复合函数的零点问题.doc

1、复合函数的零点问题I题源探究黄金母题【例 1】设函数 （ 为常数1,0,(),1xaf x且 ） 0,1a若 是 的零点但不是 的零点，则称xfxfx为 的二阶周期点，求函数 的二阶周期点0()()【答案】函数 有且仅有两个二阶周期点，f， 12ax21xa【解析】 2222,0,(),1(),1,(),.1xxafxxaax当 时，由 解得 ，由于 ，20xa2x00f故 不是 的二阶周期点；f当 时，由 解得2ax1()ax因22(,)，22211() 1afaa故 是 的二阶周期点； 2x()fx当 时，由 解得12()xa，因2xa2(,)故 不是112f a1xa精彩解读【试题来源】

2、2013 年高考江西卷改编【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题的二阶周期点； ()fx当 时， 解得21a1()xa，因2x2(,22211()1afaa， 故 是 的二阶周期点 2x()fx综上：函数 有且仅有两个二阶周期点，f， 12ax21xaII考场精彩真题回放【例 2】 【2017 年高考江苏卷】设 是定义在 且周期为()fxR1 的函数，在区间 上， 其中集合0,1)2,Df，则方程 的解的个数,*nDxN()l

3、g0fx是 【答案】8【解析】由于 ，则需考虑 的情况()0,1fx10x在此范围内， 且 时，设QZ，且 互质*,2qxpN,pq若 ，则由 ，可设lglg(01)x，且 互质*,nxm,mn因此 ，则 ，此时左边为整数，右边10qp()nqp非整数，矛盾，因此 lgxQ因此 不可能与每个周期内 对应的部分相等，只lgxD需考虑 与每个周期 的部分的交点，画出函数图象，图中交点除 外其它交点横坐标均为无理数，属于每个1,0周期 的部分，且 处 ，xD1x1lg1ln0lx【命题意图】本题主要考查复合函数的零点本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等【考试方向】这类试题在考查

4、题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大【难点中心】解答此类问题，关键在于 “抽茧剥丝” ，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题则在 附近仅有一个交点，一次方程解的个数为 81x【例 3】 【2015 年高考天津】已知函数函数 ，2,xf2gxbfx其中 ，若函数 恰有 4 个零点，则bRyf的取值范围是 （ ）A B C D7,47,470,4,2【答案】D【解析】由 得 ，2,xf2,0()xfx，即22,()40(),yfxx2,(),58,f，所以(2)yfxgfxb恰有 4 个零点等价于方程有 4 个不同的解，即函数 与()2)0fb

5、yb函数 的图象的 4 个公共点，由图象可(yfx知 74864246815055105III理论基础解题原理1复合函数定义：设 ， ，且函数 的值域为 定义域的子集，那么 通过 的yftgxgxftyt联系而得到自变量 的函数，称 是 的复合函数，记为 x y2复合函数函数值计算的步骤：求 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值yf例如：已知 ，计算 2,xfgx2g【解析】 ， 2441f3已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到x求出 的值例如：已知 ， ，若 ，求 x2xf2g0gfxx由上例可得，要想求出 的根，则需要先将 视为

6、整体，先求出 的值，再求对应0gfxfxfx的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义x4函数的零点：设 的定义域为 ，若存在 ，使得 ，则称 为 的一个fD00f0f零点5复合函数零点问题的特点：考虑关于 的方程 根的个数，在解此类问题时，要分为两层xgfx来分析，第一层是解关于 的方程，观察有几个 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层f的值求出每一个 被几个 对应，将 的个数汇总后即为 的根的个数fxx 0gfxIV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大【技能方法】求解复合函数 零点问题的技巧：ygfx（

7、1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 的图像,fxg（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 的方程 中 解的个数，再根据fx0gfxfx个数与 的图像特点，分配每个函数值 被几个 所对应，从而确定 的取值范围，进而决定fxif i参数的范围【易错指导】1函数零点忽视单调性的存在例如：若函数 f(x)在区间2，2上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(2，2)内有一个零点，则 f(2)f（2）的值 ( )A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不能确定解答：若函数 f(x)在(2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则f(2)f（2）0，因此

8、选 D易错警示： 警示 1：错误认为该零点是变号零点；警示 2：不知道非变号零点这种情况方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当 f(x)在(2，2)内有一个零点时，f(2)f（2）的符号不能确定2要注意对于在区间a，b上的连续函数 f(x)，若 x0是 f(x)的零点，却不一定有 f(a)f

