1、 满分晋级新课标剖析当前形势 三角函数、三角恒等变换、解三角形在近五年北京卷（理）中考查 613 分要求层次内容A B C具体要求两 角 和 与 差 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 公 式 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系高考要求简单的恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换2009 年 2010 年 (新课标) 2011 年（新课标） 2012 年（新课标） 2013 年 (新课标)
2、北京高考解读 第 15 题第问6 分 第 15 题 13 分 第 15 题 13 分 第 15 题 13 分 第 15 题 13 分第 12 讲 和差角公式和二倍角公式三角函数 6 级正弦型函数的图象性质及综合应用三角函数 7 级和差角公式和二倍角公式三角函数 8 级三角恒等变换三大问题2 第 12 讲教师版12.1 和角公式与差角公式知识点睛1两角和与差的余弦公式 Ccoscossin 推导：证法一：如图，在直角坐标系 内作单位圆 ，并作出角 ， 与 ，xOy使角 的始边为 ，交 于点 ，终边交 于点 ；角 的始 1PO 2P边为 ，终边交 于点 ，角 的始边为 ，终边交 于2P 31点则
3、， ， ，410， 2cosin， 3cossin，cosin，由 及两点间的距离公式，得1324P2si2cosnsi展开并整理，得 cocosin si于是 cossicossin 证法二：以坐标原点为中心作单位圆，以 为始边作角 与 ，它们终边分别与单位圆相交于点 ，OxP，则 ， ， QcosinP， cosinQ， 1POQ因此存在 ，使 或 成立kZ2Pk 2k，因为 iicossinO ， ，cosO，所以 cos()ins于是 cosincossin 2两角和与差的正弦公式 Ssinsincsin o yxO+-P3 P2P4P1xyQPO推导： sincoscos22cosc
4、osinsi22iininsin ii3两角和与差的正切公式tatnTta1nt 推导： sisincosintanco把后面一个分式的分子、分母分别除以 得cosc0,tanttan1把公式中的 换为 ，得 tanttan1练习 1 和练习 2 是和差角公式直接应用的配套练习，如果学校已经学习过可以不做，可能有些学校的进度较慢，有些学生没有学习过，供老师们选择使用练习 1：已知 ， ， ， 是第三象限角，求 ， ，3sin5212cos3cos()cos()， 的值()i()【解析】 由 ， 得 ， ；si， 24ssin53tan4由 ， 是第三象限角得 ， ，12co31312 ；43s
5、()csosin565；co 13；241sin()sicosin56513练习 2：若 ， 是第三象限的角，则 （ ）4sin5tan4A B C D777373【解析】 B因为， 是第三象限的角，所以 ，则 ，4sin5cos54tan34 第 12 讲教师版tant4tan741经典精讲考点 1：公式的逆用公式的正用就象上面的练习 1 和练习 2，直接使用公式就可以算出来而公式的逆用是从右到左的，铺垫是两个小例子，让同学熟悉这样的形式，在讲完铺垫后老师就可以讲例1 与例 2 了【铺垫】（2010 福建理 1）计算 的结果等于（ ） sin43co1s43in1A B C D222 可以化
6、为（ ） ，cossisiA B C Dcocossin2【解析】 A1sin43co1s43in1si431in302 Biicocos例 1 里都是正余弦公式逆用的题【例 1】 的值为（ ）cos54cos75in4A B C D2321232 的结果等于（ ）sin13ssA B C D3【解析】 A1cos154cos75in4si75co4s75in4si7542 D；3sin3ss3s1i3s1cos0例 2 是两角和与差的正切公式的变形和逆用，常见的变形有： tanttan1tantanttanttan1t老师在说完这种变形之后，就可以讲例 2 了【例 2】 求值： ；tan15
