1、内 涵概 述2000 年 5 月 24 日 ， 美 国 克 雷 (Clay)数 学 研 究 所 公 布 了 7 个 千 禧 数 学问 题 。 每 个 问 题 的 奖 金 均 为 100 万 美 元 。 其 中 黎 曼 假 设 被 公 认 为 目 前 数 学 中(而 不 仅 仅 是 这 7 个 )最 重 要 的 猜 想 。 黎 曼 假 设 并 非 第 一 次 在 社 会 上 征 寻 解 答 ，早 在 1900 年 的 巴 黎 国 际 数 学 家 大 会 上 ， 德 国 数 学 家 希 尔 伯 特 列 出 23 个 数学 问 题 其 中 第 8 问 题 中 便 有 黎 曼 假 设 (还 包 括 孪
2、 生 素 数 猜 测 和 哥 德 巴 赫 猜想 )。 具 体 概 述 关 于 黎 曼 -希 尔 伯 特 问 题 是 ： 具 有 给 定 单 值 群 的 线 性 微 分 方 程的 存 在 性 证 明 。 即 ： 关 于 素 数 的 方 程 的 所 有 有 意 义 的 解 都 在 一 条 直 线 上 。 内 容方 程 z(s)=0 的 所 有 有 意 义 的 解 都 在 一 条 直 线 上 。 有 些 数 具 有 不 能 表 示 为 两 个 更 小 的 数 的 乘 积 的 特 殊 性 质 ， 例 如 ，2,3,5,7,等 等 。 这 样 的 数 称 为 素 数 ； 它 们 在 纯 数 学 及 其
3、应 用 中 都 起 着 重 要 作用 。 在 所 有 自 然 数 中 ， 这 种 素 数 的 分 布 并 不 遵 循 任 何 有 规 则 的 模 式 ； 然 而 ，德 国 数 学 家 黎 曼 (18261866)观 察 到 ， 素 数 的 频 率 紧 密 相 关 于 一 个 精 心 构 造的 所 谓 黎 曼 zeta 函 数 (s)的 性 态 。 著 名 的 黎 曼 假 设 断 言 ， 方 程 （ s)=0的 所 有 有 意 义 的 解 都 在 一 条 直 线 上 。 这 点 已 经 对 于 开 始 的 1,500,000,000个 解 验 证 过 。 证 明 它 对 于 每 一 个 有 意
4、义 的 解 都 成 立 将 为 围 绕 素 数 分 布 的 许多 奥 秘 带 来 光 明 。 编 辑 本 段 理 论 形 成来 源 来 源几 千 年 前 人 类 就 已 知 道 2， 3， 5， 7， 31， 59， 97 这 些 正 整 数 。 除 了1 及 本 身 之 外 就 没 有 其 他 因 子 ， 他 们 称 这 些 数 为 素 数 （ 或 质 数 Prime number） ， 希 腊 数 学 家 欧 几 里 德 证 明 了 在 正 整 数 集 合 里 有 无 穷 多 的 素 数 ， 他是 用 反 证 法 证 明 、 （ 读 者 可 以 参 看 拙 著 ： 数 学 和 数 学 家
5、的 故 事 第 一 集里 这 个 证 明 。 ） 1730 年 ， 欧 拉 在 研 究 调 和 级 数 ： 1/n=1+1/2+1/3+.+1/n.。 (1) 时 ， 发 现 ： 1/n=(1+1/2+1/22+.)(1+1/3+1/32+.)(1+1/5+1/52+.)= (1-1/p)-1。 (2) 其 中 ， n 过 所 有 正 整 数 ， p 过 所 有 素 数 ， 但 稍 加 改 动 便 可 以 使 其 收 敛 ，将 n 写 成 ns(s1),即 可 。 如 果 黎 曼 假 设 正 确 ： （ x)=Li(x)+O(x1/2*logx).。 (3) 证 明 了 上 式 ， 即 证 明
6、 了 黎 曼 猜 想 。 为 什 么 ： 1/(1-1/P)=1/(1-1/2)1/(1-1/3)1/(1-1/5).= 1/n=1+1/2+1/3+1/4+,。 (4) 因 为 ： 1/(1-r)=1+r+r2+r3+r4+。 （ 5） 所 以 ： 1/(1-1/2)=1+1/2+(1/2)2+(1/2)3+(1/2)4+ 1/(1-1/3)=1+1/3+(1/3)2+(1/3)3+(1/3)4+ 1/(1-1/5)=1+1/5+(1/5)2+(1/5)3+(1/5)4+. . 右 端 所 有 第 一 项 的 “1”相 乘 得 到 ： “1”； 右 端 第 一 行 1/2 与 其 它 行 第