9、(b)0，即f(a)f(b)0 仅是 f(x)在a，b上存在零点的充分条件，而不是必要条件注意以下几点：满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一；不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点由函数 )(xfy在闭区间 ,ab上有零点不一定能推出 )(af bf0，如图所示所以 )(af)(bf0是 在闭区间 上有零点的充分不必要条件 注意：如果函数 在区间 ,ab上的图象是连续不断的曲线，并且函数 在区间 ,ab上是一个fx fx单调函数，那么当 )( f0时，函数 在区间 ),(ba内有唯一的零点，即存在唯一的fx(,)cab，使 cf如果函数 在区间 ,ab上的图象是连续不断的曲线，并且有 )

10、(f bf0，那么，函数x在区间 ),(内不一定没有零点f如果函数 在区间 ,上的图象是连续不断的曲线，那么当函数 在区间 ),(a内有零点时不f fx一定有 )(a b0，也可能有 )(af bf0V举一反三触类旁通【例 1】 【2018 四川绵阳一诊】函数 满足 ，且当 时， 若函数的图象与函数 （ ，且 ）的图象有且仅有 4 个交点，则 的取值集合为（ ）A B C D【答案】C【例 2】 【2018 南宁高三毕业班摸底联考】设函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当时， ，若在区间 内关于 的方程 （ 且 ）有且只有 4 个不同的根，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析

11、】由题意可得函数 f(x)的对称轴为 x=2，周期为 T=4，原方程变形为 ，所以只需画出 ，两个函数在区间(-2，6)的图像，根据图像求 a 的范围，图像如下， 一定过（-1，0）点，当 时，显然只有一个交点，所以 ，只需要对数从点 B，点 C 下面穿过就有 4 个零点，所以 解得 ，选 D【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为 f(x)=g(x)，然后根据 y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数如本题把方程 变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有 4 个交点，求出参数 a 的范围【例 3】 【2018 河南天一大联考】已知函数 若关于

12、的方程有 3 个实数根，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】作图如下：因此要使方程 有 3 个，实数 的取值范围是 ，选 D【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等【例 4】 【2018 广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数 ，若函数3log,0 4xf有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）2hxfmxmA B C D1,21,1,21,2【答案】AA（0，2） ，B（3，

13、1） ，C（4， 0） ，则 g（x）的图象介于直线 AB 和 AC 之间，介于 kABm kAC，可得 m1故答案为：（ ，1） 22点睛:函数 h（x）= f（x）mx+2 有三个不同的零点，即为 f（x） mx+2=0 有三个不同的实根，可令y=f（x） ， y=g（x）= mx2，分别画出 y=f（x）和 y=g（x）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到 m 的范围【例 5】 【2018 广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数 ，则函数2,1 logxf的零点个数是（ ）32FxffxA4 B5 C6 D7【答案】A【解析】解：令 t=f（x） ，F（x）=0，则 f（t）2t

14、 =0，32【名师点睛】本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个 t 对应几个 x【例 6】 【2018 安徽阜阳临泉一中上学期二模】已知 ，若关于 的方程恰好有 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】 ， ，当 或 时， ，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增可作出 大致函数图象如图所示：令 ，则当 时，方程 有一解；当 时，方程 有两解； 时，方程 有三解关于 的方程 ，恰好有 4 个不相等实数根关于 的方程 在 和 上各有一解 ，解得 ，故答案为【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式

15、，再通过解不等式确定参数的范围；分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解【例 7】 【2018 湖南株洲醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考】已知函数，若 0 a b c，满足 f（ a）= f（ b）= f（ c） ，则 的范围为_2log,0 xf abf【答案】 （1，2），满足 ， ，即 ，0abc fafbfc22loglab1a， ，故 ，故答案为 21f121fcf2，【名师点睛】画出函数 的图象，由图象可知有相等时的取值范围，这里 的图象和计算得fx 2logx由，可以

16、当作结论，这样三个未知数就只剩下 ，由反比例即可求出结果1ab c【例 8】 【2018 江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学六校联考】已知函数 ， 的四个零点 ， ， ， ，且 ，则ln1|fxfxm1x234x12341kx的值是_ke【答案】 2【例 9】 【2018 山西山大附中等晋豫名校第四次调研】已知函数 ，把方程21,0 xff的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前 项和 _0fx nS【答案】 12n【解析】当 时，有 ，有 ，0x10x12xfxf当 时，有 ，有 1 1xf 当 时，有 ，有 23123f当 时，有 ，有 4x3x2xfx

