1、 第八章8-7 一个半径为 R的均匀带电半圆环，电荷线密度为 ,求环心处 O点的场强解: 如 8-7图在圆上取 dl题 8-7图 ddRlq，它在 O点产生场强大小为204E方向沿半径向外则 dsin4sind0Rxdcos4)co(0REy 积分Ex 002dsin4dcosy Rx02，方向沿 x轴正向8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为 l，总电量为 q(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强 E；(2)证明：在 r处，它相当于点电荷 产生的场强 E解: 如 8-8图示，正方形一条边上电荷 4q在 P点产生物强 Pd方向如图，大小为cosd201lrP 2cos1lr12cs 24d
2、20lrlEPP在垂直于平面上的分量 cosdPE 424d220 lrllrE题 8-8图由于对称性， P点场强沿 O方向，大小为 2)4(d420lrlE lq 2)4(20rlEP方向沿 OP8-10 均匀带电球壳内半径 6cm，外半径 10cm，电荷体密度为 2 510Cm-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强解: 高斯定理 , 024qrE0d qSEs当 5rc时， ,8m时， q3p(r)3内 204E内 4108.1CN， 方向沿半径向外12rcm时, 3q(外r）内 3 42010.4rE内外1 沿半径向外.8-11 半径为 1R和 ( )的两无限长同轴圆柱面，单
3、位长度上分别带有电量 和-,试求:(1) ；(2) 1 r 2R；(3) r 2处各点的场强解: 高斯定理 0dqSs取同轴圆柱形高斯面，侧面积 rl则 ES2对(1) 1Rr 0,Eq(2) 2 l rE02沿径向向外(3) 2R 0q E题 8-12图8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 1和 2，试求空间各处场强解: 如题 8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 与 ，两面间， nE)(21201面外， 12面外， n)(220n：垂直于两平面由 1面指为 面8-13 半径为 R的均匀带电球体内的电荷体密度为 ,若在球内挖去一块半径为 r R的小球体，
4、如题 8-13图所示试求：两球心 O与 点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的解: 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电 的均匀小球的组合，见题 8-13图(a)(1) 球在 O点产生电场 01E，球在 点产生电场d43020Or 点电场d30rE；(2) 在 O产生电场43001球在 产生电场 2E 点电场 0 题 8-13图(a) 题 8-13图(b)(3)设空腔任一点 P相对 O的位矢为 r，相对 O点位矢为 r(如题 8-13(b)图)则 03EP， rO, 0003)(3dEPOP 腔内场强是均匀的题 8-16图8-16 如题 8-16图所示，在 A， B两点处放有电量分别为+ q
5、,- 的点电荷， AB间距离为 2 R，现将另一正试验点电荷 0q从 O点经过半圆弧移到 C点，求移动过程中电场力作的功解: 如题 8-16图示 041U)(RqO306 qqAoC00)(8-17 如题 8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于 R试求环中心 点处的场强和电势解: (1)由于电荷均匀分布与对称性， B和 D段电荷在 O点产生的场强互相抵消，取dl则 q产生 O点 Ed如图，由于对称性， 点场强沿 y轴负方向题 8-17图 cos4dd220REyR04 )2sin(si2(2) AB电荷在 O点产生电势，以 UAB0001 2
6、ln4d4Rxx同理 CD产生 2ln2半圆环产生 0034RU 0321 42lnO8-22 三个平行金属板 A， B和 C的面积都是 200cm2， A和 B相距 4.0mm， A与 C相距2.0 mm B， 都接地，如题 8-22图所示如果使 板带正电 3.010-7C，略去边缘效应，问 板和 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则 板的电势是多少?解: 如题 8-22图示，令 板左侧面电荷面密度为 1，右侧面电荷面密度为 2题 8-22图(1) ABCU，即 Ed 221ACB且 1+ 2Sq得 ,32AA3而 7110CqqC2SB(2) 301.dACACEUV8-23 两个半
7、径分别为 1R和 2（ 2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+ q，试计算：(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；解: (1)内球带电 q；球壳内表面带电则为 q,外表面带电为 q，且均匀分布，其电势题 8-23图22004dRRRqrrEU(2)外壳接地时，外表面电荷 q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为 q所以球壳电势由内球 q与内表面 产生： 420208-27 在半径为 1R的金属球之外包有一层外半径为 R的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为 r，金属球带电 Q试求：(1)电介质内、外的场强；(2)电介质层内、外的
