1、 学而优*数学1第十三章轴对称 （一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
2、。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 （2）轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称 联系： 1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。 线段的垂直平分线 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线
3、） 学而优*数学2（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 （证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合 （四）用坐标表示轴对称 1、点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（-x，y）2、点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，-y）； (五）关于坐标轴夹角平分线对称 点 P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 yx 对称的点的坐标是（y，x） 点 P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 yx 对称的点的坐标是（y，x） (六）关于平行于坐标轴的直线对称
4、 点 P（x，y）关于直线 xm 对称的点的坐标是（2mx，y）； 点 P（x，y）关于直线 yn 对称的点的坐标是（x，2ny）； （七）等腰三角形 等腰三角形性质： 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. （8）等边三角形 1、定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 2、性质和判定： （1）等边三角形的三个内角都相等，并 且每一个角都等于 60。 学而优*数学3
5、（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形。 （4）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （九）其他结论 （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：三线合一；过中点做平行线考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识典例 1下列几何图形中， 线段 角 直角三角形 半圆，其中一定是轴对称图形的有（ ） 1 2 3 4A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2图 9-19 中，轴对称图形的个数是（ ）A4
6、 个 B3 个 C2 个 D1 个3正 n 边形有_条对称轴，圆有_条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的_、_完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_的对称点（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴_关于坐标轴对称点 P（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标是（x，-y）点 P（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标是（-x，y）考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形典例：1、如图，RtABC，C=90,B=30,BC=8，D 为 AB 中点，P 为 BC 上一动点，连接 AP、DP,则 AP+DP 的最小值是 2、
7、已知等边 ABC，E 在 BC 的延长线上，CF 平分DCE，P 为射线 BC 上一点，Q 为 CF 上一点，连接 AP、PQ.学而优*数学4图2QCAB EFPED CBA若 AP=PQ，求证APQ 是多少度考点四、线段垂直平分线的性质典例 1、如图，ABC 中，A=90，BD 为ABC 平分线，DEBC，E 是 BC 的中点，求C 的度数。2、 如图，ABC 中，AB=AC，PB=PC，连 AP 并延长交 BC 于 D，求证：AD 垂直平分 BC3、如图,DE 是 ABC 中 AC 边的垂直平分线，若 BC=8 厘米，AB=10 厘米，则EBC 的周长为（ ）A.16 厘米 B.18 厘米
8、 C.26 厘米 D.28 厘米4、 如图，BAC=30，P 是BAC 平分线上一点，PM AC，PDAC，PD=28 , 则 AM= 5、如图，在 RtABC 中，ACB = 90，BAC 的平分线交 BC 于 D. 过 C 点作CGAB 于 G，交 AD 于 E. 过 D 点作 DFAB 于 F.下列结论：CED=CDE； AECS G A；ADF=2ECD ； DFBCES；CE=DF. 其中正确结论的序号是( )A B C D考点五、等腰三角形的特征和识别典例 1、如图，ABC 中，AB=AC=8，D 在 BC 上，过 D 作 DE AB 交 AC 于 E，DFAC交 AB 于 F，则
9、四边形 AFDE 的周长为_ 。2、 如图，ABC 中，BD、CD 分别平分ABC 与ACB，EF 过 D且 EFBC，若 AB = 7，BC = 8，AC = 6，则AEF 周长为( )A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40，则它的一个底角的度数是_4、已知，在ABC 中，ACB=90，点 D、E 在直线 AB 上，且 AD=AC，BE=BC，则DCE = 度.B D CAPMDA CPBCEBDAFE DAB CFEDC BAG学而优*数学5A B DCFCDBEA5、如图：在ABC 中，AB=AC，ADBC， DEAB 于点
10、E, DFAC 于点 F。试说明 DE=DF。6、如图,E 在ABC 的 AC 边的延长线上，D 点在 AB 边上，DE 交 BC 于点 F，DF=EF，BD=CE.求证：ABC 是等腰三角形.考点六、等边三角形的特征和识别典例 1、下列推理中，错误的是 ( )AABC，ABC 是等边三角形BABAC，且BC，ABC 是等边三角形CA60，B60，ABC 是等边三角形DABAC，B60，ABC 是等边三角形2、如图，等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且 CECD，DMBC，垂足为 M。求证：M 是 BE 的中点。考点七、30所对的直角边是斜边的一半1、如
11、图，是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC、DE 垂直于横梁 AC，AB=8m，A=30，则 DE 等于（ ）A1m B2m C3m D4m2、如图：ADC 中，A = 15，D=90，B 在 AC 的垂直平分线上，AB =34，则 CD = ( )A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对 3、如图，AB=AC，DEAB 于 E，DFAC 于 F，BAC=120 o，BC=6，则 DE+DF= 甲EDBAFEDCBAAB CDEMFE CBAD第 4 题图学而优*数学6FECBA4、在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 如果 ，ABC 120A， BBCDBE1D求 的长
