1、1正 、 余 弦 和 差 化 积 公 式指 高 中 数 学 三 角 函 数 部 分 的 一 组 恒 等 式 sin +sin =2sin( + )/2cos( - )/2 sin -sin =2cos( + )/2sin( - )/2 cos +cos =2cos( + )/2cos( - )/2 cos -cos =-2sin( + )/2sin( - )/2 【 注 意 右 式 前 的负 号 】 以 上 四 组 公 式 可 以 由 积 化 和 差 公 式 推 导 得 到 证 明 过 程sin +sin =2sin( + )/2cos( - )/2的 证 明 过 程 因 为 sin( + )
2、=sin cos +cos sin ， sin( - )=sin cos -cos sin ， 将 以 上 两 式 的 左 右 两 边 分 别 相 加 ， 得 sin( + )+sin( - )=2sin cos ， 设 + = ， - = 那 么 =( + )/2, =（ - ） /2 把 ， 的 值 代 入 ， 即 得 sin +sin =2sin( + )/2cos( - ） /2 正 切 的 和 差 化 积tan tan =sin( )/(cos cos )（ 附 证 明 ） cot cot =sin( )/(sin sin ) tan +cot =cos( - )/(cos sin
3、) tan -cot =-cos( + )/(cos sin ) 证 明 ： 左 边 =tan tan =sin /cos sin /cos =(sin cos cos sin )/(cos cos ) =sin( )/(cos cos )=右 边 等 式 成 立 注 意 事 项在 应 用 和 差 化 积 时 ， 必 须 是 一 次 同 名 三 角 函 数 方 可 实 行 。 若 是 异 名 ， 必须 用 诱 导 公 式 化 为 同 名 ； 若 是 高 次 函 数 ， 必 须 用 降 幂 公 式 降 为 一 次 口 诀 正 加 正 ， 正 在 前 ， 余 加 余 ， 余 并 肩 正 减 正 ，
4、 余 在 前 ， 余 减 余 ， 负 正 弦 反 之 亦 然 2生 动 的 口 诀 ： （ 和 差 化 积 ） 帅 +帅 =帅 哥 帅 -帅 =哥 帅 咕 +咕 =咕 咕 哥 -哥 =负 嫂 嫂 反 之 亦 然 记 忆 方 法和 差 化 积 公 式 的 形 式 比 较 复 杂 ， 记 忆 中 以 下 几 个 方 面 是 难 点 ， 下 面 指 出了 各 自 的 简 单 记 忆 方 法 。 结 果 乘 以 2这 一 点 最 简 单 的 记 忆 方 法 是 通 过 三 角 函 数 的 值 域 判 断 。 sin 和 cos 的 值域 都 是 -1,1， 其 积 的 值 域 也 应 该 是 -1,1
5、， 而 和 差 的 值 域 却 是 -2,2，因 此 乘 以 2 是 必 须 的 。 也 可 以 通 过 其 证 明 来 记 忆 ， 因 为 展 开 两 角 和 差 公 式 后 ， 未 抵 消 的 两 项 相同 而 造 成 有 系 数 2， 如 ： cos( - )-cos( + ) =(cos cos +sin sin )-(cos cos -sin sin ) =2sin sin 故 最 后 需 要 乘 以 2。 只 有 同 名 三 角 函 数 能 和 差 化 积无 论 是 正 弦 函 数 还 是 余 弦 函 数 ， 都 只 有 同 名 三 角 函 数 的 和 差 能 够 化 为 乘积 。
6、 这 一 点 主 要 是 根 据 证 明 记 忆 ， 因 为 如 果 不 是 同 名 三 角 函 数 ， 两 角 和 差 公式 展 开 后 乘 积 项 的 形 式 都 不 同 ， 就 不 会 出 现 相 抵 消 和 相 同 的 项 ， 也 就 无 法 化简 下 去 了 。 乘 积 项 中 的 角 要 除 以 2在 和 差 化 积 公 式 的 证 明 中 ， 必 须 先 把 和 表 示 成 两 角 和 差 的 形 式 ，才 能 够 展 开 。 熟 知 要 使 两 个 角 的 和 、 差 分 别 等 于 和 ， 这 两 个 角 应 该 是( + )/2 和 ( - )/2， 也 就 是 乘 积 项
