1、28 第 3 讲教师版满分晋级新课标剖析当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查 510 分要求层次内容A B C具体要求单调性与最大（小）值 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义高考要求奇偶性 结合具体函数，了解奇偶性的含义2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年（新课标） 2013 年（新课标）北京高考解读 第 3 题 5 分第 13 题 5 分第 6 题 5 分第 14 题 5 分第 6 题 5 分第 13 题 5 分 第 14 题 5 分 第 5 题 5 分下一讲的内容是函数的奇偶性
2、（二）与对称性 ，对于尖子班来说只有 2 小时的内容，对于目标班来还有一个函数的周期性板块，总共是 3 小时的内容所以这一讲尖子班与目标班区别不是很大，目标班 3 小时，尖子班可以作为 3.5 个小时的课程第 3 讲 函数的单调性与奇偶性（一）函数 11 级函数概念的深入理解函数 12 级函数的单调性与奇偶性（一）函数 13 级函数的奇偶性（二）与对称性3.1 函数的单调性函数的单调性问题主要集中在三个领域，其中第一与第二领域为基本问题，告诉你函数图象或给你一些信息，你能画出函数的草图；给你常见函数及由这些函数组成的复合函数，你可以自己得到单调性；仅告诉你一些抽象的条件，如，当 时， ，求证
3、在 上单调递减给具体函数()()fxyfy0x()0fx()fxR时，从理解，没有给出具体函数时从理解所谓的函数的性质都是在描述当自变量变化时，函数值怎样变化单调性是指自变量与函数值是否往同一个方向变化，是否同时增大或同时减小；奇偶性是指当自变量取相反数时，函数值如何变化；这就可以理解，为什么所有的奇偶性问题处理的核心都是取一对互为相反数的自变量暑假知识回顾1 一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ：()yfxDI 增函数：如果对于 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就I 12x，12x12()fxf称函数 在区间 上是增函数；fI 减函数：如果对于 上的任意两个自变量的值 ，当 时
4、，都有 ，那么就12，1212ff称函数 在区间 上是减函数；()fx2单调性：如果函数 在某个区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在这个区间yI ()yfx上具有单调性，区间 叫做 的单调区间I()yfx3判断函数单调性的基本方法： 定义法：任取 ， ，判断 的正负；12x， 12x12f 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数； 复合函数的单调性同增异减对于函数的单调性，需要注意的是： 任取 ，但任意性不代表不可能用存在性的方式做，也就是当你无法判断函数单12x，调性时，可以取几个点估计一下；当然，要证明单调性，只能任取 也可设 ，单调性只取决于 的大小与 的
5、大小关系是否一致；1212x， 12()fxf，30 第 3 讲教师版 单调性是建立在某个局部上的关系，我们通常讨论某个区间上的单调性，除非在整个定义域上单调，否则在说单调性时一定要指出单调区间 的单调区间是 和 ，不能写成并集1yx(0)， ()， 高一刚学习单调性时，单调区间包括边界的可以都取闭区间，如二次函数 的单2yx调递减区间为 ，单调递增区间为 ；(， 0)，关于很多概念的说明在暑假时我们也强调过，但因为这些内容比较重要，所以值得再强调一遍1下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ）(1)，A B C D3yx2yx245yx1()xf【解析】 D；2判断下列函数的单调性： ； ；
