1、专题七 二次函数综合题的解题思路一、方法简述二次函数综合题通常作为压轴题, 意图通过压轴题考查学生的综合素质，尤其是分析问题、解决问题的能力，发现挖掘学生继续升学的潜力。压轴题设置常见有探究型问题、开放型问题、运动变化型问题、操作型问题、应用型问题等。压轴题常以支撑整个初中数学的核心知识与重要思想方法为载体, 突出能力考查，对学生的阅读能力、计算能力、理解能力、思维能力有较高的要求；主要的形式上是以函数为载体考查函数或几何, 其中函数的载体以二次函数为重点。函数考查的内容有求函数的解析式、求相关点的坐标、求函数的最值、研究函数的图象、函数的性质等。代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐
2、标、和解直角三角形（三角函数的应用）等。函数不仅与数学其它知识有着密切的联系，而且还有着极为广泛的应用因此，它是联系数学知识间或数学与实际问题间的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可或缺的重要内容其呈现方式灵活多变，特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用二次函数是初中学习的重点与难点，也是高中进一步学习的重要内容。以二次函数为背景的试题常受命题者的青睐，能够全面考查用数析形的技能与计算能力，这也是学生将来学习高中数学知识所必备的。但受所学知识限制，命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来. 在实际问题或综合问题中，一般
3、首先是函数思想指导下确定或选择运用函数，然后建立函数，最后根据函数性质解决相应的问题,突出考查了函数思想在动态几何中的运用. 随着对课程标准基本理念被更为广泛和更为深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增强之势因此 培养并提高学生的合情推理能力，让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟积极的态度与科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，都是促进学生创新精神的养成及学习能力提高的有效方式和途径二、解题策略二次函数综合题，综合了初中代数、几何中相当多的知识点，如方程、不等式、函数、三角形、四边形、圆等内容，有些又与生产、生活的实际相结合，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思
4、想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。图 2yxPCBAO图 1yxCP BAO图 2-1DyxOPCBAQ图 2-2yxOPCBA三、典例分析例 2已知抛物线 的对称轴为直线 ，且与 轴交于点 、 两点，2yaxbc2xx与 轴交于点 ，其中 （1，0） ， （0， ）yCAC3（1）求抛物线的解析式；（2）若点 在抛物线上运动（点 异于点 ）PP如图 1，当 的面积和B面积相等时，求点 的坐标；AB如图 2，当 时，求直线 CP 的解析式解：（1）抛物
5、线的解析式为 342xy（2） (2,1), ，1P2317(,)37(,)2P ， ， )0(，B)-，COCB 设直线 的解析式为O45 3lx解法 1：作 轴，垂足为 如图 2-1，PDy由已知易得 ，A又 ，OC90 ， ，3设 ，则 ，mPD31mD1 ，将其代入抛物线解析式)-(， 342xy得 或 （舍去）. ，直线 的解析式为 .310)96-3(，PP3xy解法 2：过 作 轴，过 作 轴，交 于 .PMxCNyMN易证: ,求得 ACON)1-(，分析：以上两种方法通过构造两个直角三角形相似去求直线 CP 上另一点 )916-3(，P解法 3：如图 2-2，延长 交 轴于点
6、 .PxQQ图 2-3yxO PCBAGQ图 2-4yxOPCBA设 ，则OCAOB45 PPC )(OQ 又OCAQA90 RttC319Q)0,(直线 的解析式为 ，即直线 的解析式为 .Q31xyPxy分析：延长 交 轴于点 ，通过构造两个直角三角形相似去求直线 CP 上另一点CPQ)0,9(解法 4：如图 2-3，过点 作 轴的垂线，交 于点.BxCP OAB5O45 CQ又 ， B BA2A点 的坐标为 Q)2,3(解法 5：如图 2-3，作点 关于 的对称点 ，则点 在直线 上，BCQ连接 ，则 . ,BAO45OB45 ，点 的坐标为OAQ90)2,3(解法 6：作 轴交 于 ，