7、 中 角 的 形 式 。 注 意 和 差 化 积 和 积 化 和 差 的 公 式 中 都 有 一 个 “除 以 2”， 但 位 置 不 同 ；而 只 有 和 差 化 积 公 式 中 有 “乘 以 2”。 使 用 哪 两 种 三 角 函 数 的 积这 一 点 较 好 的 记 忆 方 法 是 拆 分 成 两 点 ， 一 是 是 否 同 名 乘 积 ， 二 是 “半差 角 ”( - )/2 的 三 角 函 数 名 。 3是 否 同 名 乘 积 ， 仍 然 要 根 据 证 明 记 忆 。 注 意 两 角 和 差 公 式 中 ， 余 弦 的 展开 中 含 有 两 对 同 名 三 角 函 数 的 乘 积
8、， 正 弦 的 展 开 则 是 两 对 异 名 三 角 函 数 的 乘积 。 所 以 ， 余 弦 的 和 差 化 作 同 名 三 角 函 数 的 乘 积 ； 正 弦 的 和 差 化 作 异 名 三 角函 数 的 乘 积 。 ( - )/2 的 三 角 函 数 名 规 律 为 ： 和 化 为 积 时 ， 以 cos( - )/2 的 形式 出 现 ； 反 之 ， 以 sin( - )/2 的 形 式 出 现 。 由 函 数 的 奇 偶 性 记 忆 这 一 点 是 最 便 捷 的 。 如 果 要 使 和 化 为 积 ， 那 么 和 调 换 位 置 对 结 果 没 有 影 响 ， 也 就 是 若 把
9、 ( - )/2 替 换 为 ( - )/2，结 果 应 当 是 一 样 的 ， 从 而 ( - )/2 的 形 式 是 cos( - )/2； 另 一 种 情 况 可以 类 似 说 明 。 余 弦 -余 弦 差 公 式 中 的 顺 序 相 反 /负 号这 是 一 个 特 殊 情 况 ， 完 全 可 以 死 记 下 来 。 当 然 ， 也 有 其 他 方 法 可 以 帮 助 这 种 情 况 的 判 定 ， 如 (0, 内 余 弦 函 数的 单 调 性 。 因 为 这 个 区 间 内 余 弦 函 数 是 单 调 减 的 ， 所 以 当 大 于 时 ，cos 小 于 cos 。 但 是 这 时 对
10、 应 的 ( + )/2 和 ( - )/2 在 (0, )的 范围 内 ， 其 正 弦 的 乘 积 应 大 于 0， 所 以 要 么 反 过 来 把 cos 放 到 cos 前 面 ，要 么 就 在 式 子 的 最 前 面 加 上 负 号 。积 化 和 差 公 式sin sin =cos( - )-cos( + )/2（ 注 意 ： 此 时 差 的 余 弦 在 和的 余 弦 前 面 ） 或 写 作 ： sin sin =-cos( + )-cos( - )/2（ 注 意 ： 此 时 公 式前 有 负 号 ） cos cos =cos( - )+cos( + )/2 sin cos =sin(
11、 + )+sin( - )/2 cos sin =sin( + )-sin( - )/2 证 明积 化 和 差 恒 等 式 可 以 通 过 展 开 角 的 和 差 恒 等 式 的 右 手 端 来 证 明 。 即 只 需 要 把 等 式 右 边 用 两 角 和 差 公 式 拆 开 就 能 证 明 ： sin sin =-1/2-2sin sin =-1/2(cos cos -sin sin )-(cos cos +sin sin ) =-1/2cos( + )-cos( - ) 其 他 的 3 个 式 子 也 是 相 同 的 证 明 方 法 。 （ 参 见 和 差 化 积 ） 作 用积 化 和
12、差 公 式 可 以 将 两 个 三 角 函 数 值 的 积 化 为 另 两 个 三 角 函 数 值 的 和 乘以 常 数 的 形 式 ， 所 以 使 用 积 化 和 差 公 式 可 以 达 到 降 次 的 效 果 。 4在 历 史 上 ， 对 数 出 现 之 前 ， 积 化 和 差 公 式 被 用 来 将 乘 除 运 算 化 为 加 减 运算 ， 运 算 需 要 利 用 三 角 函 数 表 。 运 算 过 程 ： 将 两 个 数 通 过 乘 、 除 10 的 方 幂 化 为 0 到 1 之 间 的 数 ， 通 过查 表 求 出 对 应 的 反 三 角 函 数 值 ， 即 将 原 式 化 为 1