7、 一 项 的 “1”相 乘 得 到 “1/2“; . 把 所 有 加 起 来 就 是 ： 1+1/2+1/3+1/4+ 在 证 明 素 数 定 理 的 过 程 中 ， 黎 曼 提 出 了 一 个 论 断 ： Zeta 函 数 的 零 点 都在 直 线 Res(s) = 1/2 上 。 他 在 作 了 一 番 努 力 而 未 能 证 明 后 便 放 弃 了 ， 因 为这 对 他 证 明 素 数 定 理 影 响 不 大 。 但 这 一 问 题 至 今 仍 然 未 能 解 决 ， 甚 至 于 比 此假 设 简 单 的 猜 想 也 未 能 获 证 。 而 函 数 论 和 解 析 数 论 中 的 很 多
8、 问 题 都 依 赖 于黎 曼 假 设 。 在 代 数 数 论 中 的 广 义 黎 曼 假 设 更 是 影 响 深 远 。 若 能 证 明 黎 曼 假 设 ，则 可 带 动 许 多 问 题 的 解 决 。 黎 曼 函 数黎 曼 在 1858 年 写 的 一 篇 只 长 8 页 关 于 素 数 分 布 的 论 文 ， 就 在 这 论 文 里他 提 出 了 有 名 的 黎 曼 猜 想 （ Riemanns Hypoth-esis） 。 这 猜 想 提 出 已 有 一 百 多 年 了 ， 许 多 有 名 的 数 学 家 曾 尝 试 去 证 明 ， 就 像 喜欢 爬 山 的 人 希 望 能 爬 上 珠
9、 穆 朗 玛 峰 一 样 因 为 它 的 顶 峰 非 常 困 难 到 达 ，目 前 已 有 人 登 上 这 世 界 高 峰 ， 可 是 却 没 有 人 能 证 明 这 猜 想 ！ 那 么 这 个 让 上 帝如 此 吝 啬 的 黎 曼 猜 想 究 竟 是 一 个 什 么 样 的 猜 想 呢 ？ 在 回 答 这 个 问 题 之 前 我们 先 得 介 绍 一 个 函 数 ： 黎 曼 函 数 。 这 个 函 数 虽 然 挂 着 黎 曼 的 大 名 ， 其 实 并 不 是 黎 曼 首 先 提 出 的 。 但 黎 曼 虽 然 不 是 这 一 函 数 的 提 出 者 ， 他 的工 作 却 大 大 加 深 了
10、 人 们 对 这 一 函 数 的 理 解 ， 为 其 在 数 学 与 物 理 上 的 广 泛 应用 奠 定 了 基 础 。 后 人 为 了 纪 念 黎 曼 的 卓 越 贡 献 ， 就 用 他 的 名 字 命 名 了 这一 函 数 。 那 么 究 竟 什 么 是 黎 曼 函 数 呢 ？ 黎 曼 函 数 (s) 是 级 数 表 达 式 (n 为 正 整 数 ) (s) = n n-s (Re(s) 1) 在 复 平 面 上 的 解 析 延 拓 。 之 所 以 要 对 这 一 表 达 式 进 行 解 析 延 拓 ， 是因 为 - 如 我 们 已 经 注 明 的 - 这 一 表 达 式 只 适 用 于
11、 复 平 面 上 s 的 实 部 Re(s) 1 的 区 域 (否 则 级 数 不 收 敛 )。 黎 曼 找 到 了 这 一 表 达 式 的 解 析 延 拓 (当 然 黎 曼 没 有 使 用 “解 析 延 拓 ” 这 样 的 现 代 复 变 函 数 论 术 语 )。 运 用 路径 积 分 ， 解 析 延 拓 后 的 黎 曼 函 数 可 以 表 示 为 ： 这 里 我 们 采 用 的 是 历 史 文 献 中 的 记 号 ， 式 中 的 积 分 实 际 是 一 个 环 绕 正实 轴 (即 从 + 出 发 ， 沿 实 轴 上 方 积 分 至 原 点 附 近 ， 环 绕 原 点 积 分 至 实轴 下
12、方 ， 再 沿 实 轴 下 方 积 分 至 + - 离 实 轴 的 距 离 及 环 绕 原 点 的 半 径 均趋 于 0) 进 行 的 围 道 积 分 ； 式 中 的 函 数 (s) 是 阶 乘 函 数 在 复 平 面上 的 推 广 ， 对 于 正 整 数 s1： (s)=(s-1)!。 可 以 证 明 ， 这 一 积 分 表达 式 除 了 在 s=1 处 有 一 个 简 单 极 点 外 在 整 个 复 平 面 上 解 析 。 这 就 是 黎 曼 函 数 的 完 整 定 义 。 运 用 上 面 的 积 分 表 达 式 可 以 证 明 ， 黎 曼 函 数 满 足 以 下 代 数 关 系 式 ：
13、(s) = 2 (1-s)(2 )s-1sin( s/2) (1-s) 从 这 个 关 系 式 中 不 难 发 现 ， 黎 曼 函 数 在 s=-2n (n 为 正 整 数 ) 取值 为 零 - 因 为 sin( s/2) 为 零 注 三 。 复 平 面 上 的 这 种 使 黎 曼 函数 取 值 为 零 的 点 被 称 为 黎 曼 函 数 的 零 点 。 因 此 s=-2n (n 为 正 整 数 ) 是 黎 曼 函 数 的 零 点 。 这 些 零 点 分 布 有 序 、 性 质 简 单 ， 被 称 为 黎 曼 函 数 的 平 凡 零 点 (trivial zeros)。 除 了 这 些 平 凡
