1、0一圆的定义及相关概念【考点速览】考点 1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点 2：确定圆的条件；圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点 3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两
2、个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点 4：三角形的外接圆：1锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。考点 5点和圆的位置关系 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点与圆的位置关系有三种。点在圆外 dr；点在圆上 d=r；点在圆内 dr；【典型例题】例 1 在 ABC 中， ACB=90,AC=2,BC=4， CM 是 AB 边上的中线，以点 C 为圆心，以为半径作圆，试确定 A,B,M 三点分别与 C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。5例 2已知，如图，CD 是直
3、径， ，AE 交O 于 B，且 AB=OC，求A 的度84EOD数。例 3 O 平面内一点 P 和O 上一点的距离最小为 3cm，最大为 8cm，则这圆的半径是_cm。例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则 AB 和 CD 的距离是多少？例 5 如图,O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=6cm，EB=2cm, ，30CEA求 CD 的长A BDCOEMAB CD OEBAC2ACBD例 6.已知：O 的半径 0A=1，弦 AB、AC 的长分别为 ，求 的度数3,2BAC例 7.如图，已知在 中， ，AB=3cm，AC=4cm，以点 A
4、 为圆心，AC 长为ABC90半径画弧交 CB 的延长线于点 D，求 CD 的长例 8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度 AB16cm，拱高 CD4cm，那么拱形的半径是m。.思考题如图所示,已知O 的半径为 10cm，P 是直径 AB 上一点,弦 CD 过点 P,CD=16cm,过点 A 和B 分别向 CD 引垂线 AE 和 BF,求 AE-BF 的值.二垂径定理及其推论【考点速览】考点 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论 1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤CBDAA BDCEPFO3弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所
5、对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤推论 2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论 1 中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例 1 如图 AB、CD 是O 的弦，M、N 分别是 AB、CD 的中点，且 CNMA求证：AB=CD例 2 已知，不过圆心的直线 交O 于 C、D 两点，AB 是O 的直径，AE 于 E，BFl l于 F。求证：CE=DFl l问 题 一 图 1 OH FE DCBA l问 题 一 图 2 OH FE DCBAl问 题 一 图 3 OH
6、 FE DC BA例 3 如图所示， O 的直径 AB15cm，有一条定长为 9cm 的动弦 CD 在弧 AmB 上滑动（点 C 与点 A，点 D 与 B 不重合） ，且 CECD 交 AB 于 E，DFCD 交 AB 于F。AB DCONM4（1）求证：AEBF（2）在动弦 CD 滑动的过程中，四边形 CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。例 4 如图，在O 内，弦 CD 与直径 AB 交成 角，若弦 CD 交直径 AB 于点 P，且045O 半径为 1，试问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理2PDC由.例 5.如图所示，在O 中
7、，弦 ABAC，弦 BDBA，AC、BD 交直径 MN 于 E、F.求证：ME=NF.OABC DEFmOAB DCEFMNA BCDPO。.5例 6.（思考题）如图， 与 交于点 A，B，过 A 的直线分别交 ， 于1o2 1o2M,N，C 为 MN 的中点，P 为 的中点，求证：PA=PC.O三圆周角与圆心角【考点速览】考点 1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由1OAB2M NCP6
8、考点 2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg: 如下三图，请证明。13.如图，已知 A、B、C、D 是O 上的四个点，ABBC，BD 交 AC 于点 E，连接CD、AD （1）求证：DB 平分ADC； （2）若 BE3，ED 6，求 AB 的长 14.如图所示，已知 AB 为O 的直径，CD 是弦，且 ABCD 于点 E连接AC、OC、BC（1）求证： ACO= BCD （2）若 EB=8cm，CD= 24c，求O 的直径EDBAOC715.如图，在 RtABC 中，ACB90，AC5，CB12，AD 是ABC 的角平分线，过A、C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E，连接