13、0k*sin sin 的 形 式 ，套 用 积 化 和 差 后 再 次 查 表 求 三 角 函 数 的 值 ， 并 最 后 利 用 加 减 算 出 结 果 。 对 数 出 现 后 ， 积 化 和 差 公 式 的 这 个 作 用 由 更 加 便 捷 的 对 数 取 代 。 记 忆 方 法积 化 和 差 公 式 的 形 式 比 较 复 杂 ， 记 忆 中 以 下 几 个 方 面 是 难 点 ， 下 面 指 出了 各 自 的 简 单 记 忆 方 法 。 结 果 除 以 2这 一 点 最 简 单 的 记 忆 方 法 是 通 过 三 角 函 数 的 值 域 判 断 。 sin 和 cos 的 值域 都
14、是 -1,1， 其 和 差 的 值 域 应 该 是 -2,2， 而 积 的 值 域 确 是 -1,1， 因此 除 以 2 是 必 须 的 。 也 可 以 通 过 其 证 明 来 记 忆 ， 因 为 展 开 两 角 和 差 公 式 后 ， 未 抵 消 的 两 项 相同 而 造 成 有 系 数 2， 如 ： cos( - )-cos( + ) =(cos cos +sin sin )-(cos cos -sin sin ) =2sin sin 故 最 后 需 要 除 以 2。 使 用 同 名 三 角 函 数 的 和 差无 论 乘 积 项 中 的 三 角 函 数 是 否 同 名 ， 化 为 和 差
15、形 式 时 ， 都 应 是 同 名 三 角函 数 的 和 差 。 这 一 点 主 要 是 根 据 证 明 记 忆 ， 因 为 如 果 不 是 同 名 三 角 函 数 ， 两角 和 差 公 式 展 开 后 乘 积 项 的 形 式 都 不 同 ， 就 不 会 出 现 相 抵 消 和 相 同 的 项 ， 也就 无 法 化 简 下 去 了 。 使 用 哪 种 三 角 函 数 的 和 差仍 然 要 根 据 证 明 记 忆 。 注 意 两 角 和 差 公 式 中 ， 余 弦 的 展 开 中 含 有 两 对 同名 三 角 函 数 的 乘 积 ， 正 弦 的 展 开 则 是 两 对 异 名 三 角 函 数 的
16、 乘 积 。 所 以 反 过 来 ，同 名 三 角 函 数 的 乘 积 ， 化 作 余 弦 的 和 差 ； 异 名 三 角 函 数 的 乘 积 ， 化 作 正 弦 的和 差 。 是 和 还 是 差 ？这 是 积 化 和 差 公 式 的 使 用 中 最 容 易 出 错 的 一 项 。 规 律 为 ： “小 角 ”以 cos 的 形 式 出 现 时 ， 乘 积 化 为 和 ； 反 之 ， 则 乘 积 化 为 差 。 由 函 数 的 奇 偶 性 记 忆 这 一 点 是 最 便 捷 的 。 如 果 的 形 式 是 cos ， 那么 若 把 替 换 为 - ， 结 果 应 当 是 一 样 的 ， 也 就
17、 是 含 + 和 - 的 两5项 调 换 位 置 对 结 果 没 有 影 响 ， 从 而 结 果 的 形 式 应 当 是 和 ； 另 一 种 情 况 可 以 类似 说 明 。 正 弦 -正 弦 积 公 式 中 的 顺 序 相 反 /负 号这 是 一 个 特 殊 情 况 ， 完 全 可 以 死 记 下 来 。 当 然 ， 也 有 其 他 方 法 可 以 帮 助 这 种 情 况 的 判 定 ， 如 0, 内 余 弦函 数 的 单 调 性 。 因 为 这 个 区 间 内 余 弦 函 数 是 单 调 减 的 ， 所 以 cos( + )不大 于 cos( - )。 但 是 这 时 对 应 的 和 在
18、0, 的 范 围 内 ， 其 正 弦 的乘 积 应 大 于 等 于 0， 所 以 要 么 反 过 来 把 cos( - )放 到 cos( + )前 面 ，要 么 就 在 式 子 的 最 前 面 加 上 负 号 。万能公式【 词 语 】 ： 万 能 公 式 【 释 义 】 ： 应 用 公 式 sin=2tan(/2)/1+tan(/2)2 cos=1-tan(/2)2/1+tan(/2)2 tan=2tan(/2)/1-tan(/2)2 将 sin、 cos、 tan 代 换 成 tan（ /2） 的 式 子 ， 这 种 代 换 称 为 万 能 置 换 。 【 推 导 】 ： （ 字 符 版 ） sin=2sin(/2)cos(/2)=2sin(/2)cos(/2)/sin(/2)2+cos(/2)2=2tan(/2)/1+(tan/2)2 cos=cos(/2)2-sin(/2)2=cos(/2)2-sin(/2)2/sin(a/2)2+cos(a/2)2=1-tan(/2)2/1+(tan/2)2 tan=tan2*(/2)=2tan(/2)/1-tan(/2)2=2tan(/2)/1-(tan/2)2