14、 零 点 外 ， 黎 曼 函 数 还 有 许 多 其 它 零 点 ， 它 们 的 性 质 远 比 那 些 平 凡 零 点 来 得 复 杂 ， 被 称为 非 平 凡 零 点 (non-trivial zeros) 。 对 黎 曼 函 数 非 平 凡 零 点 的 研究 构 成 了 现 代 数 学 中 最 艰 深 的 课 题 之 一 。 我 们 所 要 讨 论 的 黎 曼 猜 想 就 是 一个 关 于 这 些 非 平 凡 零 点 的 猜 想 ， 在 这 里 我 们 先 把 它 的 内 容 表 述 一 下 ， 然后 再 叙 述 它 的 来 笼 去 脉 ： 黎 曼 猜 想黎 曼 函 数 的 所 有 非
15、平 凡 零 点 都 位 于 复 平 面 上 Re(s)=1/2 的 直 线 上 。在 黎 曼 猜 想 的 研 究 中 ， 数 学 家 们 把 复 平 面 上 Re(s)=1/2 的 直 线 称 为 critical line。 运 用 这 一 术 语 ， 黎 曼 猜 想 也 可 以 表 述 为 ： 黎 曼 函 数的 所 有 非 平 凡 零 点 都 位 于 critical line 上 。 这 就 是 黎 曼 猜 想 的 内 容 ， 它 是 黎 曼 在 1859 年 提 出 的 。 从 其 表 述 上看 ， 黎 曼 猜 想 似 乎 是 一 个 纯 粹 的 复 变 函 数 命 题 ， 但 我 们
16、 很 快 将 会 看 到 ， 它 其 实 却 是 一 曲 有 关 素 数 分 布 的 神 秘 乐 章 。 素 数 分 布公 元 前 300 年 ， 古 希 腊 数 学 家 欧 几 里 得 就 发 现 了 数 论 的 本 质 是 素 数 ， 他自 己 证 明 了 有 无 穷 多 个 素 数 ， 公 元 前 250 年 古 希 腊 数 学 家 埃 拉 托 塞 尼 发 明了 一 种 筛 法 ： （ 一 ） “要 得 到 不 大 于 某 个 自 然 数 N 的 所 有 素 数 ， 只 要 在 2-N 中 将不 大 于 N 的 素 数 的 倍 数 全 部 划 去 即 可 。 ”（ 沈 康 身 自 然 杂
17、 志 1991 年11 期 ） 。 後 来 人 们 （ 二 ） 将 上 面 的 内 容 等 价 转 换 ： “如 果 N 是 合 数 ， 则 它 有 一 个 因 子 d满 足 10.3474N（ T） 。 1980 年 中 国 数 学 家 楼 世 拓 、 姚 琦 对 莱 文 森 的 工 作 有 一 点 改 进 ， 他 们 证明 了 No（ T） 0.35N（ T） 。黎曼猜想由数学家 波恩哈德黎曼（1826-1866）于 1859 年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题。多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。它对业余数学家的吸引力，比对专业数学家更强烈。数学中未解决的问题: 黎
18、曼 函数的每个非平凡零点的实部是否同为 ？黎曼猜想（RH）是关于 黎曼 函数 ( s)的零点分布的猜想。 黎曼 函数在任何复数s 1 上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当 s = 2, s = 4, s = 6, .）。这些零点是“平凡零点”。黎曼猜想关心的是非平凡零点。黎曼猜想提出：黎曼 函数非平凡零点的实数部份是即所有的非平凡零点都应该位于直线 + ti（“临界线”）上。 t 为一实数，而 i 为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼 函数有时通过 Z-函数进行研究。它的实零点对应于 函数在临界线上的零点。素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的
