生活中的轴对称.doc

1、1第 5 章 生活中的轴对称第 1、 2 节 轴对称现象和探索轴对称的性质知识点聚焦1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做该图形的对称轴.注：（1）轴对称图形是一个图形，且这个图形被对称轴分成的两部分，对折后能 够重合.（2）对称轴是一条直线，不是线段，也不是射线.（3）一个轴对称图形的对称轴可以有 1 条，也可以有多条.（但至少有 1 条）（4）常见的轴对称图形：线段、角、等腰三角形、菱形、长方形、圆等。2.成轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形成轴对称，这条直线就是这两个图

2、形的对称轴.注：（1）两个图形成轴对称是指两个图形之间的形状和位置关系.（2）全等的两个图形不一定成轴对称，成轴对称的两个图形一定全等.3.轴对称图形与成轴对称的区别、联系与应用（1）区别： 轴对称图形是一个图形，成轴对称涉及两个图形； 轴对称图形 是说一个具有特殊形状的图形，成轴对称是说两个图形的位置关系；轴对称图形的对应点在同一个图形上，成轴对称的对应点，分别在两个图形上；轴对称图形不一定只有一条对称轴，成轴对称的两个2图形只有一条对称轴.（2）联系： 都是沿某直线翻折后能够互相重合；如果把成轴对称的两个图 形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形，反之，如果把轴对称图形沿着对称轴分成两部

3、分，那么这两部分就是关于这条对称轴成轴对称.（3）应用： 在数学里利用轴对称主要是求最短距离，证明线段相等，角度相等，图形全等。其他方面如桌球路线、光线入射反射等情况。4.轴对称的性质（1）关于某直线对称的两个图形是全等形.（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分.（3）如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段（对应的中线、高线、角平分线等）相等，对应角相等.（4）对应点的连线互相平行（或在同一直线上）.注：（1）如何判断轴对称图形上的对应点和对应线段.判断两个点是不是对应点：判断的标准是连接两个对应点的线段被对称轴垂直平分. 若找到了对应点，则对应线段自然就找到

4、了.（2）轴对称的应用利用轴对称可以解决线段之和最小的问题.将军饮马 建桥问题( 要求桥垂直两岸) 1lA3方法：作 点关于直线 的对称点 ， 方法：作 ，使 ，连结A1lA 2lBCd交 于点 ，作 交1lD1lE于点 ， 即为建桥位置. 2l5.利用轴对称性质作图（1）求作对称轴 （2）求作与已知图形成轴对称的图形 典型例题连接 交 于点 ,点 即 BP所找的位置.方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是它的对称轴.方法：确定代表已知图形的关键点；分别作出这些关键点关于对 称轴的对应点；根据已知图形连接这些对应点.l例 1.4数的运算中会

5、有一些有趣的对称现象，比如“ 的金字塔” ，你能发现其中的规律吗？按你发现1的规律把下面的式子补充完整.；12；3；124；.21分析：观察可知32112 nn个下图是由小正方形组成的“ ”图案，请你在图中添一个小正方形，使它变成轴对称图形，L要求用三种方法.分析：要想添加图形使原图变成轴对称图形，首先要确定对称轴.如下图所示，需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到 , 两个城市的距离之和AB最小，请作出机场的位置.分析：利用轴对称图形的性质可作 关于公路的对称点 ，连接 ，与公路的交点就是点A的位置.P解：如图，点 就是飞机场所在的位置.P例 2.图A例 3.5如下图所示，正方形纸片

6、的边长为 ，将其沿 折叠，则图中 四个三角ABCD8EF形的周长之和为多少？分析：折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称，因此 ， ， ，于是图中EBCF四个三角形的周长之和正方形的周长.正方形的周长为 .3248如下图所示，在 中， ， ，将 向 方向折叠，使点 落在ABCRt903ABCAC上的 处，折痕为 ，请你探究 与 有什么样的关系？并说明理由.BACEE分析：折叠后 和 是以 为对称轴的两个三角形，以此为突破口得到 ，再由 ，CB30A可以得到 ，则 .CEA解： ，理由如下：因为 与 关于 对称，所以 ， .BCEB例 4.例 5.6在 中， ，所以 .ABCRt30 60390AC