7、作 轴交 于 ，可得四边形 是正方EyCPQExECEB形，由此得到 ,可求 (3，-2 )Rtt分析：以上三种方法本质是通过点 作 轴的垂线交 于点 ，从而构造两个直角三BxCPQDQ图 2-5yxOPCBA角形全等去求直线 CP 上另一点 （3，-2）Q解法 7：如图 2-4，过点 作 轴的垂线Ax交 于点 ，交 于点 .CBPG则 OBOG45 2AQ ，又 B23C23BQC又 ，GOAQ45 A QBC2332 8G)81(，G解法 8：过点 、 分别作 轴、 轴的平行线相交于点 ， 交 于点 ，如图AyxDCPQ2-5， ， , OCB45OBCD45 ， ，PAAQ又 O90 ,
8、 31CODQ38 )8(，分析：以上两种方法是通过点 作 轴的垂线交 于点 ，从而构造两个三角形相似AxB去求另一点 .)31(，Q解法 9：过点 作 / 交 于点 ，作 ，垂足为 ,连接 如图 2-BCPQDAOQ6.DQ图 2-6yxOPCBADQ 图 2-7yxO PCBAE图 2-8yxOPCBA则 QCBAB又 ，O ， ，O45 DQ ， COABCAQB .设 ，则 得 ，31DQxDx334x)9,(分析：以上方法是通过点 作 / 交 于点 ，从而构造两个三角形相似去求另一点BQACPQ)49,(解法 10：过点 作 / 交 的延长线于点 ，作 轴，垂足为 ，如图 2-7.A
9、D CQABPQC OAO45 QCD又 O90 ，A1A3OD)4(，分析：以上方法是通过点 作 / 交 的延长线于点 ，从而构造两个三角形BCP全等去求另一点 。)43(，Q解法 11：如图 2-8，过点 作 / 交 轴于点 .EyE设 ，则BCAPACByxO EDCBA又 OBCO45 EA又 ， O90 CB )0,1(A1AOE),(E设直线 的解析式为 mxy直线 过点 ， ，B),3(031直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 .E1xyCP3xy四、强化训练1.如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴交于点 ，其m2xAByC中 点的坐标是( ， )，顶点为 点，抛物线的
10、对称轴与 轴相交于 ，连接 .C03DxED（1）求 的值；m（2）求 的度数；DE（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在点 ，使得P是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.2.已知：抛物线 的对称轴为 与 轴交于 两点，与20yaxbc1x， AB，轴交于点 其中 、yC， 30A， C， （1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点 P，使得 的周长最小请求出点 P 的坐标B（3）若点 是线段 上的一个动点（不与点 、点 重合） 过点 D 作 交 轴DOOC， EC x于点 连接 、 设 的长为 ， 的面积为 求 与 之间的函数关系E PmDE
11、 Sm式试说明 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由SACxyBO3.如图，抛物线 经过 （ ， ） 、 （ ， ）两点，与 轴的另一cbxy2A20B24x个交点为 ，点 （ ， ）是线段 AB 上的一个动点，过 点的直线 轴，与抛物DPPQ线相交于点 .Q（1）求 、 的值；bc（2）求线段 长度的最大值；（3）当 的长度取最大值时，在抛物线上是否存在 、 两点（点 的横坐标小于点MN的横坐标） ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 、NPNM的坐标；若不存在，请说明理由。备 用 图yxO DBAQPyxDOBA4.如图，抛物线 经过 ( ，
12、 )、 ( ， )两点，对称轴为直线cbxay2A10C3， 点为顶点，抛物线与 轴的另一交点为 ，连接 交对称轴于 点.1xDBE（1）求抛物线的解析式；（2）点 为直线 的下方，抛物线上的一个动点（点 与 、 不重合） ，过 作 轴的PBCPPy平行线交 于 点.F若点 的横坐标为 ，当四边形 是平行四边形时，求 的值；mDEFm在的情况下，抛物线上是否存在点 ，使得 的面积与 的面积相等，若存在，QBC求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.Qx=1yxOFEPDCBA图 2Oyxy2=1nx2y1=nx2图 1y2=12x2y1=2x2 yxOPCBA5.（1）如图 1， 是抛物线 上的
13、一个动点， 、 两点都在抛物线A21xyBC上，且 、 、 三点都在第二象限， 轴， 轴, 是 轴上的一2xyBCAxyP个动点.连接 、 、 求证： 与 面积相等；PP连接 ，当 的面积为 6 时，求: 的最大值及此时点 的坐标；CB（2）抛物线 ( 1)、 如图 2 所示， 是抛物线 ( 1)上的21nxy21xny21nxy一个动点， 点 的横坐标为 ( 1 当点 C 在点 A 右边时，记为 C （-mn，nm ）如图22AC =-mn-m 2 )1()(1nmnm m1 综上所述，当ABC 是等腰三角形时， 或1n1nm6.解：（1）因所求抛物线的顶点 的坐标为（2，4） ，M故可设其