19、规律。黎曼（1826-1866）发现素数出现的频率与 黎曼 函数紧密相关。1901 年 Helge von Koch 指出，黎曼猜想与强条件的素数定理等价。现在已经验证了最初的 1,500,000,000 个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部份数学家也相信黎曼猜想是正确的（ 约翰恩瑟李特尔伍德与塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在 1989 年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。）克雷数学研
20、究所设立了$1,000,000 美元的奖金给予第一个得出正确证明的人。历史黎曼 函数在临界线 Re(s) = 1/2 上的实部（红色）和虚部（蓝色） 。我们可以看到最起初的几个非平凡零点就位于 Im(s) = 14.135, 21.022 和25.011 上。黎曼 函数实部与虚部的数值比较图，也就是 Re(s) vs. Im(s) ，沿着临界线 s = it + 1/2， t 由 0 到 34黎曼 1859 年在他的论文 ber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gre 中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图
21、给出证明。黎曼知道 函数的不平凡零点对称地分布在直线 s = + it 上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域 0 Re( s) 1 中。1896 年， 雅克阿达马和 Charles Jean de la Valle-Poussin 分别独立地证明了在直线 Re(s) = 1 上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域 0 0，我们有式中 ( x)为素数计数函数，ln( x)为 x 的自然对数，以及右手边用上了 大 O 符号 1。一个由 Lowell Schoenfeld 提出的非近似版本，表示黎曼猜想等价于。黎曼 函数的零点与素数满足一
22、个称为明确公式的对偶性，这表明了：在调和分析的意义下，黎曼 函数的零点可视为素数分布的谐波。将黎曼 函数代为更一般的 L-函数，此时仍有相应的猜想：整体 L-函数的非平凡零点的实部必等于 1 / 2。这被称为广义黎曼猜想。函数域上的广义黎曼猜想已被证明，数域的情形仍悬而未决。编辑 黎曼猜想之结果及其等价命题黎曼猜想的实际用途包括一些在黎曼猜想成立前提底下能被证明为真的命题，当中有些更被证明了跟黎曼猜想等价。其中一个就是以上素数定理误差项的增长率。编辑 默比乌斯函数的增长率其中一个命题牵涉了默比乌斯函数 。命题“等式在 s 的实部大于的时候成立，而且右边项的和收敛”就等价于黎曼猜想。由此我们能够
23、总结出假如 Mertens 函数的定义为那黎曼猜想就等价于对任何 都有，这将会对于 M 的增长给出了一个更紧的限制，因为即使没有黎曼猜想我们也能得出（关于这些符号的意思，见 大 O 符号。）编辑 积性函数增长率黎曼猜想等价于一些除 ( n)以外一些积性函数增长率的猜想。例如，因子函数 ( n)由下式给出：那在 n 5040 的时候，(n ) 0 成立哈代稍后于 1918 年以波莱尔求和法及梅林变换证明了下式的积分表法。其它相关的积性函数的增长率也具有与黎曼猜想等价的表述。考虑二项式系数和，Bez-Duarte34与 Flajolet、Brigitte Valle 5证明了黎曼猜想等价于对所有的
24、 0 下式成立。类似的还有以下级数。对此。Flajolet 与 Vepstas 6证明了黎曼猜想等价于对所有的 0 下式成立| dn | ”等价于黎曼猜想。在这里 是法里数列中 n 阶项的数目。类似地等价于黎曼猜想的命题是“给出任何 e 1.”编辑 跟群论的关系黎曼猜想等价于群论中的一些猜想。举例说， g（ n），是对称群 Sn的所有元素的秩之中，最大的一个，也就是兰道函数，则黎曼猜想等价于：对够大的 n，下式成立：。编辑 与埃拉托斯特尼筛法的关系参见埃拉托斯特尼筛法，黎曼猜想的素数公式直接来源于埃拉托斯特尼筛法的过程。编辑 临界线定理黎曼猜想等价于命题“( s)的导函数 ( s)在区域上无零
25、点。” 函数 在临界线上只有单零点的充要条件是其导函数在临界线上非零。所以若黎曼猜想成立，命题中的非零区域可以延伸为 。这条进路带来了一些成果。Norman Levinson 将此条件加细，从而得到了较强的临界线定理。编辑 已否证的猜想一些比黎曼猜想强的猜想曾被提出，但它们有被否证的趋势。Paul Turan 证明了假如级数当 s 大于 1 时没有零点，则黎曼猜想成立，但 Hugh Montgomery 证明了这前提并不成立。另一个更强的梅滕斯猜想也同样被否证。编辑 相对弱的猜想编辑 Lindelf 猜想黎曼猜想有各种比较弱的结果；其中一个是关于 函数于临界线上的增长速度的Lindelf 猜想
