1、1 专题：函数的值域和最值 知识梳理 在函数 中，和自变量 的值对应的 的值的集合，叫做函数的值域)(xfyxy1 常见函数（重点讲解反比例函数二次函数）的值域：2 设函数 在 处的函数值为 ，若对于定义域内任意 ，不等式 都成)(xfy0)(0xf x)(0xf立，那么 叫做函数 的最小值；0)(fy若对于定义域内任意 ，不等式 _成立，那么 叫做函数 的x )(0xf )(xfy_如 函数 虽然 ，但对任意 ， ，所以 2 不是 的最大sin,yxRsin2xxRsinsinyx值； 而 ，且存在 ，使得 ，故 1 是 的最大值i10,kZ0sisiyx3 求函数值域（最值）的常用方法：求
2、函数值域（最值）没有通解通法，只能根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法主要通过函数的单调性及基本不等式确定，特别是几个常见函数如二次函数、分式函数及指对数函2 数等值域的确定方法需要熟练掌握 求函数值域的基本方法：(1) 几个常见函数（二次函数、有理分式函数）的值域；(2) 利用函数的单调性求值域；(3) 利用基本不等式求值域典例精讲 类型 1 二次函数类型: 例 1设函数 ，若 在 上的最小值为 1，求实数 的值()32)(xxf )(xf1,mm解： 由题意得， ，22()=()4f对称轴方程为 ， ，对称轴在区间 的右边， （做草图）1x,1在 上单调递增， ()f,m， 2in31
3、xf解得 13,变式练习 1. ()已知函数 ， . 当 时，函数 的最小值是关axf)(2R20x()fx于 的函数 求 的最大值及其相应的 值.ama突破口：确定对称轴和区间的关系。解：函数 的对称轴为 ， ，不确定区间与对称轴的关系，下分三类进行讨论：()fx2x0,（1）当 时， ， 在区间 上是增函数， ； 02a()f2()03mafa（2）当 时， ， ； 4a21()4mf（3）当 时， ， 在区间 上是减函数， . )fx0,()7f所以， 27,1()3,44,0ama分段讨论并比较大小得，当 时， 有最大值 4. ()m注：分段函数的定义域为各段的并集，值域也为各段的并集
4、。3 变式练习 2：()已知函数 ， 设 在区间 上的最小值为12|)(2axf 0)(xf2,1，求 的表达式；ag解:当 时， 1,2x2()1fxa， 图像的对称轴是直线 2()4fa()fx12xa当 ，即 时， 在区间 上是增函数， 1011,2()32gf当 ，即 时， ， 2a42a1()4gfa当 ，即 时， 在区间 上是减函数， 110fx1,2()263gfa综上，可得 63,411()2,23,agaa巩固练习：1设函数 的最大值为 ，最小值为 ，其中 求203fxxamn0,aR的值（用 表示） ；()mn、解：由题得 . 21f对称轴为 ， 。 故 对称轴在区间中间。
5、 （做草图）x03所以， .,3fanfa2已知函数 ,求函数 在 上的值域( )1()142xxffx,0解：令 ，则 ，,xt2213()4ytt对称轴为 ， ，对称轴在 的左侧。 （做草图）12t(,)t ,故 上 单调递增 。y(,)y0 30-0.54 x0 x0 x0 x0x32所以 ，即 在 的值域为 ()3fx()fx,13,类型 2 反比例函数：对反比例函数 ，当定义域为给定的区间 时，可以结合图像，(0)kyx,mn根据函数的递增、递减性确定最大值和最小值常见图形情形主要有以下几种：由图，定义域中一定不包含 ，故对区间 ，要么 ，要么 。,mnnmn难点突破分离常数法：例
6、2已知函数 ，求函数的值域。()257(),(,32xf突破口：函数为一次式比一次式的形式，故选用分离常数法。解： 。 （做草图）52()157()=,(,)332xf x在 和 上单调递减， ，,7, )0f4f故 函数 在 上的值域为 。()fx,)2,(,例 3 ()已知 是偶函数12(1)abRexbx=-urr、 ， 向 量 ， ， ， ， 12()|fae=-ur函 数(1)求 的值；b(2)若在函数定义域内总存在区间 ，使得 在区间 上的函数值组成的集合mn一()()yfxmn一也是 ，求实数 的取值范围mn一akyx(,)ab 一 kbxkayxa 一一+c(,)a 一 ()c
