1、满分晋级新课标剖析当前形势 平面向量在近五年北京卷（理）考查 5 分要求层次 具体要求内容A B C平面向量的正交分解及其坐标表示 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算用坐标表示的平面向量共线的条件 理解用坐标表示的平面向量共线的条件数量积 数量积的坐标表示 用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 理解数量积的含义及其物理意义了解数量积与向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系高考要求用向量方法解决
2、简单的问题 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与一些实际问题北京高考解读2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年（新课标） 2013 年（新课标）第 11 讲 平面向量的数量积与坐标运算向量 2 级平面向量的线性运算向量 1 级向量基本概念及运算向量 3 级平面向量的数量积与坐标运算2 第 11 讲教师版第 2 题 5 分 第 6 题 5 分 第 10 题 5 分 第 13 题 5 分 第 13 题 5 分11.1 平面向量数量积运算知识点睛1两个非零向量的夹角：已知两个非零向量 ，作 ，则 称作向量 和向量 的夹角，记作 ，
3、ab， OAaBb， AOBabab，并规定 当 时，称 0 ， 2， （备注：向量在轴上的正射影仍然是向量，射影在轴上的坐标称为向量在轴上的数量或向量在轴方向上的数量 ）2向量数量积（内积）： 的数量积记作 ，定义为 ab， abcosabab，（备注：两个向量的数量积 就等于一个向量的模长 乘以另一个向量 在这个向量 方向上的 a投影的数量，这就是向量数量积的几何意义，我们会在考点 2 中展开）以数量积的定义，我们可以判断两个向量是否垂直： （规定，零向量与任何向量都垂直） ；0ab计算任一向量的模长： ，即 ；2a计算两个向量的夹角： （ ） cos， b3向量的数量积满足的运算律：交换
4、律： ；ab与数乘的结合律： ；注意：数量积本身不满足结合律！()()ab对加法的分配律： cc练习 1：设 为平面向量，下面的命题中正确的是_abc， ， ； ；()ac()()bca若 ，则 或 若 ，则 ；00cb ； 对非零向量 ，有 22()|ab a， 0ba【解析】 正确， 不正确 ，不一定有 或 ，不正确0ab0ab中， ， 不正确()abc ()abc， 不正确 2 2()|os中 ，正确0abab 经典精讲考点 1：向量数量积、模长及夹角的基本求法由向量的数量积定义 ，我们知道：如果有两个向量的模长与夹角，那么可cosabab，以计算它们的数量积；如果有两个向量的模长与它们
5、数量积，也可以计算它们的夹角的余弦值同样地，有其中一个向量的模长，以及两个向量的夹角与数量积，也可以计算出另一个向量的模长即知任何三个量可以求剩下的一个量如已知 ， 知道其中任何三个量，都可以求出第四个4360aba， ， ， ab有了向量的数量积的运算法则，这个问题的变形构成了向量的基本求值问题：已知向量 的模长及其夹角，也可以求 的线性组合得到的向量的数量积与模长， ，如铺垫与例 1其实，给出与向量 相关的任何三个信息（互相独立的） ，都可以得到三个等式，从而确定两ab，个向量的模长与夹角三个量，计算得到其它相关的量学生最初会不太明确化简的方向，给出的三个信息可能会朝不同的方向化简，从而无
6、法得到结论，其实，只要化简的方向统一，所有的信息都转化到两个向量对应的模长、夹角与数量积，即四个量中的三个就能得统一的结论另外要明确，求模长利用 、求夹abab， ， ， ， a角利用 、证明垂直利用 cos， 0ab可以通过铺垫进行讲解，再让学生练例 1，例 1 都是常见的基本问题，例 2 难度更大，需要进一步挖掘条件求解【铺垫】 已知 ，则 _， _4360aba， ， ， ()2)abab 已知向量 与 的夹角为 ， ，则 _12313， 已知 ， ， ，则向量 与向量 的夹角是_|1|b【解析】 ， 523 4，解得 （舍去）或 21()923cos10ababb1b4b 34 第 1