17、依次类推，当 时，则 ，nN1nf所以 ，故 ，所以通项公式 ， 12xngxf21na na12nS【点睛】本题考查对分段函数的处理方法，分段函数要分段处理，根据分段函数的解析式找出各段函数的零点，从而得出各个零点与项数的关系，写出数列的通项公式，根据数列是特殊的等差数列，利用等差数列求和公式，求出数列的前 项的和n【例 10】 【2018 江苏南通如皋第一次联考】已知函数 若21 58lnxfxm， ， ， ，有三个零点，则实数 m 的取值范围是_gxfm【答案】 714，【例 11】 【2018 齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知定义在 上的函数R，若函数 恰有

18、2 个零点，则实数 的取值范围是2,0 1xfln1gxfaxa_【答案】 ,e【解析】数形结合，由直线 与曲线 的位置关系可得当 时有两1yaxyfx1,ae个交点，即函数 恰有两个零点g【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路【例 12】 【2018 江苏淮安盱眙中学第一次学情调研】已知函数 的图象与函数2fxm的图象有四个交点，则实数 的取值范围为_lngxm【答案】

19、1,l2数 最小值为 ，令 ，可得 ，此时函2lnhxmx211lnhm 02h1ln2m数 有两个零点，故函数 的图象与函数 的图象有四个交2fxlgx点，实数 的取值范围为 ，故答案为 1,ln21,ln【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根，属于难题函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二” ，解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个，判断函数 零yfx点个数的常用方法：（1） 直接法： 令 则方程实根的个数就是函数零点的个；（2） 零点存在0,fx性定理法：判断函数在区间 上是连续不断的曲线，且 再结合函数的图象与性质(如单,ab0,fab调性、奇偶性、周

20、期性、对称性) 可确定函数的零点个数；（3） 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题【跟踪练习】1 【2018 辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】函数 ，则函820 1sinxfxf数 的零点个数为（ ）4loghxfxA2 个 B3 个 C4 个 D5 个【答案】D【解析】函数的零点满足： ，则原问题等价于考查函数 与函数 的交点的个4logfx4l

21、ogyxf数；114sin22sin2fxf xx当 时， ，据此可得：3；112sinsin22fxf xx当 时， ，54514而 ，4logl1则函数 与函数 在区间 上有 2 个交点，4lyxf3,很明显，当 时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得：32x函数 的零点个数为 5 个4hflogx【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a， b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点（3

22、）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点2 【2018 江西上饶高三下学期一模】已知 是定义域为 的单调函数，若对任意的 ，fx0,0,x都有 ，且方程 在区间 上有两解，则实数 的13log4fx32694fxa0,3a取值范围是（ ）A B C D05a5a05a5a【答案】A即有 在区间 上有两解，由 ，可得321log694xxa0,332694gxxa，当 时， ， 递减；当 时， ， 2 1gx010g递增 在 处取得最大值 ， ， ，分别作出 ，和gxgx1a04g34ga13logyx的图象，可得两图象

23、只有一个交点 ，将 的图象向上平移，32694y1,269yx至经过点 ，有两个交点，由 ，即 ，解得 ，当 时，两图象有两个交,131g505点，即方程两解故选 A3 【201 甘肃兰州西北师范大学附属中学一调】若函数 ，则方程3,0 xef的根的个数为（ ）30fxeA1 B2 C3 D4【答案】C【解析】【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度运

24、用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解4 【2018 安徽滁州高三 9 月联合质量检测】已知 ，若方程1,01 xfxf有唯一解，则实数 的取值范围是_20fxaa【答案】 1,3【解析】当 时， ，所以 0x10x1fx11fxfx若方程 有唯一解，即 ，有唯一解2fa 2fa作出 和 的图象，根据题意两函数图象有唯一交点yx由图可知： 13a【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几

25、个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解5 【2018 山西 45 校高三第一次联考】已知 若方程 有且仅有 3,01, .xef efxke个实数解，则实数 的取值范围是_k【答案】 21,4e设 ，AB 为 的切线，B 为切点， ，观察可知，当位于切线 AB 和割线 AC0,Aeyfx1,Ce之间时， 图象与 的图象有三个交点，设 由 ，可得切kf 0,Bxy211exx线 AB: ，解得 ，故 ，又 ，所020011yexx024ABk2ACeke以当方程 在 上有三个实数解，实数 k 的取值范围为 fk, 21,【名