6、()1|3|fx21()3fx2()4fx1()fx【解析】 单调递减区间是 ，单调递增区间为 3， 3， 在 上单调递增，在 上单调递减；()f， )， 在 上单调递增，在 上单调递减x02， 24， 在 上单调递减f1)，3用定义法证明 （ ）在 与 上单调递增，在 与(afx0()a， ()， (0)a，上单调递减(0)a，【解析】 任取 ， ， ，12， 12112122()()xfxf， 同时属于这四个区间中的任意一个时，都有 ，0xx， 120x当 或 时，有 ，此时有 ；12()a， ， 12()a， ， 12xa12()fxf当 或 时，有 ，此时有 ， ， 0x， ， 0由此
7、得到结论并且可以知道，在 上， 在 处取到最小值 ；在 上， 在(0)， ()fx(0)， ()fx处取到最大值 xa2a【点评】对勾函数形如 （ ）的函数称为对勾函数，是我们比较常()fx0见的一种函数时， 在 与 上单调递增；0a()f)， ()，时， 在 与 上单调递增，在xa， ， aaa0 y=xO y x与 上单调递减(0)a， ()a，这两类函数的图象都是关于原点中心对称的，都是奇函数在 时， ；在 时， xfxx()fx并且会越来越接近直线 ，所以 称为这个函数的一条渐近线并且，当 时，yy 0a以 为例，当 是一个很小很小的正数时， 趋于负无穷； 时，以1()f ()f为例，
8、当 是一个很小很小的正数时， 趋于正无穷如右图xxx关于对勾函数的相关结论，后面可以直接使用，把它们当作常见函数的一种知识点睛暑假预习时，我们没有讲单调性的运算，即具有单调性的函数，经过加减乘除运算后的单调性有什么对应的结论，这也是函数单调性的一种判别方式单调性的运算：函数间 、 、 、 的运算的单调性规律：（默认在函数的公共定义域上讨论） 函数 与常数 ：()fxk与 的单调性相同；： 时，与 单调性相同； 时，与 单调性相反；k0()fx0k()fx 函数 与 ：()fg 是增函数， 是增函数时， 是增函数；x ()fxg 是增函数， 是减函数时， 是增函数；（这可以由直接推出）f()x
9、是增（减）函数， 是增（减）函数时， 的单调性不确定如：函数 ()g()fxg x当 ，且 时， 是增（减）函数；0fx0()fx当 ，且 时， 是减（增）函数()x单调性的运算可以直接由单调性的定义给出证明，我们以下面的结论为例给出证明：是增函数， 是增函数， ，且 时， 是增函数()f()g()0fx()0gx()fxg证明：任取 ， ，则 是增函数， 是增函数知：12x， 12x，1)ff，于是 12112122()()()()()ffxfxfxfx，1 2fxgxg则 ， ， 得：2)0， 10120ff，即 单调递增1()ff()fx当然，如果没有 的条件，显然得不到这个结论0x，上
10、面没有涉及到 ，因为这个函数可以看成 （内层）与 （外层）的复合后，()fg()gx1x再与 相乘得到的函数()fx如： ， ，则 在定义域 上单调递减，10()2x()102fgx(210，因为 ，且 ， ，且 ， ， ，故()gxAg1()A()()fxA)f32 第 3 讲教师版1()fxgA当然， ，化简后很容易得到单调性081()22fx备注：知识点睛中的 练习 是针对暑假没有介绍过的知识与方法配的一些简单的练习题，学生版出现【练习 1】判断下列函数的单调性 ； ； ； ()fx1()2fx()102fxx2()1fx【解析】 在定义域 上单调递增；0， 在 和 上单调递增；()f)
11、， ()， 在定义域 上单调递减x21， 在定义域 上是增函数f，经典精讲讲完单调性的运算，所有判断单调性的方法就都讲完了，但预习时，我们只介绍了比较简单的复合函数的单调性，对于更复杂的复合函数的单调性见例 1关键点在于划分出单调区间，再对每个区间分别判断考点 1：复合函数的单调性【例 1】 判断下列函数的单调性： ； ； 2()43fx21()3fxx()2fx【解析】 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增；1， ， ， 3，分析：首先可以先画图观察函数单调性： (1， A2， 3， 123 )，当用代数做不清时，画图象找单调性是非常好，非常直观的方法，唯一的麻烦就是不能做大题，选择填空时
12、，类似于这类问题，若能画出图来是非常好的，没有任何问题但事实上， 是由 和 构建起来的y243uxyu，判断单调性时是用 的范围来判定的；243uxx，在 时单调递减，在 时单调递增，以 为分界点，单调性用 判定y000uu而最后得到的结果是由 判定的，要把 和 转化为 和x2430x，从而 被分为 、 、 ，而 时也会有 1 个分界，2x(1， 3， )，最后的单调区间划分为 、 、 、 (1， 2， 3， )，x， ， 2， 3)，的正负u0u 0u 0u 0u内层 243AAAA外层 u()fx【结论】此类题做法：根据限制条件把 的区间一个一个划开x根据划开的区间，判断每个区间上的单调性