26、，表明了给出任意的 e 0，当 t 趋向无限，记第 n 个素数为 pn，一个由 Albert Ingham 得出的结果显示，Lindelf 猜想将推导出“给出任意 e 0，对足够大的 n 有pn+1 - pn p1/2+e,”不过这个结果比大素数间隙猜想弱，详如下述。编辑 大素数间隙猜想另一个猜想是大素数间隙猜想。 哈拉尔德克拉梅尔证明了：假设黎曼猜想成立，素数 p 与其后继者之间的间隙将会为 。平均来说，该间隙的阶仅为 O(lnp)，而根据数值计算结果，它的增长率并不似黎曼猜想所预测的那么大。编辑 证明黎曼猜想的尝试过去的一百多年，有很多数学家声称证明了黎曼猜想。截至 2007 年为止，尚有
27、一些证明还未被验证；但它们都被数学社群所质疑，多数专家并不相信它们是正确的。艾希特大学的 Matthew R. Watkins 为这些或是严肃或是荒唐的证明编辑了一份列表 7。其他一些证明可在 arXiv 数据库中找到。编辑 黎曼猜想证明的可能的着手方向由于黎曼猜想是有关 2 维变量（临界线（ critical line）上的虚数解和 黎曼 函数中的自然数变量 n）的问题，故不但要考虑在 2 维变量下的情况，似乎还可以从更高维数（例如 3 或 4 维甚至更高维）变量的情况下来考虑问题。另外，由于黎曼猜想从本质上来说是证明一个方程的非平凡的复数解必然是 1/2+bi 的形式（b 是实数，i 是虚
28、数单位），因此应该与代数学是密不可分的；就是说，代数几何、代数数论甚至代数拓扑等学科的知识是不可缺少的。如果能从上述几个分支学科之间找到新的联系，以及对这些分支学科有进一步的新发现，那可能可以为证明黎曼猜想打下基础，或为黎曼猜想的证明做好准备。编辑 与算子理论的可能联系主条目： 希尔伯特-波利亚猜想长久以来，人们猜测黎曼猜想的“正解”是找到一个适当的自伴算符，再由实特征值的判准导出 ( s)零点实部的资讯。在此方向上已有许多工作，却仍未有决定性的进展。黎曼 函数的统计学性质与随机矩阵的特征值有许多相似处。这为希尔伯特-波利亚猜想提供了一些支持。在 1999 年，Michael Berry 与
29、Jon Keating 猜想经典哈密顿函数 H = xp 有某个未知的量子化 ，使得下式成立更奇特的是，黎曼 函数的零点与算子 的谱相同。正则量子化的情形则相反：正则量子化引致海森堡测不准原理 x,p = 1 / 2，并使量子谐振子的谱为自然数。重点在于，所求的哈密顿算符应当是个闭自伴算符，方能满足希尔伯特-波利亚猜想之要求。编辑 搜寻 函数的零点 函数的绝对值。关于计算上找寻 函数零点越多越好的尝试，已经有一段很长的历史了。其中一个出名的尝试乃 ZetaGrid，一个分布式计算的计划，一天可检查上十亿个零点。这计划在2005 年 11 月终止。直至 2006 年，没有计算计划成功找到黎曼猜想
30、的一个反例。2004 年，Xavier Gourdon 与 Patrick Demichel 透过 Odlyzko-Schnhage algorithm验证了黎曼猜想的头十兆个非平凡零点。Michael Rubinstein 给了公众一个算法去算出零点。素数定理描述素数的大致分布情况。素数的出现规律一直困惑着数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数 x，定义 ( x)为不大于 x 的素数个数。数学家找到了一些函数来估计 ( x)的增长。以下是第一个这样的估计。其中 ln x 为 x 的自然对数。上式的意思是当 x 趋近，( x)与 x
31、/ln x 的比值趋近1。但这不表示它们的数值随着 x 增大而接近。下面是对 ( x)更好的估计：，当 x 趋近。其中 （对数积分），而关系式右边第二项是误差估计，详见 大 O符号。下表比较了 ( x)， x/ln x 和 Li(x)：x (x)1 (x) x / ln x2(x) / (x / ln x)li(x) (x) 3x / (x)10 4 0.3 0.921 2.2 2.500102 25 3.3 1.15 5.1 4.0001103 168 23 1.161 10 5.952104 1,229 143 1.132 17 8.137105 9,592 906 1.104 38 10
