1、快乐学习，学习快乐 xyz1基本不等式与对勾函数一、 对勾函数 的图像与性质byax)0,(性质：1. 定义域： ),0(),(2. 值域： ,2,ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即 0)(xf4. 图像在一、三象限当 时，由基本不等式知 （当且仅当 取等号） ，0xbyax2bxa即 在 x= 时，取最小值)(xf a由奇函数性质知：当 x0 时， 在 x= 时，取最大值)(xfabb25. 单调性：增区间为（ ） ， （ ）,减区间是（0， ） ， （ ,0）ab快乐学习，学习快乐 xyz2一、对勾函数的变形形式类型一：函数 的图像
2、与性质byax)0,(此函数与对勾函数 关于原点对称，故函数图像为xb(性质：类型二：斜勾函数 byax)0( 作图如下0,ba性质： 作图如下：0,ba快乐学习，学习快乐 xyz3类型三：函数 )0()(2acxbf此类函数可变形为 ，则 可由对勾函数 上下平移得到f xf xcay例 1 作函数 的草图xf1)(2解： 作图如下：)()(2xfxf类型四：函数 )0,()(kaxf此类函数可变形为 ，则 可由对勾函数 左右平移，)(xf xay上下平移得到例 2 作函数 的草图21)(xf解： 作图如下：21)(xfx例 3 作函数 的作图：xxf23)(解： 12212)( xxf练习：
3、 1.求函数 在 上的最低点坐标421)(xf ),(快乐学习，学习快乐 xyz42. 求函数 的单调区间及对称中心1)(xf类型五：函数 )0,()(2baxf此类函数定义域为 ，且可变形为Rxbaxf2a.若 ，则 的单调性和对勾函数 的单调性相反，图像如下：0)(xf y性质：1定义域： ),(2. 值域： 21,ba3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即 0)(xf4. 图像在一、三象限当 时，由基本不等式知 （当且仅当 取等号） ，0x baxf2)(bx即 在 时，取最大值)(xfbba2由奇函数性质知：当 x0 时， 在 x
4、= 时，取最小值)(xf5. 单调性：减区间为（ ） ， （ ）,bb,快乐学习，学习快乐 xyz5增区间是 ,b例 4 作函数 的草图1)(2xf解： xxff 1)(22 b. 若 ，作出函数图像：0a例 5 作函数 的草图42)(xf类型六：函数 )0()(2amxcbf此类函数可变形为 ，)0()()(2 atsmxtatxsf则 可由对勾函数 左右平移，上下平移得到)(xf taxy例 6 说明函数 由对勾函数 如何变换而来1)(2f xy1解： )(2 xxxf故 此函数 可由对勾函数 向 （填“ 左” 、 “右” ）平移 单fy1位，向 （填“上” 、 “下” ）平移 单位.草图
5、如下：快乐学习，学习快乐 xyz6练习：1.已知 ，求函数 的最小值1x107)(2xf2.已知 ，求函数 的最大值x9)(2xf类型七：函数 )0()(2acbxamxf例 7 求函数 在区间 上的最大值12f ),1(解：当 时，1x0)(当 时， 3141)(3)(4)1(3)( 22 xxxf问：若区间改为 则 的最大值为 ),4(xf练习：1.求函数 在区间 上的最大值23)(xf ),0类型八：函数 axbf)(此类函数可变形为标准形式： )0()( abxaxbaf例 8 求函数 的最小值13)(xf解： 144)( xxf快乐学习，学习快乐 xyz7练习： 1求函数 的值域15)(xf2.求函数 的值域32)(xf类型九：函数 )0()(2axbf此类函数可变形为标准形式： )()() 222 oabxaxxf 例 9 求函数 的最小值45)(2f解： )(2xf 4141)( 222 xxf练习：1. 求函数 的值域17)(2xf例 10 已知 的最小值。210,xaa求 函 数 y=解：2221xxay令 t= ( ),则2at1ty=当 即 时，1amin当 即 时，a02iy
