1、1有关圆的经典例题1. 在 半 径 为 的 中 ， 弦 、 的 长 分 别 为 和 ， 求 的 度 数 。132OABCBAC2. 如图：ABC 的顶点 A、B 在O 上，O 的半径为 R，O 与 AC 交于 D，如 果 点 既 是 的 中 点 ， 又 是 边 的 中 点 ，D（1）求证：ABC 是直角三角形；()22求 的 值ABC3. 如图，在O 中，AB=2CD，那么（ ）ABCDBACD. .22与 的 大 小 关 系 不 确 定4. 求 CD 的如 图 ， 四 边 形 内 接 于 半 径 为 的 ， 已 知 ，2OABCD14长。5. 如 图 ， 、 分 别 是 的 直 径 和 弦
2、， 为 劣 弧 上 一 点 ， ABCDAEAB于 H，交O 于点 E，交 AC 于点 F，P 为 ED 的延长线上一点。2（1）当PCF 满足什么条件时，PC 与O 相切，为什么？()2 2当 点 在 劣 弧 的 什 么 位 置 时 ， 才 能 使 ， 为 什 么 ？DACADEF6. 如 图 ， 四 边 形 是 矩 形 ， 以 为 直 径 作 半 圆 ， 过 点B()BCO12D 作半圆的切线交 AB 于 E，切点为 F，若 AE：BE=2：1，求 tanADE 的值。分析：要求 tanADE ，在 RtAED 中，若能求出 AE、AD ，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而 E
3、F=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到 ED 和 AE 的关系，进一步可求出AE：AD。解：四边形 ABCD 为矩形，BCAB，BCDCAB、DC 切O 于点 B 和点 C，DE 切O 于 F，DF=DC ，EF=EB，即 DE=DC+EB，又AE：EB=2：1，设 BE=x，则 AE=2x，DC=AB=3x ，DE=DC+EB=4x，在 RtAED 中，AE=2x，DE=4x， ADx23则 tanEx23点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。例 7. 已知O 1 与O 2 相交于 A、B 两点，且点 O2 在O 1 上，（1）如下图，AD 是O
4、 2 的直径，连结 DB 并延长交O 1 于 C，求证 CO2AD；3（2）如下图，如果 AD 是O 2 的一条弦，连结 DB 并延长交O 1 于 C，那么 CO2 所在直线是否与AD 垂直？证明你的结论。分析：（1）要证 CO2AD，只需证CO 2D=90，即需证D+C=90 ，考虑到 AD 是O 2 的直径，连结公共弦 AB，则A= C，DBA=90，问题就可以得证。（2）问题是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结 AC，直观上看，AC 等于 CD，到底AC 与 CD 是否相等呢？考虑到 O2 在O 1 上，连结 AO2、DO 2、BO 2，可得1=2，且有AO 2CDO2C，故 CA
5、=CD，可得结论 CO2AD。解：（1）证明，连结 AB，AD 为直径，则ABD=90 D+BAD=90又BAD=C，D+C=90CO 2D=90，CO 2AD（2）CO 2 所在直线与 AD 垂直，证明：连结 O2A、O 2B、O 2D、AC在AO 2C 与DO 2C 中 ， ， 212O 2BD=O 2AC，又O 2BD=O 2DB，O 2AC=O 2DBO 2C=O2C，AO 2C DO2C，CA=CD，CAD 为等腰三角形，CO 2 为顶角平分线，CO 2AD 。例 8. 如 下 图 ， 已 知 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 a， 分 别 为 A、 B、 C 为 圆 心 ，以
6、 为 半 径 的 圆 相 切 于 点 、 、 ， 求 、 、 围 成 的 图 形 面aOO1231231积 S。（图中阴影部分）4分析：阴影部分面积等于三角形面积减去 3 个扇形面积。解： SaSaABC 扇， 3462822() 阴 82此 题 可 变 式 为 如 下 图 所 示 ， 、 、 两 两 不 相 交 ， 且 它 们 的 半 径 都ABC为 ， 求 图 中 三 个 扇 形 阴 影 部 分 的 面 积 之 和 。a2()分 析 ： 因 三 个 扇 形 的 半 径 相 等 ， 把 三 个 扇 形 拼 成 一 个 扇 形 来 求 ， 因 为 A+ B+ C=180，因 而 三 个 扇 形
7、 拼 起 来 正 好 是 一 个 半 圆 ， 故 所 求 图 形 面 积 为 ，2a原题可在上一题基础上进一步变形：A 1、A 2、A 3A n 相外离，它们的半径都是 1，顺次连结 n 个圆心得到的 n 边形 A1A2A3An，求 n 个扇形的面积之和。解题思路同上。解： ()一、填空题（104=40 分）1. 已知：一个圆的弦切角是 50，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为_。2. 圆内接四边形 ABCD 中，如果A：B ：C=2 ：3：4，那么D=_ 度。3. 若O 的半径为 3，圆外一点 P 到圆心 O 的距离为 6，则点 P 到O 的切线长为_。4. 如图所示 CD 是O 的
8、直径， AB 是弦，CDAB 于 M，则可得出 AM=MB， 等多个结ACB论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：_。55. O 1 与O 2 的半径分别是 3 和 4，圆心距为 ，那么这两圆的公切线的条数是_。36. 圆柱的高是 13cm，底面圆的直径是 6cm，则它的侧面展开图的面积是_。7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度 AB=16cm，拱高 CD=4cm，那么拱形的半径是_。8. 若 PA 是O 的切线，A 为切点，割线 PBC 交O 于 B，若BC=20，PA= ，则 PC 的长为 _。1039如图 5， 内接于O，点 是 上任意一点（不与 重合），ABCPCCA、的取