13、 在 ， 上单调递减；在 上单调递增；(3)， (1)， (1)()， ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增()fx0， )，【拓展】讨论函数 的单调性2()1)fx【解析】 在 与 上单调递减，在 与 上单调递增()f， 0， 10， )，考点 2：函数单调性的应用【铺垫】 若函数 在 上为增函数，则 的取值范围为_()|2fxa0， a 若函数 在 上为增函数，则 ， 的取值范围为 13b， b 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围为_fx，【解析】 0a ， 1 2【例 2】 已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围为1()2axf()， a_ 已知函数 在 上单调递增，则实
14、数 的取值范围为_21fxax， ， R 已知函数 3()()1f 若 ，则 的定义域是 ；0a 若 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是 ()fx， a34 第 3 讲教师版【解析】 ；12a 0 3a， ()1， ，【拓展】若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是 ()1fxaxRa【解析】 ；1例 3 是函数不等式的相关问题，遇到函数不等式的问题一般都需要利用函数的性质，这类问题就是已知函数值的大小，推导自变量的大小关系【例 3】 已知 是定义在 上的增函数，若 ，则实数 的取值()yfx(2)， (1)(2)fmfm范围是_ 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）240(
15、)xfx， ， 2()(fafaA B C D1)， ， 1， 1， (2)(1)， ，【解析】 23m C【拓展】已知函数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，20()xf， ， 2xa,()2()fxafx则实数 的取值范围是 a【解析】 ；2奇偶性引入单调性虽然是一个局部的性质，但也不是所有函数都存在单调区间的，如常函数在任意区间上都不具有单调性，狄利克雷函数（ ）在任意区间上也都不具有单调性1()0xfRQ， 与这个局部性质相对，奇偶性是函数的整体性质，在几何上奇偶性代表整个函数图象是否具有关于 轴轴对称或者关于原点中心对称；在代数上，需要对任意的 （ 为定义域） ，都满足y xD或 ()
16、fxf()(fxf3.2 函数的奇偶性（一）知识点睛函数图象的对称性 轴对称 中心对称函数示意图奇偶性 偶函数 奇函数满足的关系式()fxfxffxf本质 当取的自变量互为相反数时， 函数值相等 当取的自变量互为相反数时， 函数值也互为相反数所谓奇偶性的问题，一定要找互为相反数的一对自变量，如果没有互为相反数的一对自变量，奇偶性的问题往往不能得到解决奇偶性的问题有以下一些特点：特点 1：涉及到一对互为相反数的自变量，如已知 ，求 就会与奇偶性有关3ff比如： ， ，求 ()1afxb()201f()则 是奇函数， ，故 ，从而1120f(1)20f同类型问题见例 4；特点 2：奇偶性问题往往涉
17、及到区间转换：如题中告诉你函数在 上怎么样，让0，你求的永远是 ，这类问题一般会涉及到最值、比大小、求解析式、单调0，性与解不等式等比如知道偶函数在 上单调递增，就可以得到它在 单调递减然()， ()，后就可以比较 ， 的大小3)f， (4)f36 第 3 讲教师版奇偶性问题出题的思路是非常简洁的，往往奇偶性单独是很难成题的，奇偶性一定会和单调性、函数值域、不等式等一系列的问题联系在一起出因为奇偶性只告诉你一个非常简单的性质：已知 就知道 ，所以它的题目无非分成两种类型： 与 都不告诉a a要自己去找，要寻找一对互为相反数的自变量是解决问题的关键；永远告诉一半，要解决的问题往往在另一半，或要知