7、t30tan15t30 ； _t2t2tant663【解析】 ；1，所以tan15t30t4t15t01tan5t30则 an ；21tan5ta10tttat而 45(105)1n0a5所以原式值为 2 ；原式 tanttantant6363t2t1tttanta63 1考点 2：公式的灵活运用与 相加减可得含 与 的式子，相比即得 ；Ssincosintan与 相加减可得含 与 的式子，相比即得 C co在具体讲解的时候，老师可以讲例 3 第一问，让学生做第二问【例 3】 已知 ， ，则 的值为_1cos5cos5tan 已知 ， ，则 的值为 _ in61in3t【解析】 ；12依题意有
8、 ，所以 1cossin53 2cos51insin1tanco26 第 12 讲教师版 ；3依题意有 ，1sincosin63所以 ， 1sinco42tansicon下面的题目是一种常见的变形，寻找两个式子之间的联系处理的方式一般是两式平方再相加会得出我们想要的形式老师可以拿下题来讲解，再让学生做例 4已知 ，则 = 4sin53cocos【解析】 ；12即 ，22sincso12cossin1得到 ，从而 ocs【例 4】 已知 ，则下列结论正确的是（ ）4sinc53oiA B C D1cs21sin21cos21sin2 已知 ，则 的值为 4inco4cos3， in 已知 ，则
9、的值为 ssi00， cos【解析】 D； 12依题意有 ，224sincosin4cos8化简整理得： ，所以 1 1in2 ；12所以有 ，sinisncoscos， 22sicos1即 ， 所以 2121考点 3：公式在三角形中的应用1在 隐含条件： ，即 ， ABC ABCABC2ABC常用等式： ， sin()siinsicos22在 ， 与 是等价的 证明： 若 ，则 ，ABsiiB因为 ，所以 ，00A根据正弦函数的单调性，易得 （ 均为锐角）siniB，或 （ ），sinii2所以若 ，则 ，ABsnB 若 ，则 ，ii因为 ，所以 ，00A当 时，则 ，则 ，2 2 sini
10、sinA当 为锐角时，则 或 ，AB 因为三角形的内角都在 上，所以它们的正弦值都为正，但已知内角的正弦值求余(0)，弦值就需要对角度大小进行判断，以确定余弦值是正是负，有时需要用到上面的结论去估计角的大小范围，如下面例 5【例 5】 在 中， ， ，则 的值为_ABC 3coscs13BcosC 已知在 中， ， ，则 的值为（ ） in5AA 或 B 或 C D165656165【解析】 3 、 、 为 的内角，CA 、 、 ， AB(0)B ，sinsi ，3co5c138 第 12 讲教师版 ， 4sin5A12si3B cocos(cossin)CABBA165 D在 中， ， ，
11、AB 0C因为 ，所以 5cos1312sin3B又 ，所以 ，所以 ，inA所以 为锐角，故 A4cos5从而 cosCBcosBcossinAB165例 6 主要是判断三角形的形状，我们现在判断三角形形状只能根据内角和为 等基本条件，能解决的问题也有限，更多的判断三角形形状会在我们学完解三角形后遇到【例 6】 在 中，若 ，则这个三角形是（ ）ABC tan1AB等腰直角三角形 等腰三角形 锐角三角形 钝角三角形CD 在 中，已知 ，则 是（ ） sicossin1AB ABCA锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰非直角三角形【解析】 C ；由 知， 且 （如果同负会出现两个钝角
12、，不可能） ，故tan0tan0Ata均为锐角B， ，即 ，即 ，t1A sicosB cos0ABcos0C为锐角，从而三角形的三个内角都是锐角，所以 为锐角三角形 C；将 展开整理得： ， ， ，sincossin1BA sin1 sin1A 2为直角三角形A 【备选】已知 为非直角三角形，求证： C tattatatBCBC【解析】 证明：因为 ，所以 BA所以 tantntnC即 ，a1，ttt1tAB所以 anannBA12.2 二倍角公式知识点睛1二倍角的正弦、余弦、正切2S:sinsico2222Ccoincs1sin2taT:ta12 公式的逆向变换及常用变形 sincosin
