1、12018 年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（54 分）1、不等式 的解集为_；1x2、计算： ；_23limn3、设集合 ， ，则 ；0xA1xB_BA4、若复数 （ 是虚数单位） ，则 ；iz12z5、已知 是等差数列，若 ，则 ；na1082a_753a6、已知平面上动点 到两个定点 和 的距离之和等于 4，则动点 的轨迹方程为_；P,P7、如图，在长方体 中， ， ， ， 是 的中点，则三棱锥1DCBA3BC51AO1C的体积为_；1OBA第 7 题图 第 12 题图8、某校组队参加辩论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛
2、且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_（结果用数值表示） 。29、设 ，若 与 的二项展开式中的常数项相等，则 ；Ra92x92a _a10、设 ，若 是关于 的方程 的一个虚根，则 的取值范围是_；mz 0122mxz11、设 ，函数 ，若函数 与 的图像有且仅有0a,)sin(1(axf 12xyxfy两个不同的公共点，则 的取值范围是_；a12、如图，在正方形 的边长为 米，圆 的半径为 1 米，圆心是正方形的中心，点 、 分别在ABCD20OPQ线段 、 上，若线段 与圆 有公共点，则称点 在点 的“盲区”中，已知点 以 1.5 米/秒PQQP的速度从 出发向 移动，同时，点 以 1
3、米/秒的速度从 出发向 移动，则在点 从 移动到 的CBAD过程中，点 在点 的盲区中的时长均为_秒（精确到 0.1）.二选择题（20 分）13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A B C D2xy31xy21xy3xy14. 如图，在直三棱柱 的棱所在的直线中，与直线 异面的直线的条数为（ ）1A1BCA B C D 123415. 若数列 的前 项和， “ 是递增数列”是“ 是递增数列”的（ ）nananSA 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件16、已知 、 是平面内两个定点，且 ，该平面上的动线段 的两个端点 、 满足：2ABPQ， ， ，则动线段
4、 所围成的面积为（ ）5AP6BPQA、50 B、60 C、72 D、1083三、解答题（14+14+14+16+18=76 分）17、已知 xfcos)(（1 ） .若 ，且 ，求 的值；31f,0)3(f（2 ） .求函数 的最小值；)(2(xffy418、已知 ，双曲线Ra1:2yax（1 ） .若点 在 上，求 的焦点坐标；),2(（2 ） .若 ，直线 与 相交于 两点，若线段 中点的横坐标为 1，求 的值；a1kxyBA,ABk19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图 1 所示，图 2
5、 投影出的抛物线的平面图，图 3 是一个射灯投影的直观图，在图 2 与图 3 中，点 、 、 在抛物线上， 是抛物线的对称轴， 于 ，OABOCABOC米， 米.3AB54OC（1 ）求抛物线的焦点到准线的距离；（2 ）在图 3 中，已知 平行于圆锥的母线 ， 、 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹SDE角的大小（精确到 ）.01520.设 ，函数0axaf21)(（1 ） .若 ，求 的反函数f)(1f（2 ） 求函数 的最大值， （用 表示）)(xfya（3 ） 设 ，若对任意 恒成立，求 的取值范围？)(xg1f )0(,(gxxa21.若 是递增数列，数列 满足：对任意 ，使得 ，
6、则称 是ncna*,NmRn01nmcana的“分隔数列”n（1 ） 设 ，证明：数列 是 的分隔数列；1,2nacn nac（2 ） 设 是 的前 项和， ，判断数列 是否是数列 的分隔数列，并说nnS,4c23ndnSnd明理由；6（3 ） 设 是 的前 项和，若数列 是 的分隔数列，求实数 的取值范围？nnTaqc,1cnTCqa,2018 年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷参考答案：一、填空题：1、 ；2、 ；3、 ；4 、 ；5、 ；6、 ；7 、 ；8、 ；,1,1,0211342yx5109、 ；10、 ；11、 ；12、 ；4，369， .二、选择题：713、 A；1
7、4 、C；15 、D；16、 B；三、解答题：17、 （ 1） ；（2） ；6318、 （ 1） ；（2 ） ；0,3,， 1519、 （ 1） ；（2） ；49.20、解析：（1） ；1,0log)(1log1212 xxfyxyx（2 ） ，设 ，xxx aay112 tx则 ，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所22ttat 0at21t以 ，即 ；122at 21,ay（3 ） ，设 ，因为 ，3212xxxtag tx0,所以 ，则 ，若 ，,0t tt2atta221当 时，即 ， 单调递减，所以 ，2a0atay32,232ay则 ，且 ，故满足 ，符合题意；,232g232a
8、g0gx82当 时，即 ，则 ，10a2 aatay 32232 则 ，因为 ，故不符合题意，舍去；,3g0log2minxg综上： 。2,0a21、解析（1）依题意得， 120)12(0)(0)2(1 nmnmnmcan因为 ，于是，可得， ，故存在这样的 ，使得 ，所以数列 是 的分N01nmcamanc隔数列，得证；（2 ） ，又因为 是 的前 项和，所以 ，632ncdn nScnSn 27243假设数列 是否是数列 的分隔数列，则必定存在 ，使得 ，nSndNm01nmd代入不并化简得：067067120671222 nmnnm所以， ，2又因为 ，所以 ，Zk786,10,26)7
9、( nn对于任意的 ，三个方程 都不能确保 一直偶整数解，Nn 6722nmm故不符合定义，所以数列 不是数列 的分隔数列；nSnd9另解：举出反例即可！1当 时， ，存在；n6076mNm2当 时， ，存在；703当 时， ，存在；n81276mNm4当 时， ，不存在；12综上，数列 不是数列 的分隔数列；nSnd（3 ）因为 是递增数列，所以 ，或 ；nc01aq1q当 时， ，则 ，不符合数列 是 的分隔数列，故1qnTan01amcn nTc舍去。当 时， ，因为 ，代入并化简得：1qqaTnn01nmcT，11nmn令 ，则 ，对任意的 恒成立，则 ，0121 qqnn Nn2q而 （恒成立） ，故数列 是 的分隔数列，且此时 ；11nnq nTc0a当 时，因为 ，代入并化简得： ，001nmcT 11nmnqq因为 单调递减，而 ， ，此时 不存在，mq q1 nn10故这种情况，舍去；综上， 或 。0a2q