7、所以 .所以 .6E6BEA所以 .所以 .如下图所示，已知 内一定点 ，试在 上各找一点 ， ,使得 的周AOBPOBA,MNP长最短.分析：利用“两点之间，线段最短”的原理，通过轴对称找到对应的点，就可以找出满足最小值的点. 解：如图所示，作点 关于 的pOBA,对应点 ,连接 ，分别交 于点 .利用轴对称的性质可得 ,21P21,NM, MP1,所以 的周长为 .因为 是定点，两点之间，线N2M NPP2121,段最短，所以 最小，即图 中的点 即为所求的点.N21,已知 小于 ， 分别是 上的点，由于实际设计的需要，需在 和MO60DA,ONM, OM上分别找出点 ， 使 最短，应如何

8、找？NBC, C分析：解“两线+两点”型最短路线问题需要通过两次轴对称变换，得到所需的点与最短路线.例 6.图例 7.7解：如右图所示，作点 关于 的对称点 ,点AONAD关于 的对称点 ，连接 ,分别交 于点OMDM,，则点 就是所求的点，此时 最短.BC, CB如下图， 与 关于某直线成轴对称，请用不同的方法确定对称轴.EFGABC分析：确定对称轴的关键是利用对称轴垂直平分对应点的连线和对应边或其延长线的交点在对称轴上.解：如下图.例 8.方法一：如图，连接对应和对应点 ，再取FC， DA，和 的中点 ，连， ， NM，接 ，直线 就是所求作的对N称轴.F方法二：如图，连接对应 ，FC，再

9、作 的垂直平分线 ，FC， NM，直线 就是所求作的对称轴.N8A 类变式练习：1.下列交通标志中是轴对称图形的是( )2.下列图形中,对称轴的条数最少的图形是( )N方法三：如图，连接对应 ，FC，再延长线段 和 交于点 ，BEM过 点作 的垂线，连接 ，MFN直线 就是所求作的对称轴.N方法四：如图，延长线段 和BC交于点 ，再延长线段 和EFMA交于点 ，连接 ，直线DN就是所求作的对称轴.9A圆 B正六边形 C正方形 D 等边三角形 3.在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有 （ ）A2 个 B3 个 C4 个 D 5 个4.直线 是一条河 , 两地相距 ， 两地到 的距离分别为 ，

10、欲在 上的某点lQP、 km8QP、 l km52、 l处修建一个水泵站，向 两地供水现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺M、设的管道最短的是( )5.数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式的形式填空，并检验等式是否成立。 ； 12321462_189_2431_106.如图是关于直线 的对称图形,你能把图形补全吗?MNB 类7.如图，在ABC 中，DE 是 AC 的中垂线，AE3cm，ABD 的周长为 13cm，则ABC 的周长是_cm8.将一个正方形纸片依次按图 的方式对折，然后沿图 中的虚线裁剪成图 样式，将纸展开铺ba, cd平，所得到的图形是图中的 （ ）119.如

11、图，在 中， ， 是 边上的高，点 、 是 的三等分点，若 的面ABCADBCEFADABC积为 12 ，则图中阴影部分的面积为 2cm2cm10.已知等腰三角形的两条边长分别为 2 和 5，则它的周长为（ ） A 9 B 12 C 9 或 12 D 511.下列三角形：有两个角等于 60；有一个角等于 60的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有（ ） A B C DFEDCB1212.如图：EAF=15，AB=BC=CD=DE=EF，则DEF（ ） A、90 B、 75 C、70 D、 6013.如图, 是

12、 的中线, , ,把 沿直线 折叠,点 落在 处,连接ADBC60ADBCADC,试求 的长度. CB14.如图 , 是 的角平分线, 和 分别是 和 的高. 垂直平分ADBC DEFABD C AD吗? 试说明理由.EFC 类15. 如图 10-25， 中， ，那么 与 之间的关系满足（ ）ABC BD1213、 、 、 、A12B0218C01328D0312816.如下图所示，已知 的大小为 ， 是 内部的一个定点，且 ，点 分别AOBPAOB2OPFE,是 上的动点，若 周长的最小值为 ，求 的值.OBA, PEF217.如图所示，a 、b 为一条河流的两岸， E、F 为两灯塔，若一条