26、师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解6 【2018 齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知 ，若2,0 lnxf有 个根 ，则 的取值范围是_=fxa41234,x1234xx【答案】 0,e【解析】因为 ，所以 ，故答案为 1234342xxx 10,2e7 【2018 河郑州一中模拟】已知函数 ，若关于 的不等式2,0 xfx恰有 1

27、 个整数解，则实数 的取值范围是_220fxafb a【答案】 38【解析】画出 的图象如图所示fx当 时，得 或0fxx2此时 化为， 20afb20b若 ，则此时有两解 或 ，违背题意，b故 0此时 a0fx若 ，则关于的不等式 恰有一个整数解a0fx结合图象可知 ，可得3 48fa3a8若 ，则关于的不等式 恰有一个整数解a00afx结合图象可知 ，可得1 3af1综上， 38或8 【2018 江苏南京高三数学上学期期初学情调研】已知函数 若存在唯一的整2,0 ,31xf数 x，使得 成立，则实数 a 的取值范围为_0fax【答案】0，23，8满足 符合题意，当 时，至少存在两点 满足

28、不0fxa8a1,2ff0fxa合题意，故答案为 ,23,【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等9 【2018 浙江温州一模】已知函数 有六个不同零点，且所有零点之和为3，则 的取值范围为_【答案】单调递增，且取值范围是 ，当 时，函数 的导函数 ，考虑到是 上的单调递增函数，且 ，于是 在 上有唯一零点，记为 ，进而函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得极小值 ，如图：接下来问题的关键

29、是判断 与 的大小关系，注意到， ，函数，在 上与直线 有 个公共点， 的取值范围是 ，故答案为10 【2018 湖南永州高三上学期一模】定义函数 ， ， ,fxahgfx，若存在实数 使得方程 无实数根，则实数 的取值范围是_24gxb0b【答案】 ,5,【解析】11 【2018 河北石家庄二中八月高三模拟】已知 ，若函数2, xaf有零点，则实数 的取值范围是_1lngxfaxa【答案】 ,23,综上可得： 或1a23故答案为： ,【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参

30、数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解12 【2018 广东茂名高三五大联盟学校 9 月份联考】若函数 至少有 3 个零点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】由 可得 ，则问题转化为函数 的图像有至少三个交点，结合图像可以看出当 时，即 时满足题设，应填答案【名师点睛】本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用，求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像，进而借助图像的直观建立不等式 ，进而通过解不等式求出参数的取值范围 13 【2018 山东齐河晏婴学校一模】已知 ，又 ，若满足1xfe

31、2gxftfxR的 有三个，则 的取值范围是_1gxt【答案】 2,【解析】由题意作函数 的图象：1xfe【名师点睛】本题考查方程根的个数问题的转化，一元二次方程根的分布问题，以及换元法的应用，考查数形结合思想，转化思想；由题意作函数 的图象，令 ，由图求出 的范围，代1xfemfxm入方程 化简，由条件和图象判断出方程的根的范围，由一元二次方程根的分布问题列出不等式，1gx求出 的取值范围t14 【2018 浙江名校协作体上学期考试】已知函数 则关于 的方程2,0 ,14xflnx的不同实根的个数为_246fx【答案】4 个【解析】 函数 图像如图所示， ，由fx2244tx图15 【201

32、8 河南郑州一中模拟】已知函数 满足 ，当 时， fx2ffx0,12fx，当 时， ，若定义在 上的函数 有三个不1,0x21fxf1,3gfxt同的零点，则实数 的取值范围是_t【答案】 ,627【解析】当 时，则 ，故 ；当1,01xx1fx21fx时，则 ，故 ；当,2 22时，则 ，又,310xx22413fxfxfxfx因为 ，所以 ，则 所以2,313f43， ，画出函2+1(43xf,0,123【名师点睛】解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数 在区间 上的解析表达式求出yfx1,3来，再画出其图像数形结合，从而将问题转化为方程 有唯2142=0t txt一解，可求得 ，通过

33、数形结合，求得当 时，函数 在区间 上的627t067yf1,3图像与直线 的图像有且只有三个不同的交点，即定义在 上的函数1yx ,3有三个不同的零点1gxftx16 【2018 江苏南京师范大学附属中学模拟】函数 其中 ，若函数( 4xtf0t有 个不同的零点，则实数 的取值范围是_1gxf6t【答案】 3,4【解析】时，两直线 与函数 共有六个不同交点，应填答案 314 427tt1,ytyfx3,4【名师点睛】解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数形结合思想建立不等式组求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征，体现了数学思想在解决数学问题中四两拨千斤的功能