1、 矩阵与行列式一、 矩阵与行列式矩阵与行列式 知识要点知识要点1、形如 、 、 、 这样的矩形数表叫做矩阵。3512863241mn3124n2、矩阵的一般形式： nm个实数 jiaj ,2;,21, 排成 行 列的矩形数表mnnaA2112叫做矩阵，记作 nmA，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。阶矩阵可记做 ，如矩阵 为 阶矩阵，可记做 ；矩阵n13221A为 阶矩阵，可记做 。有时矩阵也可用 、 等字母表示。51283633AB(1) 行向量：在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量 称为行向量；12,mna如： 中：（51，21，28） 、 （36，38，36） 、 （23，21，28）是三个
2、行向512836量。(2) 列向量：垂直方向排列的数组成的向量 称为列向量；12nmna如： 中： 、 、 是三个列向量。51283651368236(3) 方阵：当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有 行（列） ，可称此方阵为 阶方阵，如矩阵 、 均为三阶nn5128363241mn方阵。（4）单位矩阵：在一个 阶方阵中，主对角线上的元素均为 1，其余元素均为 0 的方n阵，叫做单位矩阵。如矩阵 为 2 阶单位矩阵，矩阵 为 3 阶单位矩阵。100（5）相等矩阵： 如果矩阵 与矩阵 的行数和列数分别相等，那么 与 叫做同阶ABAB矩阵；如果矩阵 与矩阵 是同阶
3、矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵 与矩阵 叫做相等的矩阵，记为 。AB例 1：已知 ， 且 ，求 x,y,u,v246xy213uv22A（6）系数矩阵和增广矩阵：对于方程组 中未知数 的系数按原来的次2538xy,xy序排列所得的矩阵 ，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵 叫做方123 12538程组的增广矩阵。例 2：写出下列方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1） （2）35047xy632750xyz例 3：已知方程组的增广矩阵为 ，写出相应的线性方程组。1532例 4：若关于 x,y 的线性方程组的增广矩阵为 ，则 x+y=_1302例 5：方程组 的增广矩阵通过某种变换后
4、可以化为 ，则03axyb 102=_b例 6：若关于 x,y 的线性方程组的增广矩阵为 ，该方程组的解为 ，则092mn18xym+n=_3、矩阵的运算（1）矩阵的加法：当两个矩阵 的阶数相同时，将它们各位置上的元素加（减）AB，所得到的矩阵称为矩阵 的和（差） ，记作： 。， AB（2）数乘矩阵设 为任意实数，把矩阵 的所有元素与 相乘得到的矩阵叫做矩阵 与实数 的乘A积矩阵,记作： 。A例 7：已知 ， 则 A-2B=_32570648B（3）矩阵的乘积一般，设是 阶矩阵， 是 阶矩阵，设 为 矩阵kmnkCnm如果矩阵 中第 行第 列元素 是矩阵 第 个行向量与矩阵 的第 个列向量的C
5、ijijAiBj数量积，那么 矩阵叫做 与 的乘积.记作： 。注：一般情况下BA例 8：若 ， ，则 =_1234A14024、行列式（1）二阶行列式展开的对角线法则： 11212baab例 9：若矩阵 是单位矩阵，则行列式 的值为_12a12a（2）元一次方程组： ，其中 x,y 为未知数，方程组系数不全为 01122,xbyca系数行列式 ； ；12 baD12 bxcD12 cxaD（1）当 时，方程有唯一解0xyD（2）当 ， 时，方程组有无穷多解；D0xy（3）当 ， 中至少有一个不为零，方程组无解 .0,（3）三阶行列式展开法则：对角线法则: = 1 332211cba 23121321323 cbacbacba按第一行展开: = - + 2 332211c32cb132a1c32b其中 = ， =- , = 分别叫做元素 , , 的代数余子式1A32cb1B32a1C321总之，三阶行列式可以按其任意一行（一列）展开成行（或该列）元素与其对应的代数余子式的乘积之和。注：区别余子式和代数余子式例 10在三阶行列式 中，元素-6 的余子式为_，代数余子式为3512674_代数余子式的值为_例 12 若 ，则 的值为_111123456abcAbBcC例 12已知行列式 D=02143x（1）解关于 x 的不等式 ； （2）若元素 0 的代数余子式为-6，求实数 x.D