9、值范围是 O则,10如图，量角器外沿上有 A、 B 两点，它们的读数分别是 70、40，则1 的度数为 .11已知 的半径是 3，圆心 O 到直线 l 的距离是 3，则直线 l 与 的位置关系是 A OA12如图，已知点 E 是圆 O 上的点， B、 C 分别是劣弧 D的三等分点， 46BC，则 D的度数为 （第 9 题图）O613如图， RtABC 中 90， 4AC， 3B将 AC 绕 所在的直线f旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积 （ 取 3.14，结果保留两个有效数字）14如图 8，两个同心圆的半径分别为 2 和 1， ，则阴影部分的面积为 oO2015如图， AB是 O的直径，
10、 AM为弦， 30B，过 M点的 OA的切线交 B延长线于点 N若 12cm，则 的半径为 cm16如图， RtC 是由 t 绕 点顺时针旋转而得，且点 C， ， 在同一条直线上，在 t 中，若 90 ， 2， 4，则斜边 旋转到 所扫过的扇形面积为 17如图，从圆 O 外一点 P引圆 O 的两条切线 PAB， ，切点分别是 AB， ，若 8cmP， C是AB上的一个动点（点 C与 B， 两点不重合），过点 C作圆 O 的切线，分别交 ， 于点DE，则 的周长是 18、在平面内，O 的半径为 5cm，点 P 到圆心 O 的距离为 3cm，则点 P 与O 的位置关系是 .19如图 8，在 RtA
11、 中， 903A， 将其绕 B点顺时针旋转一周，则分别以B，为半径的圆形成一圆环则该圆环的面积为 20如图 9，点 B， 是 上两点， 1B，点 是 上的动点（ 与 AB， 不重合）连结 P， ，过点 O分别作 EP于点 ， FP于点 ，则 EF 第 14 题图fAB C图 8AOB120oAOBNMCBA A（15 题图）OADPE BC（第 17 题图）ACB图 8AEOF BP图 97三、解答题：1. 已知：如图所示， O 1 和 O 2 相交于 A、B 两点，过 B 点作O 1 的切线交O 2 于 D，连结 DA 并延长与O 1 相交于 C 点，连结 BC。过 A 点作 AEBC 与O
12、 2 相交于 E 点，与 BD 相交于 F 点。（1）求证：EFBC=DEAC；（2）若 AD=3，AC=1，AF ，求 EF 的长。32. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。3. 已知： ABC 是O 的内接三角形， BT 为O 的切线，B 为切点，P 为直线 AB 上一点，过点 P 作BC 的平行线交直线 BT 于点 E，交直线 AC 于点 F。（1）如图所示，当点 P 在线段 AB
13、上时，求证：PA PB=PEPF；（2）当点 P 为线段 BA 延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）若 AB ，求O 的半径。4213， cosEBA4如图， 是 的内接三角形，点 是优弧 上一点（点 不与 重合），设ABC CBCAB， （1）当 时，求 的度数；（ 2）猜想 与 之间的关系，并给O5予证明5、（分）已知：如图，在 ABC 中， AB=AC，以 BC 为直径的半圆 O 与边 AB 相交于点 D，切线 DE AC，垂足为点 EADB O CE8CA BEFM N图CA BEFM N图求证：（1） ABC 是等边三角形；（2）
14、 CEA316、已知：如图，在 中， ，点 在 上，以 为圆心， 长为半径的圆与RtBC 90OBOA分别交于点 ，且 AC， DE，（1）判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论；OA（2）若 ， ，求 的长:8:527、如图，在梯形 ABCD 中， AB CD， O 为内切圆， E 为切点，（）求 AOD的度数；（）若 8Acm， 6Dcm，求 OE 的长8、已知 Rt ABC 中， 90CB， CB，有一个圆心角为 45，半径的长等于 CA的扇形CEF绕点 C 旋转，且直线 CE， CF 分别与直线 交于点 M， N（）当扇形 绕点 C 在 的内部旋转时，如图，求证： 22BN；（）当扇
15、形 CEF 绕点 C 旋转至图的位置时，关系式 2A是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由9如图， BC 内接于 O，过点 的直线交 OA于点 P，交的延长线于点 D， 2P（1）求证：A；（2）如果 60A， 的半径为 1，且 为C的中点，求 的长10(本题满分 10 分)已知：如图，在半径为 4 的 O 中， AB， CD 是两条直径， M 为 OB 的中点， CM 的延长线交 O 于点 E，且 EM MC连结 DE， DE= .15(1) 求证： ；(2) 求 EM 的长；AMBCDCOA BE9（3）求 sinEOB 的值.11（本题满分 10 分，第（1）小题满分 3 分
16、，第（2）小题满分 7 分）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7 所示）已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆 的半径 所在的直线为对称轴OC的轴对称图形， 是 与圆 的交点AOD（1）请你帮助小王在图 8 中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆 的半径 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中 是坡面 的坡度）Or 1:0.75iCE，求 的值r12已知，如图，直线 MN交 OA于 B， 两点， AC是直径， D平分 CAM交 O于 D，过 D作 E于 （1）求证： 是 的切线；（2）若 6cm， 3cm，求 的半径图 7OCAD E H图 8第 12 题图COBADM E N