18、道函数整体长成什么样子单调性之间有时是可以相互转化的，而一般情况下，奇函数和偶函数之间是很难进行转换的，单调增和单调减只需乘个负号就可以改变，但很难说一个奇函数经过什么操作变成偶函数了（但不是没有，比如翻折变换） 因为单调性是一个上升或下降，往往与乘法有密切的关系，而奇偶性是一个函数的整体性质，代表了整个函数的对称性：轴对称和中心对称，两者很难互相转化函数奇偶性的操作：1乘以任何系数 ，不改变奇偶性，不管是 还是 ；kkfxfkx2 ，偶函数不变（相当于图象上下平移，不改变偶函数的对称性） ，奇函数不fxa行；3 则往往不再具有奇偶性（除非它本身是有周期性）f4奇函数 奇函数 奇函数，奇函数
19、奇函数 偶函数，偶函数 偶函数 偶函数；5奇函数与偶函数的复合，是有偶函数则复合后为偶函数，否则为奇函数但因为奇偶性相对比较容易判断，所以以上这些结论应用较少暑假知识回顾1判断下列说法正确与否 奇函数的图象一定过原点 （ ） 偶函数的图象不一定与 轴相交 （ ）y 所有函数都可以表示成一个奇函数和偶函数的和 （ ） 有且仅有一个函数既是奇函数又是偶函数 （ ）【解析】 ； 2判断下列函数的奇偶性 ； ； 2()1xf03(1)yx10()xf， ，【解析】 非奇非偶函数；非奇非偶函数非奇非偶函数3已知 为奇函数，当 时， ，则 _；当 时，fx0x1fx(0)f0x_()f【解析】 ； 014
20、定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ， ，有 则（ R()fx1x2120()x， 21()0fxf）A B(3)2(1)ff()(3)ffC D33【解析】 A；经典精讲考点 3：函数奇偶性的应用【例 4】 已知 ，且 ，则 _53()201fxabx(3)10f(3)f 已知 和 都是定义在 上的奇函数，若 在 上有gR()2Fxabgx(0)，最大值 ，则 在 上的最小值为_F()，【解析】 036 ；1【拓展】函数 的最大值与最小值的和为_521xf【解析】 ；2见到这种长得很奇怪，很难画出图象的函数，就可以从奇偶性出发去考虑了若将 写fx成 就更崩溃了521x考点 4：奇偶性与单调性
21、综合【铺垫】设定义在 上的函数 是奇函数，且 在 上为增函数， ，则不R()yfx()fx0)， (1)0f等式 的解集为（ ）()0fxA B1， ， 1， ，C D， ， ，【解析】 D【例 5】 已知 为奇函数，在 上单调递增， ，则 的解集为()fx(0)， 10f20fx_ 设偶函数 满足 ，则 的解集为 f 3)8fx 2fx38 第 3 讲教师版 定义在 上的奇函数 在 上为增函数，则 的解集为 (1)， ()fx01， 210fxf 已知定义在 上的偶函数 在区间 上为减函数，则满足 的Rf， 13fxf的取值范围是（ ）xA B C D123， 123， 123， 12，【解
22、析】 ；()， ， 或|0x4 13， A【拓展】 若定义在 上的函数 为奇函数，且在 上是减函数，又 (0)()， ， ()fx(0)，则 的解集为_(2)0fxf【解析】 ，考点 5：抽象函数的奇偶性奇偶性的问题涉及到一对互为相反数的自变量，这可以提供一些奇偶性问题思考的方向：比如已知一个含参函数的奇偶性求参数的问题中，就可以直接取一对互为相反数的自变量，从而得到函数值相关的一个等式而抽象函数问题中，也可以通过找一对互为相反数的自变量，与奇偶性建立起联系，比如： 是偶函数，且对任意的 满足 ，求 fxx22fxf(1)f解： 已知 是偶函数，要使用该条件，就要找互为相反数的一对自变量，又题
23、中有 和 ，要试图让 与 互为相反数，即 ，f2fx 20x ，只需令 ，得 ， 是偶函数， ，1x1()(1fffx()ff 进一步可得 同类型问题见例 60f 0kZ，【例 6】 设函数 的定义域为 ，对任意 ， ，恒有 成()fxR1x2R1212()()fxfxf立则是 （指明函数的奇偶性） ()f 设函数 且 ）对任意非零实数 满足 ，()yf012，1212()()fffx则函数 是_（指明函数的奇偶性） x 已知函数 是定义在实数集 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 都有f，则 的值是（ ）(1)()xfxf52fA0 B C1 D152【解析】 奇函数 偶函数 A考点 6：抽
