1、不等式恒成立、存在性问题（一元二次不等式）一、知识、方法回顾（一）一元二次不等式1 定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为_的不等式叫一元二次不等式2解法：一般地，当 时0a判别式 24bc00方程 的根ax函数 2yxbc的图象的解集20axbc的解集（二）解分式不等式的常见方法：来源:学科网法一：符号法则 ()0()()0fxfxfxgg或其它情况类比分析，结论如下：； ；()_fx()0_fxg()0_fxg法二：化分式不等式为整式不等式分式不等式 ，由符号法则可 知， 同号，从而 ，其它()0fxg()fxg、 ()0fxg情况类比分析，结论如下： ；()0()0fxfg； ；()0
2、_fxg()_fxgfx_()fx（三）典型例题例 1、解下列不等式：（1） ； （2） ；2710x|60x（3） ； （4）217x10x来源:学科网练习 1.关于 x 的不等式 的解集为 ，其中 ，02cbxa ),(),(0则不等式 解集为 02bc2.若不等式 的解集为 ，则 的值为_x1(,)23ab3.若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的范围为_221kxk4.设 )()(xaxf（1）解关于 的不等式 ；0f（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.1,()fxx二、含参不等式解法（一元二次不等式）1.二次项系数为常数例 1 解关于 的不等式：x.0)2(2ax2
3、.二次项系数含参数例 2 解关于 的不等式：x.01)(2xa例 3 解关于 的不等式：x.012ax练习：1.解关于 的不等式x（1） （2） ； 03)(2a210xax（3） ； （4） （其中 ）.2(1)20()axxaR(2)41ax0a21xax2. 设 1)()(2xaxf（1）解关于 的不等式 ；0f（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.,()fxx三、不等式的恒成立问题例 1.已知不等式 对 恒成立，其中 ，求实数 的取值范围。012ax2,0aa小结：不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上
4、Afx的下界大于 A；minfx（2）若不等式 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上Bfx的上界小于 B。maxf练习 1.已知 对任意 恒成立，试求实数 的取值2xaf1,0xfxa范围。2、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为 （或 ）恒成立的形式；gfxgfx（2）求 在 上的最大（或最小）值；fxD（3）解不等式 (或 ) ，得 的取值范围。maxgfminfx练习 1. 已知函数 时 恒成立，求实数 的取值范4,0(,4)(20(a围。2. 已知二次函数 ，若 时，恒有 ，求 的取值范围。xaf2)(1,01)(xfa3、数形结合法（1）若不等式 在区间 D 上恒成立，则
5、等价于在区间 D 上函数 和图fxg yfx象在函数 图象上方；y（2）若不等式 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 和图fx yfx象在函数 图象下方。yg例 3. 设 , ,若恒有 成立,求实数 的xxf4)(2axg134)( )(xgfa取值范围. 练习 1. 当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围)21,0(xxalog2a4、变换主元法例 对于满足 的一切实数，不等式 恒成立，试求 的取值40p 342pxx范围。练习 1. 对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。1,a 024)(2axax2.设函数 ，对任意 ，都有 在 恒成立，求实bxah)( 2,1a10)
6、(xh,4数 的取值范围。b练习题1.当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围_1,2x240xmm2.当 x (1,2)时，不等式(x-1) 2logax 恒成立，求 a 的取值范围是 3. 若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围是 23loga1,34设 ,当 x -1,+ 时，都有 恒成立，求 a 的取值范围。fxfx5. 不等式 恒成立，求实数 x 的取值范围。2420xaa6. R 上的函数 既是奇函数，又是减函数，且当 时，有fx 0,2恒成立，求实数 m 的取值范围。若对于任意2cosin20fmf，1a7.已知定义在区间 上的两个函数 和 ，其中 （ ） ，0,2()fxg2
7、()4fxa1 （1）求函数 的最小值 ；2()xgyfma（2 ）若对任意 、 ， 恒成立，求 的取值范围2,x21()四、不等式的存在性问题若在区间 上存在实数 使不等式 成立，则等价于在区间 上 ；DxfxkDmaxfk若在区间 上存在实数 使不等式 成立，则等价于在区间 上的 minfxk例 1.若关于 的不等式 的解集不是空集，则实数 a的取值范围是 23xa2.已知函数 fxm，函数 mxfg72（1）若 ，求不等式 的解集；来源:学科网0x（2）若对任意 ,均存在 ,使得 成立，求实数 的取41x2321xgfm值范围练习 1.若存在正数 使 成立，则 的取值范围是（ ）x2()
8、1aaA B C D(,),(0,)(1,)2. 设 aR，二次函数 2().fxa若 ()0fx的解集为 A， |13,BxAB，求实数 的取值范围。五、二次方程根的分布1 .因为二次函数，二次方程，二次不等式之间有着密切的联系，它们之间相互转化，二次方程的根转化为方程中的系数满足不等式，而二次不等式的问题又可转化为二次函数问题；2 .一元二次方程根的分布问题，表面上是方程问题，实际上往往是二次函数的图像性质问题，它应用上的广泛性和灵活性是高考的热点。根据初中所学知识，已知方程的根可以确定方程中字母系数的值，同理已知方程根的范围也可以确定方程中字母系数的范围，对于一元二次方程可结合图像，函数
9、与方程根的关系，将问题转化为解关于字母系数的不等式组的问题。3 方法指南：设实系数的一元二次方程 的两个根为 ，设)0(2acbxa acbx4,21。)0()(2cbxaxf1、 方程有两个正根 021x2、 方程有两个负根 21x3、 方程有两个符号相反的根 0214、 021akx且 0)(-kfbxyo xyoxyoxyox1x2x1 x2x1 x2 x1 x2k5、 021axk且 0)(2-kfab6、 21且 7、 0,2121akx且， 0)(2-k1fab8、 321akxk且 )(321kf9、 有且仅有一根在 内，且21,x21,02212112121 0)()(0)(
10、kabkfkabkfabkfk 或或或xyo xyoxyo xyoxyoK1 K2K3k x1 x2 x2x1 kx1 x2 x1 x2K1 K2xyo xyoxyo xyoK1 K2 K1 K2K1 K2 K2K1K2K1练习：1. 关于 x 的方程 有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实012mx数 m 的取值范围 2 .已知方程 有两个实根，且一根大于 1，一根小于 1，求 a 的取值范围 022ax3.已知二次方程 的两个实数根是 ，且满足037)4(22axa 21,x，求实数 a 的取值范围。12-x4. 实数 k 为何值时，方程 的两个根一个在（-1,1）内，另一个在（3,4）内。022kx5. 设集合 ， BA,20,1,B,02,A2 xyxymxy求实数 m 的取值范围。6.（广东 07）已知 a 是实数，函数 ，如果函数 在区间axaxf32)( )(xfy上有零点，求 a 的范围。1,-