9、DE。（1）求证：ACAE；（2）求ACD 外接圆的半径。16.已知：如图等边 内接于 O，点 是劣弧 上的一点（端点除外） ，延长ABC PBC至 ，使 ，连结 BPDPD（1）若 过圆心 ，如图，请你判断 是什么三角形？并说明理由（2）若 不过圆心 ，如图， 又是什么三角形？为什么？四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等AC BDEAOCDPB图AOCDPB图8推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都
10、分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例 1如图所示，点 O 是EPF 的平分线上一点，以 O 为圆心的圆和角的两边分别交于A、B 和 C、D，求证：AB=CD 例2、已知：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。求证：PA=PC。ABEFOOPOCO1O2ODO9例 3如图所示，在 中， A= ，O 截 的三条边长所得的三条弦等长，ABC72ABC求BOC.例 4如图，O 的弦 CB、ED 的延长线交于点 A，且 BC=DE求证：AC=AE 例 5如图所示，已知在O 中，弦 AB=CB，ABC= ，ODAB 于 D，OEBC 于 E120求证： 是等边三角
11、形ODE例 6.如图所示，已知ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的O 分别交 AB、AC 于点D、E。OAB COCAEBDOA D EBC10AB COD E（1）试说明ODE 的形状；（2）如图 2，若A=60，ABAC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。例 7 弦 DFAC，EF 的延长线交 BC 的延长线于点 G.（1）求证：BEF 是等边三角形；（2）BA=4，CG=2，求 BF 的长.例8已知：如图，AOB=90，C 、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD 。六会用切线，能证切线考点速览：AB CODEAOBE DC GF11考点 1直
12、线与圆的位置关系图形 公共点个数 d 与 r 的关系 直线与圆的位置关系0 dr 相离1 d=r 相切2 dr 相交考点 2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言 OA l 于 A， OA 为半径 l 为O 的切线考点 3判断直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点 4切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论 2：经过切点且垂直于切线
13、的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）1、如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与AD、AC 分别交于点 E、F，且ACB=DCElAO12(1)判断直线 CE 与O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若 AB=3,BC=4,DE=DC，求O 的半径2.如图， 是半圆 的直径，过点 作弦 的垂线交ABOAD半圆 于点 ，交 于点 使 EC， BEC（1）判断直线 与圆 的位置关系，并证明你的结论；3.如图，已知 R tABC，ABC90，以直角边AB 为直径作 O，交斜边 AC 于点 D，连结 BD（1）取
14、 BC 的中点 E，连结 ED，试证明 ED 与O 相切（2）在（1）的条件下，若 AB3，AC5，求 DE 的长；ACBDEO4.如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P，AC=PC，COB=2PCB.FEOD CBACA O BE D13（1）求证：PC 是O 的切线；（2）求证：BC= 21AB；5.如图，在 ABC 中， AB=AC， D 是 BC 中点， AE 平分 BAD 交 BC 于点 E，点O 是 AB 上一点， O 过 A、 E 两点, 交 AD 于点 G，交 AB 于点 F（1）求证： BC 与 O 相切；（2）当 BA
15、C=120时，求 EFG 的度数6.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以 AB 为直径的 O 经过点 D， E 是 O上一点， （1）若 AED45试判断 CD 与 O 的关系，并说明理由（2）若 AED=60,AD=4，求O 半径。A BCDEO7.在 Rt ACB 中， C=90， AC=3cm， BC=4cm，以 BC 为直径作 O 交 AB 于点 D.BACDEGO F14FADEBCO（1）求线段 AD 的长度；（2）点 E 是线段 AC 上的一点，试问当点 E 在什么位置时，直线 ED 与 O 相切？请说明理由.8.如图，已知 ABC 内接于 O， AC 是 O 的直径， D
16、是 的中点，过点 D 作AB 直线 BC 的垂线，分别交 CB、 CA 的延长线 E、 F（1）求证： EF是 O 的切线；（2）若 AB8， EB2，求 O 的半径如图，已知O 是ABC 的外接圆，AB 为直径，若 PAAB ，PO 过 AC 的中点 M，求证：PC 是O 的切线。ODC BA1520. 已知：AB 是O 的弦， ODAB 于 M 交O 于点 D，CBAB 交 AD 的延长线于C（1）求证：ADDC；（2）过 D 作O 的切线交 BC 于 E，若 DE2，CE=1，求 O 的半径16A BC DEFOFOEDCBA（20 题图）20在 Rt 中， F=90，点 B、 C分别在