7、1 讲教师版，且 ， ， ， 2aba|13ab1cos2ab， ,3ab【例 1】 已知 ， ， 的夹角为 60，则 _， |3b, ()| （2012 新课标 13）已知向量 夹角为 ，且 ，则ab， 45110ab，_b 已知平面向量 ， ， ，则 _ab， 12， b2【解析】 ；713；()3cos607a 22()4cos6013aab 2的夹角为 ， ，b ， 451a， ， 2cosab 22410b32b 10【铺垫】若非零向量 和 ，满足 ，则 与 的夹角为_baa【解析】 ；3法一：向量运算的几何意义由减法的几何意义知， ， 夹角为 ab3法二：代数计算记 ，则 ，abm
8、 2222() mabmab故 1cos23ab， ，【例 2】 若向量 、 满足 ，则 _ab1ab （2013 安徽 13）若非零向量 满足 ，则 与 的夹角的余弦值为， 32ab_ 已知 与 均为单位向量，其夹角为 ，若 ，则 的取值范围为_ab1ab【解析】 ；12法一：几何意义由向量加法的平行四边形法则知， ，从而 120ab， 1cos20ab法二：代数计算其实由 2 1122ababab ；13记 ，23m则 ，222()()494ababmabm解得 ，故 2 1cos3， ；03，故 22() 1ababab12即 ，又 ，故 1cos0， 03，有非常明确的几何意义：【备选
9、】若向量 与 不共线， ，且 ，则向量 与 的夹角为_ab0abacbac【解析】 ； ，所以向量 与 垂直22cc考点 2：数量积的应用数量积具有明确的几何意义，两个向量的数量积等于一个向量的模长乘以另一个向量在这个向量方向上的投影的数量所以如果两个向量的模长一定，当两个向量方向相同时，数量积最大；方向相反时，数量积最小又因为向量加法也有明确的几何意义，符合平行四边形法则，所以两个模长一定的向量，当它们的方向相同时，它们的和的模长也有最大值；当它们的方向相反时，它们的和的模长也有最小值，这既可以由数量积对模长进行计算得到，也可以直接由几何意义理解，可以结合下面的铺垫讲解这两个性质，这两个性质
10、的应用并不简单，讲完铺垫可以让学生思考例 3备注：所有平面几何图形中的向量问题都放到板块三平面几何中的向量问题中处理【铺垫】设 为单位向量，则 的最大值为_，最小值为_； 的最大值为ab， ab ab_【解析】 ；12， ，当 方向相同时取最大值，方向相反时取最小值；cos1 ， ，由 的意义知，当 方向相同时， 有最大值 ，abab， ab2也可以通过代数计算由 得到2cos，6 第 11 讲教师版【例 3】 设 为单位向量， 的夹角为 ，则 的最大值为_abc， ， ab， 60acb (2013 湖南理 6)已知 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取， 1cabc值范围是_【解析】
11、，因此当 与 方向相同时， 取得最大值为 acbaccabacb3 ；21，因为 是单位向量， ，故 是一个模长为 的向量，如， 02图，将 与 用共起点的有向线段表示，易知 abc 11c 用代数分析：可记 ，则 ，且 ，故当 与 方向相同时， 有最大值d1cdabdabc；当 与 方向相反时， 有最小值 ，且中间值都能取到，从而得范21ab21围11.2 向量的坐标运算考点 3：向量的坐标运算与平行垂直关系知识点睛由平面向量基本定理知，任意两个不共线的向量都可以构成一个基底；而由前一板块我们知道，随便取一组基底，去计算由基底线性表出的向量的数量积是一件轻松的事情，如上一板块的铺垫题：已知
12、，计算 _4360aba， ， ， ()2)ab要想让数量积的计算变得简单，我们希望交叉项 消失，这就是正交的概念，即构成b基底的两个向量是互相垂直的；再进一步，如果 ，计算会更容易，即交基底1进行正交化，取互相垂直的单位向量为基底，这便是标准正交基如果取定一组标准正交基 ，那么 ， ，那么 而12e， 12ae12be12ab在标准正交基下，将分解的系数直接记为坐标（有序实数对） ，21a就得到了相应的坐标运算的结论，如下：已知 ，1212()()b， ， ，则： ； ； ；aa， 12()a， 12ba； ；1210 0b21 a+bc； 21aa 122cosabab，经典精讲【铺垫】已