13、小船从 E 塔出发，先到 a 岸取燃料，然后再到 b 岸取照明灯，最后回到 F 塔，问小船应走哪条路线才能使整个航程最短？请你画出行进路线。 图1418.已知MON=40 ，P 为MON 内一点，A 为 OM 上的点，B 为 ON 上的点，问当PAB 的周长取最小值时，APB 等于多少度？19.如下图所示，在 中， 于 是 边上任意一点，延长 到ABC ACBD,F,BAB使得 ，连结 。试判断直线 与 的位置关系，并说明理由。EFE20.如图所示，已知这两个三角形，思考怎样把每个三角形纸片只剪一刀将它分成两个等腰三角形？试一试，在图中画出剪的痕迹，并标出每个内角的度数。15第 3、4 节 简

14、单的轴对称图形及利用轴对称进行设计知识点聚焦1.线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，它的对称轴有两条，一条是这条线段的垂直平分线，另一 条是线段所在的直线.（2）线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）.（3）线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点（任意一点）到这条线段 两个端点的距离相等.（4）线段垂直平分线的判定：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.角的轴对称性（1）角是轴对称图形：角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.（3）角平分线的判定：到角的

15、两边距离相等的点在这个角的平分线上.注：角的对称轴是角平分线所在的直线，而不是角平分线.在运用角平分线的性质时，一定要注意“角平分线上的点”和“与角两16边垂直”这两个条件.3.等腰三角形的轴对称性（1）定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底的夹角叫作底角.（2）性质：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是它的顶角平分线所在的直线；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（三线合一） ；等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角” ）.注：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高不是它的对称轴，而是这三条

16、线段所在的直线才是等腰三角形的对称轴.4.等边三角形的轴对称性（1）定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形.（2）性质：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于 .60（3）判定:三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是 的三角形是等边三角形；60有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.5.镶边与剪纸的原理及方法17（1）原理：轴对称和轴对称图形性质.（2）镶边与剪纸中的对称轴：纸上折痕所在的直线就是相邻两个图案的对称轴.6.照镜子与水中的倒影“照镜子”时，镜子改变了物体的左、右方向；“水中的倒影”与原来的物体是上、下相反.如下图，是在一

17、面镜子里看到的图像，请写出第个图表示的实际数字和第个图表示的实际时间.分析：镜面对称的特点是上下不变，左右相反.解：第个图表示的实际数字是 ，第个图表示的实际时间是 : .81076830例 1.18如下图，是汽车牌照在水中的倒影，试判断该车的实际牌照.分析：水中的倒影与原来的物体是上下相反，解决时可将纸张沿着车轮所在水平线对折，从纸张的另一面看到的牌照就是车牌上的牌照.解：该车的实际牌照是“云 F21678”.已知如下图所示，在两条公路 的附近有 两个超市，现准备在两条公路的交OBA， DC，叉路口附近安装一个监控摄像头，要求摄像头的 的位置离两个超市的距离相等，且到两条公路的P距离也相等，

18、请你画出摄像头 的位置.P分析：摄像头 到公路的距离相等，则 的位置应在 的角平分线上，到 两个超市的PPAOBDC，距离相等，则 应在 连线的垂直平分线上.两者的交点就是摄像头 的位置.DC， P解：如图， （1）作 的角平分线 ；AOBEP例 2.例 3.B19（2）连接 ，作线段 的垂直平分线交射线 于点 ，则点 即为所要安装的CDOEP摄像头的位置.如下图， 的三边长分别为 ,三条角平分线的交点为 ，过点 作 垂直 ，ABCcbaPDBC垂足为 ，且 长为 ,求 的面积.DPh分析：有角平分线的性质可知，点 到三角形三边的距离相等.P解：如图，连接 ，过点 分别作另外两边的垂线段 和

19、.由角平分线的性质CBPA, PEF可知，这三条线段的长相等，均为 .h所以 = .chbaSSBCPABPAC 2121 )(cba已知：如图， 中， ，直线 交 ， 于 ，交 延长线于 .若DEABCFD、 ACE.求证： .EFDCEBD分析：欲证明线段相等，要么将两条线段转换到一个三角形中，证明两边对应的角相等，或构造两条线段所在的两个三角形全等.例 4.图A例 5.20解：过点 作 交 于 ，则DMACBF，ACBDM.EFABC.DM.B在 和 中，FEC, EFCDMFMD.CE.BD如图所示： 是 的边 上的两点，且 ,求 的度数.QP、 ABC AQPCPBBC分析：根据题意