13、2221cos1coscsin，；21oin2i备注：由公式的变形 ，还可以得到 ，由这组公221cs1coscsi， 21costan式我们可以由 的三角函数值，结合 角的范围得到 ，这组公式又被称为si，半角公式这些公式现在课本不再单独提出，直接作为二倍角公式的变形使用，它的应用还是挺广泛的设置挑战五分钟的目的是为了让学生尽快熟悉公式的形式和变形式，通过一些简单的练习来加强公式的记忆而例 7 是公式的变形使用，在做完挑战五分钟后，老师就可以讲解例 7 了【挑战 5 分钟】求下列各三角函数的值： ，求 ；34sin,cos5sin2,co,tan2 ， ，求 ；,02xx,si,xx ； ；
14、 ；sin.cos.22cos1n52ta751n ； ，求 ；24153tan4ta ，并且 ，求 7cs908cos,ita【解析】 ； ； ； ； ； ； ；245，72457，2343247 1310 第 12 讲教师版经典精讲考点 4：二倍角公式及其变形的应用【例 7】 若 ，则 _3sin25cos2 若角 的终边经过点 ，则 的值为 1P， tan2 （2012 山东理 7）若 ， ，则 （ ）4， 37si8sin A35B5C4D34【解析】 72，于是 3cosin527cos15 43， tan22tan4ta13 D；， ， ，4 ， ， 21cos1sin81cos2
15、3sin4灵活应用 可以解决一些连乘问题，这需要连乘的对象是余弦，从而可isin以一直变形下去，还需要角度成比例关系（即等比数列）才可以递推，所以如果不是这个形式，需要通过诱导公式进行变形转化【例 8】 求值： ；cos204cos80 3499【解析】 ；18原式 sin20cos0co88isin16028 ；16，4sincoscosin24 1999cosco9 88i原式 2341coscoscos99836【备选】 sin64i6n78【解析】 ；1原式 sicos24co1442sin6cos12cos48632n186sin96cs1例 9 是一类分数形式的化简问题，需要将分子
16、和分母朝有联系的方向进行化简，从而找到公因式等消去得到结果【例 9】 _23sin70co1 若 ，则 的值为（ ）si4cosinA B C D72121272 若 ，求 的值tansincos4【解析】 2 23sin7023sin703si703si7021cococo C 22sincosinssin 22cosininco4 所以 1cosi2 ；32 sin2icos21sin4csinsicotano i 2ta4ta13若 ， 是第三象限的角，求 的值4cos51tan212 第 12 讲教师版【解析】 2sin21cosintacosin 1sin2 cosi isic2因为
17、 ， 是第三象限的角，所以 4os5 3sin5311tanics22实战演练【演练 1】若 ， 是同一象限的角，且 ， ，则 _1sin37cos4sin【解析】 由 知， 、 为第四象限角，从而 ， sin0cos2334，627()icsin1【演练 2】设 ， ，则 的值为 ， 5i=13os4【解析】 17312572cos2cossincosin443【演练 3】求 的值tan0t3ta0tta0t2【解析】 ；1原式 t(t2tn4)ttn an0(1a204)a0tn231tttt1【演练 4】已知 ，则 的值为 41tant【解析】 ；2因为 ，所以 4tantan14所以
18、， tant11 ttata12【演练 5】已知 ，且 ，则 的值是 sinco5324 cos【解析】 72因为 ，所以 ，即 ， 1sic21sinc51sin2524sin5又 ， ，所以 ， 34 32 os07co【演练 6】已知 ，则 （ ） 1tan2sincoA2 B C 3 D3【解析】 C方法一：2 22(sinco)sinicosn21tant431方法二：22 22sincosincosicoinsin1sita3coin2大千世界已知 ， ，则 _sin1cos0cos()s()【解析】 2由 得 si22sinisin1由 得 co0coco0则+得 ，即 ，1()1()2，所以 （ ）sss(1)kk即 ，所以(2)kco()co(1)k14 第 12 讲教师版从而 12cos()s()