17、 AD、 FD上，以 AB为直 AD 径的半圆 O 过点 C， 联结 AC， 将 AFC 沿 AC翻折得 ，且点E恰好落在 直径AB上.（1）判断：直线 FC与半圆 O的位置关系是_；并证明你的结论.（2）若 OB=BD=2,求 CE的长20如图所示，AB 是O 的直径， OD弦 BC 于点 F，且交 O 于点 E，若AEC=ODB（1）判断直线 BD 和O 的位置关系，并给出证明；（2）当 AB=10，BC=8 时，求 BD 的长17NM OFECBA20已知：如图，在ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的 O 分别交 BC、AC 于点D、E，联结 EB 交 OD 于点 F（1）求证：
18、ODBE；（2）若 DE= ，AB=5 ，求 AE 的长520. 如图，AB 是 的直径， ，M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 ACOA30BAC于点 N,交 BC 的延长线于点 E,直线 CF 交 EN 于点 F,且 .EC（1）证明 CF 是 的切线(2) 设O 的半径为 1且 AC=CE,求 MO 的长. 21.如图，AB BC CD 分别与圆 O 切于 E F G 且 AB/CD，连接 OB OC，延长 CO 交圆 O 于点M，过点 M 作 MN/OB 交 CD 于 N求证 MN 是圆 O 切线当 OB=6cm，OC=8cm 时，求圆 O 的半径及 MN 的长18七切线
19、长定理考点速览：考点 1切线长概念：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量考点 2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切 O于 A、B 两点，PA=PB PO 平分 APB考点 3两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长经典例题：例 1 已知 PA、PB、DE 分别切 O于 A、B、C 三点，若 PO=13， 的周长为 24，P
20、ED求： O的半径；若 ， 的度数40PEDAAOACADABAPAAEPD BCO19例 2 如图， O分别切 的三边 AB、BC、CA 于点 D、E、F，若ABC,BCaAbBc（1）求 AD、BE、CF 的长；（2）当 ，求内切圆半径 r90例 3如图，一圆内切四边形 ABCD，且 AB=16，CD=10，则四边形的周长为？例 4 如图甲，直线 与 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，点 C 是34xy nm,EFDCOABEFDCOAB20第二象限内任意一点，以点 C 为圆心与圆与 轴相切于点 E，与直线 AB 相切于点 F.x（1）当四边形 OBCE 是矩形时，求点 C 的坐标；
21、（2）如图乙，若C 与 轴相切于点 D，求C 的半径 r；y（3）求 m 与 n 之间的函数关系式；（4）在C 的移动过程中，能否使 是等边三角形（只回答“能”或“不能” ）？OEF八三角形内切圆考点速览考点 1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形考点 2三角形外接圆与内切圆比较：名称 确定方法 图形 性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平
22、分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC 分别平21分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三角形内部考点 3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形ABC 内切圆O 的半径为 .2cbar2、一般三角形已知三边，求ABC 内切圆O 的半径 r.cbaSr（海伦公式 S ， 其中 s= )cs(b)as(2cba例 1如图，ABC 中，A=m（1）如图（1） ，当 O 是ABC 的内心时，求BOC 的度数；（2）如图（2） ，当 O 是ABC 的外心时，求BOC 的度数；（3）如图（3） ，当 O 是高线 BD 与 CE 的交点时，求BOC 的度数例 2如图，RtABC 中，AC=8
23、，BC=6，C=90，I 分别切 AC，BC，AB 于D，E，F，求 RtABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离ABCOEDbcaABCOEFD22考点速练 21如图，在半径为 R 的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第 n 个内切圆，它的半径是（ ）A （ ） nR B （ ） nR C （ ） n1 R D （ ） n1 R212223如图，已知ABC 的内切圆O 分别和边 BC，AC，AB 切于 D，E，F，如果AF=2，BD=7，CE=4（1）求ABC 的三边长；（2）如果 P 为弧 DF 上一点，过 P 作O 的切线，交 AB
24、于 M，交 BC 于 N，求BMN 的周长23十圆与圆位置的关系考点速览：1 圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为 R 和 r，圆心距为 d）外离 外切 相交 内切 内含图形公共点 0 个 1 个 2 个 1 个 0 个d、r、R 的关系rdRrdRrdrdRr外公切线 2 条 2 条 2 条 1 条 0 条内公切线 2 条 1 条 0 条 0 条 0 条2有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。O1 O2 O1 O2 O1 O2O1O2O1O224（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线
25、。两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁3相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点经典例题：例 1、如图，已知 与 相交于 A、B 两点，P 是 上一点，PB 的延长线交1O2 1O于点 C，PA 交 于点 D，CD 的延长线交 于为 N.22 1（1）过点 A 作 AE/CN 交 于点 E.求证：PA=PE.1（2）连接 PN，若 PB=4，BC=2，求 PN 的长.例2 如图，在 中， ，圆A的半径为1，若点O在BCABC2,90CAB边上运动（与点B、C不重合） ，设 的面积为y.xO（1）求 关于 的函数关系式，并写出 的