24、象函数的单调性【铺垫】定义在 上的函数 同时满足下列条件：R()fx对任意 ， 恒有 ； 当 时， xy)()yfxy0x()0fx 求证： 在 上为减函数()f 若 ，求 在 上的最大值和最小值12()fx24，【解析】 令 ，则由已知 ， ，yx()yfxy()()fxfx即 ，又由已知 ，解得： ，(0)ff0)0(0f代入 式得： ， 为奇函数()ff设 ，则 ，12x120x 212()()ffffxfx当 时， ，由 可知， ，0()012()0fx当 时，有 ，12x12ff所以函数 在 上为减函数fR（本小题也可以不推导函数的奇偶性，直接得到单调性，通过 得到：12xyx，可以
25、得到 ，技巧性稍强一些）212xyx， 12()fxf 在区间 上的最大值是 ，最小值为 ()f4， 4(4)8f【例 7】 已知定义域为 的函数 满足：对任意 ，都有 ，且对R()ygxab， R()()gabg任意 ， 0x()1g 求 的值； 证明 时， ，且函数 在 上是增函数()x()ygx【解析】 ；() 当 时， ， ，又 0x()1g()(0)1()1gx故任意 ， R0x法一：设 为 上任意两个实数，且 ，则 ， 12x， 12x12x12x12 0ggxgg40 第 3 讲教师版故 为 上的增函数()gxR也可通过 ， 得到 121 122gxgx2()0gx12()gx【
26、拓展】已知函数 在 上有定义，当且仅当 时， ，且对任意()fx1),01x()0fx都有 xy， ， (1xyfyf 证明 为奇函数；()f 判断 在 上的增减性，并证明你的结论；1， 解不等式 254)(fxf【解析】 由于 ，设 ，则 ，解得： ，()yyx0y2()0f(0)f设 ，则 ， ， 为奇函数yx()()ff()fx()fx 设 ，则 ，12 121212f 由 ，且 ， ， ，120x12x120x120x由 ，可继续验证，12由 12121221()()xxxx由 ，且 ， ，120201 ，即 12()x12x 当 时， ，且 为奇函数，00f()f当 时， 1x()x
27、 ，即 ，21f12()0ffx当 时， ， 在 上为单调减函数2xfx1， 35设 是偶函数，且在 上单调，则满足 的所有 之和为（ ）()fx0)， 3()4xfxA B C D3388【解析】 C由 为偶函数知 ，()fx()4xff34x若 ，即 有解，且两根之和为 34230x若 ，即 ，有解，且两根之和为 x55故总和为 8实战演练【演练 1】函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是_1()gxb(2)， b【解析】 ；2，【演练 2】定义在 上的奇函数 满足 ， ，则 的值为（ ）R()fx(2)()fxf1)2f()fA B C2 D11【解析】 D【演练 3】 定义在
28、上的偶函数 满足：对任意 ， ，有()fx1x20， 12()x成立，试比较 ， ， 的大小21()0fxf(0)f()ff【解析】 0()(21)fff【演练 4】设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为fx0， (1)0f()0fx（ ）A B(1)()， ， (， ，C D， ， )(， ，【解析】 D【演练 5】已知 是定义在 上的不恒为零的函数，且对于任意的 、 都满足()fxRabR()abfa 求 ， 的值；0f1 判断 的奇偶性，并证明你的结论()42 第 3 讲教师版【解析】 ， (0)f(1)0f 是奇函数x证明： ，所以 ，2(1)0fff(1)0f故 是奇函数()()fxxx大千世界1设 ， 为实数，且满足 ，则 _xy3(1)20(1)xxyyxy【分析】 注意到式子 与式子 的结构相同，3(1)20()3()()因此想到 的性质，使问题获解ftt【解析】 ；2原方程组化为3(1)20(1)xxyy，因为 在 上单调递增，3()ftt()，又 ，所以 ，即 1)xf1x2xy2已知 满足： ，则 _yR， 5(3)40y4xy【解析】 ；0 ， 5(3)40xx53x令 ，则 为奇函数，且在 上单调递增，ftt()ftR又 ，故 ，故 ，y3)()fyfx3yx从而 x