13、知两个向量 ， ，(12)a， (1)bx，若 ，则 的值是_；b x若向量 与向量 方向相反，且 ，则 _c25cc若 ，则 的值是_()【解析】 ； ， ，解得 ；12ab 120x1x ；(4)， ； ，解得 9252()90ba 92x【例 4】 已知向量 ， ， ，若向量 与向量 平行，则实数(1)a1(c，ckab_；若 （ ） ，则 _， _kcmnR， mn 已知向量 ，向量 垂直于向量 ，向量 平行于 ，3(2)OAB， ， ， OCBCOA则 _C （2010 山东理 12）定义平面向量之间的一种运算 “ ”如下：对任意的 ， amn，令 ，下面说法错误的是（ ）bpq，
14、abqnpAA若 与 共线，则 B0 abAC对任意的 ，有 DRab 222ab【解析】 ; ；1k1mn， ；75设 ， ， ，得 ()Oxy， COB020yx又 ， ， ，即 BA (2)xy， 3()(137yx联立 、 得 ， 从而 147y(147， 75OC B对 A， 与 共线 ，从而 ，正确；ab0mqnp0ab对 B， ， ，故 B 错误；bqAA对 C， ， ，故 C 正确；()()mnp ， ， ()()abmqnp对 D，左边 ，22222qnp右边 左边，故 D 正确2()()【备选】 ，且 ，试用向量方法求 的最值xymnR， ， ， 231xynmxny8 第
15、 11 讲教师版【解析】 设 ，则 ，()()amnbxy， ， ， 13ab，coscosxa， ，当 时， 有最大值 ，此时 方向相同；cos1， nab，当 时， 有最小值 ，此时 方向相反b， xy3，11.3 平面几何中的向量问题考点 4：平面图形中的向量问题经典精讲例 5 主要涉及对向量的运算与数量积的定义及几何意义的理解，不需要选定基向量或建系去计算需要注意的是向量所成的角，必须将两个向量调整成同起点的，首尾相接的向量尤其需要注意【铺垫】 正三角形 的边长为 ，则 _ABC2ABC 在 中， ， ， ，则 _Rt 9034ABC【解析】 ； 2cos ； 9 3cos59 【例
16、5】 （2013 西城一模理 11）如图，正六边形 的边长为 ，则 ABCDEF1ACDB FEDCBA 在直角 中， 是斜边 上的高，则下列等式不成立的是（ ） DABA B22CABC D 2()()C （2012 北京理 13）已知正方形 的边长为 ，点 是 边上的动点，则ABCD1EAB的值为_； 的最大值为_DECBE 在边长为 的等边 中， 为 边上一动点，则 的取值范围是 1 D【解析】 ；32 C由向量数量积的几何意义易知，A 、B 正确，从而 ，C 错误2D2ADD 中右边 ，故 D 成立22CB ；1，由数量积的几何意义知，coscosEEECB， ，表示 在 方向上的投影
17、，长度即为 ，故 ；cosC， 11DECB,由数量积的几何意义知，DDBD， ，表示 在 方向上的投影，投影的最大值为 ，故 的最大， 值为 1 ；2，利用向量数量积的几何意义， 等于 乘以 在向量 方向上的投影的数量，ABDADB结合图形即得范围例 6 需要选定基向量或者建系去进行直接计算，这里的问题都涉及到比较特殊的几何体，如正三角形、直角三角形、矩形、正方形等，一般存在直角的建系比较容易，不存在直角的直接选定两个基向量比较容易【铺垫】 在边长为 的正方形 中， 、 分别为 、 的中点，则向量 1ABCDEFBCDAEF 在正三角形 中， 是 上的点若 ， ，则 3A1A第题 FEDCB
18、A第题 DCBA【解析】 ；1以 为原点， 所在直线为坐标轴建系，从而 ，D， 112EAF， ， ，从而 也可以直接选取基向量，直接计算1AEFDCBA10 第 11 讲教师版 ；152，于13ADBC是 211533cos3 2A本题也可以利用向量的几何意义，过点 作 边垂线，交 于点 ，由几何关系知，DABABE为 边的六等分点，从而 EAB 6E【例 6】 如图，在边长为 的菱形 中， ， 为 的中点，则2ABC0CD_AEBD （2012 江苏）如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点D2BEB在边 上，若 ，则 的值是_FCFEF EDCBAFED CBA 【解析】 ；1取 为