32、.425106 78,498 6,116 1.084 130 12.740107 664,579 44,158 1.071 339 15.047108 5,761,455 332,774 1.061 754 17.357109 50,847,534 2,592,592 1.054 1,701 19.6671010 455,052,511 20,758,029 1.048 3,104 21.9751011 4,118,054,813 169,923,159 1.043 11,588 24.2831012 37,607,912,018 1,416,705,193 1.039 38,263 26.5
33、901013 346,065,536,839 11,992,858,452 1.034 108,971 28.8961014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 1.033 314,890 31.2021015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1.031 1,052,619 33.5071016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 1.029 3,214,632 35.8121017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 1.027 7,95
34、6,589 38.1161018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 1.025 21,949,555 40.4201019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 1.024 99,877,775 42.7251020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 1.023 222,744,644 45.0281021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 1.022 597
35、,394,254 47.3321022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1.021 1,932,355,208 49.6361023 1,925,320,391,606,803,968,9 37,083,513,766,578,631,3 1.02 7,250,186,21 51.93923 09 0 6素数定理可以给出第 n 个素数 p（ n）的渐近估计：它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于 n 的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是 1/ln n。这定理的式子于 1798 年法国数学家勒让德提出。 1896
36、年法国数学家 雅克阿达马和比利时数学家 Charles Jean de la Valle-Poussin 先后独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是 黎曼 函数。因为黎曼 函数与 ( x)关系密切，关于黎曼 函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901 年瑞典数学家 Helge von Koch 证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为至于大 O 项的常数则还未知道。编辑 初等证明素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明于 1949 年由匈牙利数学家保罗艾狄胥和挪威数学家 阿特利西尔伯格合作得出。在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的“深度”。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。