7、cy 一 axbyc=05 (3)突破口：实系数的一元二次方程 有两个不同的正根 ，等价于 。20axbc12,x120x（关于实系数的一元二次方程根与系数的关系在专题：二次函数中会有详细讲解。 ）解:(1)由已知可得， ，且函数的定义域为 1()|2|fxab(,)(,)2bD又 是偶函数，故定义域 关于原点对称yf D于是， ( )0b2b否 则 ， 当 时 ， 有 -且 ， 即 必 不 关 于 原 点 对 称又对任意 )(0.xfx， 有 ， 可 得因此所求实数 (2) 由(1)可知， 1()()()2|faDx， ，考察函数 的图像，可知：()|fx()(0)fx在 区 间 ， 上 是
8、 增 函 数 ，()f在 区 间 ， 0上 是 减 函 数因 在区间 上的函数值组成的集合也是 ，故必有 yf=mn， mn， n、 同 号 时， 有 ，0n()fx在 区 间 ， 上 是 增 函 数 ，12an即方程 ，也就是 有两个不相等的正实数根，12ax210xa因此 ，解得 0482()10)mnxa此 时 ， 、 取 方 程 的 两 根 即 可当 时， 有 ，化简得 ，0()fmn在 区 间 ， 上 是 减 函 数 ，12anm()0na解得 1() 0)2ann此 时 ， 、 的 取 值 满 足 ， 且 即 可综上所述，所求实数 0aa的 取 值 范 围 是 或6 x-1-1巩固
9、练习：1求函数 的值域；()2(),2,1)0,1xf突破口：函数为一次式比一次式的形式，故选用分离常数法。解： 。 （做草图）2()3()=1,2,1)0,)1xf x在 和 上单调递减， ，,0,(4f(2f故 函数 在 上的值域为 。()fx2),),2若函数 1x，则该函数在 ,上是 （ ）( )A单调递减无最小值 B单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D单调递增有最大值解：A3. （选）函数 , 的值域是 ()624301xy1,0解： 5,6类型 3Nike 函数类型: 对函数 ，当定义域为某给定的区间时，可以+(0,)byax结合图像，根据函数的递增递减性确定最大值和最小值.难
10、点突破：1、 要特别注意拐点与区间之间的关系；2常见类型： +ccy ya 一2一一Acy 一一A例 4求函数 的值域最大值最小值()25,2,4xy 0-1 2 -27 突破口：函数为二次式比一次式，可转化为 类型；特别注意区间与拐点的位置关系。+cyaA解：令 ， ， ，2tx(0,6)t2xt代入 得 （做草图）251=,(0,6)yttt无最大值，有最小值，为 。3函数的值域为 。,)巩固练习：1已知函数 ，求函数 )(xf的最小值()25()0,21xfx一突破口：函数为二次式比一次式，可转化为 类型；特别注意区间与拐点的位置关系。+cyaA解：令 ， ， ，1tx,3t1xt代入
11、得 （做草图）2()()54=,13yttminax|4,|5,故 函数的值域为 。说明：Nike 函数与二次函数不同，图像不具有轴对称性质。端点 和 到 距离相等，函数值却不尽相同，一定要结合图像具体情况具体分析。1t32t2函数 的最大值是_.()224log(,)lyx解：53 （选）对于函数 ，在使 成立的所有常数 中，我们把 的最大值称为函数 的)(xfMxf)( M)(xf“下确界” ，则函数 的“下确界”为 (),0(,sin2_解：34 （选）函数 的值域为 ()12fxx 20 14 38 解： (,1类型 4 绝对值函数我们主要研究形如 和 的两种类型的绝对值函数：|yxa
12、b|()yxab ，图像为2,|,yxxxab特征：1、有最小值，为 与 之间的距离，无最大值；x2、当 时的图像与当 时的解析式相反，图像对称；ab 当 时， ；b,|=2,axbyx当 时， 。图像如下：ba,|=2,baxbyxaaab ba特征：有最小值，为 ；最大值与最小值互为相反数，为 ；|检验：函数 的最小值是_；函数 的最小值是_；|3|1|yx|3|1|yx解： ；2a bab b a9 例 5() 已知函数 ，若 （ ）对一()|1|2|fxx|()tktkfx,0Rk切 恒成立，求实数 的范围。tR解：若 ， （ ）对一切 恒 成立|()tktkfx,0kRtR， （ ）