14、关系式为 ()yax又抛物线经过 ，于是得 ， 0)O， 20解得 1a所求函数关系式为 ，即 2()4yx24yx（2）点 不在直线 上 PME根据抛物线的对称性可知 点的坐标为（4，0） ，又 的坐标为（2，4） ，设直线 的关系式为 ykxb于是得 ，解得 kb28kb所以直线 的关系式为 MEyx由已知条件易得，当 时， ， 52t52OAP， 点的坐标不满足直线 的关系式 ，P8yx当 时，点 不在直线 上 52tME 存在最大值理由如下： S点 在 轴的非负半轴上，且 在抛物线上，AxN ，OPt点 的坐标分别为 、 ，N， ()t， 24)tt， （ ） ，24t03 ，2()(
15、)0APttt 23Nt（i）当 ，即 或 时，以点 为顶点的多边形是三角形，此三角0t3PNCD， ， ，形的高为 ， D123SCAD（ii）当 时，以点 为顶点的多边形是四边形，P， ， ， ，N ， ，22211 31()3()32 4StttA其中（ ） ，由 ， ，此时 03ta014S最 大综上所述，当 时，以点 为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值2PNCD， ， ，为 2147.解：（1）解方程 x210 x160 得 x12， x28. 点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，且 OB OC,A、B、C 三点的坐标分别是 A（6，0） 、B（2，0）
16、、C（0，8）. 点 C（0，8）在二次函数 y ax2 bx c 的图象上， c8. 将 A（6，0） 、 B（2，0）代入表达式 y ax2 bx8，得Error! 解得Error! 所求二次函数的表达式为 y x2 x8 . 23 83（2） AB8， OC8,依题意， AE m，则 BE8 m， OA6， OC8， AC10. EF AC, BEF BAC. . 即 . EF . EFAC BEAB EF10 8 m8 40 5m4过点 F 作 FG AB，垂足为 G，则 sin FEGsin CAB .45 . FG 8 m. FGEF 45 45 40 5m4 S S BCE S
17、BFE （8 m）8 （8 m） （8 m）12 12 （8 m） （88 m） （8 m） m m24 m. 12 12 12自变量 m 的取值范围是 0 m8. (3)存在理由如下: S m24 m （ m4） 28, 且 0,12 12 12当 m4 时， S 有最大值， S 最大值 8. m4，点 E 的坐标为（2，0）. BCE 为等腰三角形 8. 解：（1）设抛物线的解析式为 y=kx2+a 点 D（2a，2a）在抛物线上， 4a2k+a = 2a k = 14a抛物线的解析式为 y= x2+a 14a（2）设抛物线上一点 P（x，y ） ，过 P 作 PHx 轴，PGy 轴，在
18、RtGDP 中，由勾股定理得：PD 2=DG2+PG2=(y2a)2+x2 =y2 4ay+4a2+x2 y= x2+a x 2 = 4a (y a)= 4ay 4a2 14aPD 2= y2 4ay+4a2 +4ay 4a2= y2 =PH2PD = PH （3）过 B 点 BE x 轴， AFx 轴.由（2）的结论：BE=DB AF=DADA=2 DB AF=2BE AO = 2BOB 是 OA 的中点，C 是 OD 的中点，连结 BCBC= = = BE = DB 过 B 作 BRy 轴，DA2 AF2BRCD CR=DR，OR= a + = ，a2 3a2HFERG PDC BAOyx
19、图 1HyxMOCBA 2OMCBAyxB 点的纵坐标是 ，又点 B 在抛物线上，3a2 = x2+a x 2 =2a2 x0 x = a B ( a， ) 3a2 14a 2 2 3a2AO = 2OB， S ABD =SOBD = 4 所以， 2a a= 4 a 2= 4 a0 a = 2 212 2 29.解：解：（1）由 得： （ ， ）y8-C08- 当 时， ， )-(xay1x2 （ ， ） 、 （ ， ） A2-0B4（ ， ）y9)1(Ma9-方法一：过 作 ,如图 1：则 、Hy轴 于、 aCH)(-8CO84B CO0091B9 又COHM0BH 解得： ， （不合题意舍