19、基向量，则 ， ，D， 2D 2cos23A， ，于是 2AEBAB11EBDAB ；由 ，cos2FFF以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 轴建立直角坐标系，D， xy则 ，(21)(0)(12)EB， ， ， ， ，故 A， ，本题也可以不建系，直接用 为基向量进行计算AB，例 6 的几何体与各点都是明确给出的，还有的时候，几何体只满足一些限制条件，形状并不确定，某些点是通过向量关系给出的，要求其中的某些不变量这就需要首先对已经条件进行分析整理，寻找突破点，这类题难度更大，见例 7【例 7】 （2011 北京东城二模理 7） 外接圆的半径为 ，圆心为 ，且ABC 1O，20OABC，则 _
20、| 在 中， 是 的中点， ，点 在 上且满足 ，则 M1PAM2P_P【解析】 ；3由 ，有 ，20OABC0OBC即 的外心 为边 的中点，故 为直角 A又 ，故 ， 又 ，故 12362BC2sin3A从而 3cos6CAB ；49如图， ， ，且 ，2PM2PABCPAM2PA原式 ，又 ， 41349B M CBAP【备选】如图，在四边形 中， ， ，AD|4BD|4ABDC，则 的值为（ ） 0ABC()CAA B C D2242【解析】 C ，| ，()D又 ，|4AB ，由可解得 ，|2CBD又 ，0 ，又 方向相同， ，ABD ， |ACBD()()()A22AC2 2|CB
21、4D CBA12 第 11 讲教师版 已知非零向量 与 满足 且 ，则 为（ ABC0ABC12ABCABC）A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 在四边形 中， ， ，则四边形 的BD1AC， 13BACBDABCD面积为 【解析】 D设 为 上的单位向量， 为 上的单位向量，ABAC则 的方向为 的角平分线 的方向，CBO而 ， ，0AO 为等腰三角形， B AC，1cos2CB ， 1AB60A综上所述， 为等边三角形C 3由已知 可知，四边形 为平行四边形1AD， ABCD又 ，即 为 与 夹角平分线，13BB则四边形 为菱形， ，AC3ACBD ，3
22、6BD又由 ，记 的交点为 ，:1:3， M由 ， 得到 ，从而 2MAB60AC120BA ， CD23SOCBADCBA实战演练【演练 1】平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 _ab602a1b2ab【解析】 ；23由已知 ， ，|22|44cos60412 ab【演练 2】设平面向量 ， ，若 ，则 _(12)， ()by， ab 3【解析】 5，则 ，从而 ， ab ()04y(12)， 5ab【演练 3】在四边形 中， ，且 ，则四边形 为（ ）ABCD0ACBDABCDA矩形 B菱形 C直角梯形 D等腰梯形【解析】 B 即一组对边平行且相等， ，对角线互相垂直， 该四边形 为菱形
23、【演练 4】在 中，有命题： ； ；AC ABC0ABC若 ，则 为等腰三角形；()()0B若 ，则 为锐角三角形0上述命题正确的是（ ）A B C D【解析】 C； ，故 假； ，故真； 0ABA ，()()0C ， 为等腰三角形，故 真AB ，则 为锐角但 无法确定，故假；cos0C BC，【演练 5】在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，xOy12A， 3， 21， 求以线段 ， 为邻边的平行四边形两条对角线的长；AB 设实数 满足 ，求 的值t0tCt【解析】 由题设知 ， ，则35， 1， 26， 4A，所以 ， 10AB2B14 第 11 讲教师版故所求的两条对角线的长分别为 、 4
24、210 由题设知： ， 21OC， 35ABtOCt，由 得： ，0ABt 35， ，从而 ，所以 51t【演练 6】在 中， ， ， ， 为斜边 的中点，则 RtC 903A1BCDABABCD在边长为 1 的正三角形 中，设 ，则 _B23E， 【解析】 ；4依题意： ， ，12ADCBCA13ECBA所以 73264BE 大千世界在边长为 的菱形 中（如右图） ， ， ，1ABCD3EADFB， ，则 _3BCGmFG【解析】 524m依题意可知， ， ， ，34AE12BA13BCA而 ，12FD，3GB ，2 21113124234864EAABABDABD 即 ，5FDD由已知可得， ， ，22m 54EGmGFEDCBAEDA BC