13、恒成立min|（ ）易得， i(|)2|tktk既 ，由于2|(fx 0R且既 ，解得()fx|1|152x所以实数 的范围为 。52x变式练习若 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为 aa),31,(类型 5 （1）对基本初等函数的和函数，常利用单调性法进行判断。如 ，在 上， 单调递增，2cos,0,yx,2yx单调递减，增函数减去减函数是增函数，故 在 上单调递增。0,（2）对形如 的函数，可利用换元法，设 来求函数的值域；(0,)yaxbcdactcxd注意观察，易发现（2） （3）两题几乎完全一样，但在（2）中的两个 的符号相反，而在（3）中2两个 的正负一致，在区间 上同为增函
14、数，故当 的符号一致时，除选用换元法外，还可以x1,),ac选用单调性法。（3）对形如 的函数，注意到其形如直线的斜率公式 ，故可利用数形结合法，sincoaxyb 12ykx视 为点 到单位圆上的点形成的直线的斜率的集合。(,)10 例 6. （）求下列函数的值域： （1） )21(6lg2xxy解：（单调性法） 当 时， 单调递增， 单调递减。lgyx26yx增函数减去减函数为增函数，故 在 上单调递增，21,故 。(1),25,l8yf（2） x解：（换元法）令 ，则 ，0,)t2+1xt， ， 故 21yt,3(,4y（3） x解：（法一：（换元法） ）令 ，则 ，210,)tx2+1
15、xt， ， 故 。2+1yt0,)ty（法二：（单调性法） ） ， 在 上单调递增，,)2x12,1x,)2故 (0),)yf（4） xcos2in3解：函数视为点 到单位圆上任意一点形成的直线的斜率的集合， 令 ， (,) (2)3ykx由圆心到直线的距离小于等于半径，得 2|3|1k解得， ，从而， 63,k63,y2311 例 7. （）如图，矩形 OABC 中，AB=1，OA=2，以 B 为圆心、BA 为半径在矩形内部作弧，点 P 是弧上一动点， ，垂足为 M， ，垂足为 N，则四边形 OMPN 的周长的最小值POAPNOC为 突破口：求解的问题在四边形 OMPN 上，而以 B 为圆心
16、、BA 为半径的弧却比较特殊，故可从弧上寻找等价条件。解：令 ，不妨假设 OMPN 的周长为 ，,PMxyt则 ， ，是斜率为 的平行直线族。2()t2tx1由图易得， ， 2(1)()PBy整理得， ，为以 为圆心，以 为半径的单位圆。22xy(1,21故四边形 周长的最小值问题转化为直线与圆相交所得截距的最值问题。OMPN由图，圆心到直线的距离小于等于半径， 。|12|t解得 。6262t故，四边形 周长的最小值为 。OMPN62例 8. （）设函数 是定义域为 R 的奇函数若 ，)10()1()( akaxfx且 3(1)=2f且 在 上的最小值为 ，求 的值2()xgam,2t突破口：
17、 与 之间的联系： 。由 的表达式中同时出现xxx2xxx()gx了 和 ，故选用换元法。2解： ， ，即 .3(1)=f132a20,a12a一一 .2 2()()()xxxxgmm令 ，易知 为增函数()xtff12 ， ，1x3()2tf令 2 23() ()htmttmt若 ，当 时， ， 3t2in()ht2若 ，当 时， ，解得 ，舍去2tmin1734t531综上可知 . 课后作业1 () 定义域为 的函数 ，如果存在区间 ，同时满足：D)(xfyDnm, 在 内是单调函数；)xf,nm 当定义域是 时， 的值域也是 )(xf ,则称 是该函数的 “和谐区间 ”,（1）已知：函数
18、 （ ）有“和谐区间” ，当 变化时，求出xay21)(0,aR,nma的最大值 mn（2）易知，函数 是以任一区间 为它的“和谐区间” 试再举一例有“和谐区间”的函数，,nm并写出它的一个“和谐区间” （不需证明，但不能用本题已讨论过的 及形如 的函数为xyaxcby例）【易错点：忽略了函数单调性的要求，对新定义题型，一定要严格按照定义的要求进行判断。 】解：（1）设 是已知函数定义域的子集 ， 或,mn0x,(,0)mn，,(0)故函数 在 上单调递增22(1axayx,n若 是已知函数的 “和谐区间 ”，则 ,mn()fm故 、 是方程 ，即 的同号的相异实数根21ax2()10ax13