20、去）481a212-a所以抛物线为： 4-xy方法二：连接 .BM22261)8(4aC， a2819)(3a 09 22CB22264解得： ， （不合题意舍去）1a2图 3xyPNOEDCBA图 4yxNPOEDCBA所以抛物线为： 24-2xy（2）存在。以 为直径作 ，则 经过 、 、 三点，此时 与抛物线的交点BCPBCOP即为 （同弧所对的圆周角） ，设 （ ， ）如图 3. NNn24-2n方法一：如图 3.连接 、 ， 过 作 点，过 作 点. Dx轴 于EDNC于则 ， ，nCE)2(2-nn )4(4nB)(-)4-2( ND ，DBNE109B109 C又 0 BENC
21、DEN )4()4(2)2( nnn化简得： （ 、 ） ，解得： ， 45 分-(-02-1n当 时， （ ， 3）2n23-4-2n1N当 时， -2 （ ， ）50 分22-所以存在点 的坐标为：（ ， 32）或（ ， ） ，使得N3.CBO方法二：过 作 轴于 、 轴于 ，连接 、 ，则 ，xDyNECNB09C，如图 4 ，则 ，09En图 5yxNOPCBA)2()242(4 nnCE，)4()( nND)4B ，CNDE09CNDB09又 0 BDENCEN )2()4(2)4( nnn化简得： （ 、 ） ，解得： ， -202-1n当 时， （ ， 3）-n23-4-n1N当
22、 2时， -2 （ ， ）22-所以存在点 的坐标为：（ ， 3）或（ ， ） ，使得N3.CBO方法三：连接 、 、 ,如图 5.P （ ， ） ， ( ， )， 是 的中点4024BC ( ， )P2 ，09BNCP 12241B 2222 4)(1)()( nn 141234 0)(n ， 解得： ， 022-1n当 时， （ ， 23-）2-n34-n1N当 时， 2-2 （ ， ）-所以存在点 的坐标为：（ ， 3）或（ ， ） ，使得N23.CBO10.解：（1）抛物线 的顶点为 ， ，mM()425 的解析式为 。 , 、 ，)(81)3(412xxy 2(A)08(B)抛物线
23、是由抛物线 绕点 旋转 得到， 的坐标为 ， 。nB0D1345抛物线 的解析式为： ，即 。45)1(2xy 62xy（2）点 与点 关于点 中心对称， 。EAE)0,8(设直线 的解析式为 ，则 ，解得 。Dbkxy42513bk245bk直线 的解析式为 。E245又点 的坐标为 ， ，Px()y ，xxxyFOS 458)245(1121 2 )183(yxODF PGN MCEBA当 时， 有最大值。9)85(20xS但 ， 的面积 没有最大值 。13PEF（3）直线 与 相切。理由如下：CMG抛物线 的解析式为 ，当 时， 。 ， 。m)2(841xy04yOC()4抛物线 的对称
24、轴与 轴的交点为 ， ， ， 。x4OC3G25由勾股定理得 。5C又 ， 的半径为 ，点 在 上。 10ABG过 点作 轴的垂线，垂足为 ，MyN则 16253)425(2 N又 216C 。2G 。 。09MC直线 与 相切。C11. 解：(1) 抛物线 yax 2bx(a0)经过点 A(3，0) 、B(4 ，4) ，解得： 。9a 3b 016a 4b 4) a 1b 3)抛物线的解析式是 yx 23x。(2) 设直线 OB 的解析式为 yk 1x，由点 B(4，4) ，得：44k 1，解得 k11。直线 OB 的解析式为 yx。直线 OB 向下平移 m 个单位长度后的解析式为： yxm
25、 。点 D 在抛物线 yx 23x 上， 可设 D(x，x 23x)。又点 D 在直线 yxm 上， x 23x xm ，即 x24xm 0。抛物线与直线只有一个公共点， 164m 0，解得：m 4。此时 x1x 22，yx 23x2。 D 点坐标为(2 ，2)。(3) 直线 OB 的解析式为 yx，且 A(3，0)，点 A 关于直线 OB 的对称点 A的坐标是(0 ，3)。设直线 AB 的解析式为 yk 2x3，过点 B(4，4) ，4k 234，解得：k 2 。14直线 AB 的解析式是 y x3。14NBOABO，点 N 在直线 AB 上。设点 N(n， n3) ，又点 N 在抛物线 y
26、x 23x 上，14 n3n 23n，解得：n 1 ，n 24(不合题意，会去) 。14 34 点 N 的坐标为( ， )。34 4516如图，将NOB 沿 x 轴翻折，得到N 1OB1，则 N1( ， )，B 1(4，4) 。34 4516O、D、B 1 都在直线 yx 上。P 1ODNOB ，P 1ODN 1OB1。 。点 P1 的坐标为 ( ， )。OP1ON1 ODOB1 12 38 4532将OP 1D 沿直线 yx 翻折，可得另一个满足条件的点 P2( ， )。4532 38综上所述，点 P 的坐标是( ， )或( ， )。38 4532 4532 3812.解：（1）根据题意得： 解得：12394cba321cba此二次函数为： 2xy（2）假设存在 ： 与线段 交于点 （不与 、 重合） ，使得以 、 、 为顶lkBCDBCBOD点的三角形与 相似。在 中，当 时， ，解得：BA32xy0y032x
