得 2133FbEa， 1Ea A法一：如图所示， 与 和 的合力方向相反，选 A312法二：不妨设 所表示的向量为 ， 12F， abc， ，则 ， 0abc+， 222143ab ，即 与 垂直32F AF3 F2F1D CBAbaD BACAB CD由已知 ， （方法同） ，BCA213DABC 2221 1cos12033D
10、ABC1842 ；25因为 ，所以 ，从而 2225ACBACB0CA.A25B 3法一： DBDBCA33A23A转化的思路是将各个向量往已知长度与角度关系的向量上逐步转化，即往 上转化B，法二：如图，过 作 ，交 的延长线于 ，CED E A23A【点评】 关于向量的数量积，与几何相关的利用公式首先考虑利用公式 ，有坐标cosabab的，直接考虑利用公式 如果无法直接求出，要设法把向量进行拆分，转化12abxy为其它已知向量的和或差，利用已知条件得到结论【备选】已知向量 ，若 ，且 (cos,in),axb85ab42x 试求出 和 的值；求 的值4ta4xsin2(1t)x【解析】 ，故
11、 82cosin2si5abxx i45，4ii44又 ， ， ，2x0x23sin15x 3tan4 ，27coscos1sin245xxx，tant1t taxx， ，故 4si53244tan3xEDCBA10 第 15 讲目标班教师版 sin2(1ta)742825375x【备选】已知点 ， ， ，且 尖子班2,0A,Bcos,inC0 若 ，求 与 的夹角；7OO 若 ，求 的值Ctan【解析】 ，即 ， 2cosin71cos2又 ， 0,3AC又 ，结合三点位置知， 与 的夹角为 2AOB OBC6 ， ，cos,inCcos,in2 ， ， ，0C1 ，2 2221siisct
12、ant1csi4no解得 7tan3由 ， 知， ，故 ，1cosi20,324， tan1 47tan3【备选】已知向量 ， ，且 ， cos,in2xcos,in2xb 0,2x 求 及 ；ab 若 的最小值是 ，求 的值fxa3【解析】 ，33cossinicos222xx，coiinab cos2sx ， 0,2x2sabx ， 2cos4co4s1cos1f xx， ，,x01x，当 时， 时，有 ，故 ，0,1cs2minfx2312又 ，故 ；,2当 时， 时，有 ；0cos0xmin312fx当 时， 时，有 ，舍去11i 5418综上所述： 2【例 8】 （目标班专用）已知向
13、量 ， ， 是定义在 上的函数，ae1()fxaeR 若 对所有 都成立，求证： ；()1fxf xR 求当 取何值时， 取到最小值()f【解析】 ，即()ff ae 22axe，22)1ax整理得 ，(0要此不等式对于任意 成立，当且仅当 R24()(1)0ae于是得 ，故 2(1)0ae 1ae，即 ；)() ， ，是一个开口向上的抛物线，(fx 222()()fxxae故当 时， 取得最小值，此时 也取到最小值ae f【点评】 函数 定义为向量的模长，它有着明确的几何意义()f若向量 不平行，我们用两条起点相同的有向线段表示它们，如右图：，表示起点 在向量 所在直线上，终点 为向量 的终
14、点的一个活axeAeBa动的向量， 时， ，显然，当向量 时， 的模Ox()fAAeB长取到最小值，即 有最小值15.3 函数回顾因为大部分学校期末考试都会考查函数，所以这里安排了对函数的回顾，供老师选讲经典精讲【例 9】 计算： ; ; lg25l1082log9322l5lg85l0lg 满足不等式 的 的取值范围是_xaeOBA12 第 15 讲目标班教师版满足不等式 的 的取值范围是_0.2logx【解析】 ； ； 123 ； ,1【例 10】 （2012 广州七中高一上）已知函数 是 上的偶函数，且 在 上()yfxR()fx0)，是减函数，若 ，则 的取值范围是 ()2)faf a
15、 设偶函数 在 上是单调递减函数，则 与 的大小logxb(0)， (2)fb(1)fa关系是( )A B2(1)fbf (2(1)fbfaC D不能确定a 已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数当 时，fx|xR， fx1x，那么当 时， 的递减区间是( )2()f)fA B C D54， 74， 514， 74， （目标班专用）已知 在 上是减函数，则实数 的取值范围是2log()ayx0， a_【解析】 ；2, ；C由此函数为偶函数知 ， ，当 时， 在 上单调0b()logafx0x()logafx(0)，递减，故 ， ，而 ，故 ，01a(2(2)ff1212f即 ()ff B；是奇函
16、数，故 有对称中心 ，故 有对称中心 ，可作出函fx()fx(0)， ()fx(0)，数的草图，如下（也可以直接根据中心对称函数在对称区间上的单调性相关直接得到结果） ， 关于 的对称直线为 ，故所求递减区间为 14(0)， 74x74， x=141O y x ；102，由 是底知 ，故 在 上单调递增，又复合函数在 上单调递减，a02ax0， 20，故 也是减函数，故 又函数在 上有定义，故 对logayx01a20， 20ax恒成立，而当 时， ，综上知， 20， 2x214xa1，【例 11】 （广州高一测试）已知定义在 上的函数 同时满足下列三个条件：(0)， ()fx ； 对任意 都
17、有 ；()1fxy、 ， (fyy当 0,()0xf时 求 、 的值；(4)f2 证明：函数 在 上为减函数；()fx)， 解关于 的不等式 (12fx【解析】 ；42fff，于是 f12f 设 ，则根据已知 ，120x1112220xxxff 因此函数 在 上为单调递减函数f0, fx24fxff4fxf，因此原不等式的解集为 241 1,2【备选】设函数 ()4)2xxfa 求函数 在区间 上的最大值和最小值；(， 设函数 在区间 上的最大值为 ，试求 的表达式)fx46， ()ga()【解析】 在区间 上， .2， ()2)(4fxx所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，()f1
18、， 12，所以 在区间 上的最大值为 ，x， ()9f最小值为 (2)0f 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，a 41， 16，所以 的最大值为 ()fx9当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 单28 ()fx， 2， 2a，调递增，在 上单调递减，此时 ， ，26a， (1)9f29af所以 的最大值为 . ()fx9当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在810a ()fx41， 12，单调递增，在 上单调递减.此时 ，2， 26a，2(1)af f14 第 15 讲目标班教师版所以 的最大值为 ()fx2()4a当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 单调递增，10a()f1， 12， 26，此时 ，所以 的最大值为 (6)4ff()fx4(6)a综上， 298()1046aag