19、 ， ， 同号，只须 ，即 或 时，210mnan2(3)10a1a3已知函数有“和谐区间” ， ，,m2244()nm当 时， 取最大值 3an23（2）如： 和谐区间为 、 ，当 的区间 ；2yx0,1,2ab,ab和谐区间为 ； 和谐区间为 ；sin2yx1,02. ()已知函数 ，实数 且 。21()fxaaR（1）设 且 的定义域和值域都是 ，求 的最大值；0mn0a时 ， )(f ,mn（2）若不等式 对 恒成立，求 的范围；2|()|fx1a解：（1）由 的定义域和值域都是 得 ，,n(),()ff因此 是方程 的两个不相等的正数根，,mn2xa等价于方程 有两个不等的正数根，2
20、()10x即 ，解得 ，2221 12()400axxa且 且 12a，2 2163()3nma， 时， 最大值为 。(,)anm4（2） ,则不等式 对 恒成立，21)fxx2|()|afx1即 即不等式 ,对 恒成立,2a21ax令 ,易证 在 递增，同理 递减。1()hx()hx1,)()2gx1,)， 。minmax(3,g2+3aa14 3 （）求下列函数的值域：（1） （2） （3）12yx12yx4sin2coxy解：（1） （单调性法、换元法） ；,)（2） （换元法） ；5,)8（3） （数形结合法） 198,34 已知函数 ，对于任意的 都能找到 ，使得16)(,2)(2x
21、gaxf 1,x21,x，则实数 的取值范围是 ；21()gx解： 65 已知函数 ，当 时，记 的最大值为 ，最小值为 ，则 |4|)(xf1,3)(xfmnm 96 已知函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为),()(2Rbaf0,(x1)(cxf，则实数 的值为 . 1,4(mc4217 （2013 年上海杨浦区一模 12）如图，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中 米，4AE米为了合理利用这块钢板，将在五边形 内截取一个矩形块 ，使点 在边6CD ABCDEBNPM上则矩形 面积的最大值为 平方米48；EBNPM8 函数 ，其中 ，若动直线()min2,fxx,min
22、,ab与函数 的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为 ，则 是否存在y()yf 123,x123x最 大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_19 已知 是定义在 上的增函数，且 的图像关于点 对称若实数 满足不等式xfR()yfx(6,0)y,，则 的取值范围是 22(6)(836)0fy2,10 设 、 ，定义在区间 上的函数 的值域是 ，若关于 的方程mn,nm|)4(log)(2xf2t（ ）有实数解，则 的取值范围是_012|t t ),1AEPDCBNF15 11 函数 的值域为（ ）A)5,3(216)(xxf ； ； ； A3,B,C3,7D4,3
23、712 设函数 是定义在 上以 为周期的函数，若函数 在区间 上的值域为)(xfyR1xfxg2)(，则 在区间 上的值域为（ ）D6,2g2, ； ； ； A,B8,4C32,34,013 函数 的最大值和最小值分别为 ，则 _1sin)()2xf mM,【答案】214 已知 ，若存在区间 ，使得 ，()4fx,ab1(,)3|(),yfxab,m则实数 的取值范围是 m【答案】 (3,4)15 已知函数 ()1fxx（1）求函数 的定义域和值域；（2）设 （ 为实数） ，求 在 时的最大值 ；2()()()aFxfxfa()Fx0a()ga（3）对（2）中 ，若 对 所有的实数 及 恒成立
24、，求实数g2()mtg1,t的取值范围m解： 由 1+x0 且 1-x0 ，得-1x1,所以定义域为(1) 1,又 由 0 得值域为 22,4fxx()fx2,（2）因为 ()()aFfax令 ，则 ，1tfxx21t ( )+t= ()mta2t,2t由题意知 g(a)即为函数 的最大值。21)a注意到直线 是抛物线 的对称轴。ta(tta16 因为 a0 时,函数 y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，2,t若 ，即 则 1(0,taa()2)gam若 ，即 则(2,t 11()2a若 ，即 则 1,)ta0a2g综上有 2,1(),ga1,2（3）易得 ， min()2g由 对 恒成立，2ta0即要使 恒成立，min()2g，令 ，对所有的 成立，20thtt1,0tht只需 ,)1(2h求出 m 的取值范围是 . ,或 m=0或 2