26、取值范围；yx（2）以点O为圆心，BO长为半径作O，当圆O与A相切时，求 的面积.AC外公切线 内公切线P2OABCEN1D25课堂练习：1.已知O 1与O 2的半径分别为 5cm 和 3cm，圆心距 020=7cm，则两圆的位置关系为A外离 B外切 C相交 D内切2.已知两圆半径分别为 2 和 3，圆心距为 ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是d（ ）A B C 或 D 或0d5d1501d 53.大圆半径为 6，小圆半径为 3，两圆圆心距为 10，则这两圆的位置关系为（ ）A外离 B外切 相交 D内含 5.若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm，圆心距为 6cm，则这两圆的位置关系是（
27、）A内切 B相交 C外切 D外离6.外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是A11 B7 C4 D3十一.圆的有关计算考点速览：OB CA26【例题经典】有关弧长公式的应用例 1 如图，RtABC 的斜边 AB=35，AC=21 ，点 O 在 AB 边上，OB=20，一个以 O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC 于 D、 E 两点，求弧 DE 的长度有关阴影部分面积的求法例 2 如图所示，等腰直角三角形 的斜边 ， 是 的中点，以 为圆心ABC4OABO的半圆分别与两腰相切于 、 求圆中阴影部分的面积DE求曲面上最短距离例 3 如图，底面半径为 1，母线长为 4 的
28、圆锥，一只小蚂蚁若从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A 点，它爬行的最短路线长是（ ）A2 B4 C4 D523求圆锥的侧面积例 4 如图 10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件， 它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取” 一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径 AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的表面积 （结果保留根号）三、应用与探究：COA BD E271如图所示，A 是半径为 1 的O 外一点，OA=2，AB 是O 的切线，B 为切点，弦BCOA，连结 AC，求阴影部分的面积2已知：如图， ABC 中， AC BC，以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 D，过点 D
29、 作 DE AC于点 E，交 BC 的延长线于点 F 求证：（1） AD BD； （2） DF 是 O 的切线3如图，在 RtABC 中，B90，A 的平分线与 BC 相交于点 D,点 E 在 AB 上，DE=DC,以 D 为圆心，DB 长为半径作D （1）AC 与D 相切吗？并说明理由 （2）你能找到 AB、BE、AC 之间的数量关系吗？为什么？4、如图，已知： 内接于O，点 在 的延长线上， ，ABC DOC1sin2B （1）求证： 是O 的切线； （2）若 ，求 的长30D 6ADAOCBFEDCBAO28圆的综合测试一：选择题1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形
30、的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（ ）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个2下列判断中正确的是（ ）A.平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦3如上图，已知O 的弦 AB、CD 相交于点 E， 的度数为 60，的度数为 100，则AEC 等于（ ）A.60 B.100 C.80 D.1304圆内接四边形 ABCD 中，A、B、C 的度数比是 2:3:6，则DACDBO29的度数是（ ）A.67.5 B.135 C.112.5 D.1105.过O 内
31、一点 的最长弦长为 6cm,最短的弦长为 4cm,则 的长为( ).MOMA、 B、 C、 D、cm3cm5cm2cm36两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为 9 和 5，如果P 与这两个圆都相切，则P 的半径为( )A.2 B.7 C.2 或 7 D.2 或 4.57ABC 的三边长分别为 a、b、c，它的内切圆的半径为 r，则ABC 的面积为（ ）A. （abc）r B.2（abc） C. （abc）r D.（abc）r21318已知半径分别为 r 和 2 r 的两圆相交，则这两圆的圆心距 d 的取值范围是（ ）A.0d 3r B.r d 3r C.r d 3r D.r d 3r9.将一块弧长为 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计） ，则围成的圆锥的高为（）A B C D325210.如图，圆 O 中弦 AB、CD 相交于点 F，AB=10，AF=2，若CF:DF=1:4，则 CF 的长等于（ ） 。A B2 C3 D211.有一张矩形纸片 ABCD，其中 AD=4cm，上面有一个以 AD 为直径的 半圆，正好与对边 BC 相切，如图（甲） ，将它沿 DE 折叠，使A 点落在 BC 上，如图（乙） ，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（ ）A. B2)3(cm2)31(cmCABDFODAB C ABCC