20、得 为等边三角形，从而得出的度数，在由三角形的外角性PAAP、质、等腰三角形的性质求得 的度数，从而QACB、使得问题得以解决.解：过程略， 120AC例 6.21已知如图，在 中， 平分 ， ，求证：ABC,90ACB， EBEC.BDCE21分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，利用全等变换-沿 翻折 至 ，不难发现EBCEF，再证 即可.CFE21D解：过程略.注：本题是采用构造法解题，但在构造的过程中会有一些困难，但构造的过程却能提升思维能力，一般利用条件构造等腰三角形解答几何问题有以下三种途径：利用“角平分线”构造等腰三角形；(如图)利用“垂直平分线”构造等腰三角形；（如图）利

21、用外角性质构造等腰三角形.（如图 ）如图例 7.22已知：如下图所示，点 在线段 上，在 的同旁作等边 和等边 ，连接CABADCBE交 于 ，连接 .BDAE、 EC、 NM、 、（1）求证： ；B（2）求证： 为等边三角形；（3）如果把 绕着点 旋转任意角度，上述结论中哪些仍成立？试说明理由.EC分析：求证线段相等，一般在图形中找三角形全等，或者转化到同一个三角形中求证两边对应的角相等，本题中易找到 ，证明三角形为等边三角形常用到有一个角为 的三角形DCBAE 60为等边三角形这条定理判定.答案：（1）证明： 和 均为等边三角形， ，ADCBECBEDA，, .BCEAD，60CBAS).

22、(（2）证明： ， , .6060NM又 ，且由（1）的结论可知 ， . DN)(SADCA,而 ， 为等边三角形.CNM60CM（3）结论（1）仍成立，结论（2）不成立.N例 8.23同理证：当 旋转任意角度后， 总是成立的，故（1）成立；但 不一定为BECDCBAE DCE，故 不一定为等边三角形.60MN如图所示， 是 的角平分线，且 .求证： .ADBCDCABB2分析：已知条件“ ”，如何在条件中转化这一条件呢？想到作辅助线，最常见的作法DCAB是“截长补短法”.又由 ，想到利用这两个角之间的相等关系构造两个全等三角形.证明：在 上截取 ，连接 （即把 沿 翻折得 ） ，在 和 中，

23、ABACEEACDAEDACD， ， ,CED)(S，又 ,D, BB,， .EBEA2变式练习：1.已知：如图，已知 ，ABC例 9.C24（1）分别画出与 关于 轴、 ABCx轴对称的图形 和 ；y12（2）写出 和 各顶点坐标；1（3）求 的面积ABC2.如图，已知点 、 和 ，求作一点 ，使 到点 、 的距离相等，且到 的两MNAOBPMNAOB边的距离相等3.如图：在 中， ， ， ，求 的度数ABC90ABDCAD4.已知： 是 的平分线上一点， ， ，垂足分别为 、 EAOBECOADBCD求证：（1） ；（2） 是 的垂直平分线.CD255.已知：如图 中， ， ， , ，求

24、的长ABC30CABD4cmBC6.已知：如图，ABC 中，ABAC，D、E 在 BC 边上，且 ADAE求证：BDCE7.如图，已知在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点 ， ABC120BACEFAC交 于点 求证： F2FD CB AF CB AE26B 聄 CEA8.已知： 中， 、 的角平分线相交于点 ，过 作 交 于点 ，ABCD/EFBCAE交 于点 求证： FEF9.在ABC 中，ABAC，ADBC，BAD40，ADAE求CDE 的度数2710.如图， 、 都是等边三角形，求证： ABDECBEDC11.如图所示，在等边三角形 中， 、 的平分线交于点 ， 和 的垂直平分线ABCOBC交 于 、 ，试用你所学的知识说明 的道理BCEFEFC12.已知：如图 中， ， 和 是高，它们交于点 ，且 ，ABCADBEHAEB求证： 2HDFO CBAEHEDCBA2813.如图，四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，AD+AB=2AE。求证：ADC+B=18014.如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，且 ACBD，若 OAOC，OBOD.求证：ADBCABCD.