8、电势；(3)金属球的电势解: 利用有介质时的高斯定理 qSDd(1)介质内 )(21Rr场强 3034,rQEr内;介质外 )(2r场强 303,rrD外(2)介质外 )(2Rr电势 rQEU0r4d外介质内 )(21r电势 20204)1(4RrqQr(3)金属球的电势 rd221 RREU外内 22 0044rrdrEU外内)1(4210RQrr8-28 如题 8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为 r的电介质试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值解: 如题 8-28图所示，充满电介质部分场强为 2E，真空部分场强为 1E，自由电荷面密度分别为
9、2与 1由 0dqSD得 1D， 2而 01, 0rd2UE r1题 8-28图 题 8-29图8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为 l，半径分别为 1R和 2( 1)，且 l 2R-1R，两柱面之间充有介电常数 的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷 Q和-Q时，求：(1)在半径 r处( 1 r 2R，厚度为 dr，长为 l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；(2)电介质中的总电场能量；(3)圆柱形电容器的电容解: 取半径为 r的同轴圆柱面 )(S则 rlD2d)(当 )(21R时， Qq rl(1)电场能量密度 228w薄壳中 rllrlW4dd2(2)电介质中总电
10、场能量 21 12lnRVRQl(3)电容： CQW2 )/ln(12R8-34 半径为 1R=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为2=4.0cm和 3=5.0cm，当内球带电荷 =3.010-8C 时，求：(1)整个电场储存的能量；(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量；(3)此电容器的电容值解: 如图，内球带电 Q，外球壳内表面带电 Q，外表面带电题 8-34图(1)在 1Rr和 32r区域 0E在 21r时 314rQ3R时 02在 21r区域 21 d4)(20RrrW21 )1(8d2RRQ在 3Rr区域 32 3002 4)(Rrr 总能量 )1832
11、11 RW4.J(2)导体壳接地时，只有 21rR时 30rQE, 2W 4021 1.)(8QJ(3)电容器电容 /42102RWC29.F习题九9-6 已知磁感应强度 0.2BWbm-2 的均匀磁场，方向沿 x轴正方向，如题 9-6图所示试求：(1)通过图中 abcd面的磁通量；(2)通过图中 befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量解： 如题 9-6图所示题 9-6图(1)通过 abcd面积 1S的磁通是 24.03.021SBWb(2)通过 ef面积 2的磁通量 22(3)通过 ad面积 3S的磁通量 4.05.30cos5.03 Bb(或曰 24.0b)题 9-7图9-7
12、 如题 9-7图所示， AB、 CD为长直导线， CB为圆心在 O点的一段圆弧形导线，其半径为 R若通以电流 I，求 O点的磁感应强度解：如题 9-7图所示， 点磁场由 、 、 三部分电流产生其中AB产生 01CD产生 I2，方向垂直向里段产生 )231()60sin9(i403 RIR，方向 向里 )231(03210IB，方向 向里题 9-9图9-9 如题 9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的 A， B两点，并在很远处与电源相连已知圆环的粗细均匀，求环中心 O的磁感应强度解： 如题 9-9图所示，圆心 点磁场由直电流 和 及两段圆弧上电流 1I与 2所产生，但 A和 B在 点产生的
13、磁场为零。且2121RI电 阻电 阻 .1I产生 B方向 纸面向外 )(01B，2I产生方向 纸面向里20RI 1)(12IB有 020题 9-14图 题 9-15图9-15 题 9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为 a,b，导体内载有沿轴线方向的电流 I，且 均匀地分布在管的横截面上设导体的磁导率0，试证明导体内部各点 )(bra 的磁感应强度的大小由下式给出： raIB220解：取闭合回路 rl2 )(则 lBd22)(abIrI 20B9-16 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为 )和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为 b, c)构成，如题 9-16
14、图所示使用时，电流 I从一导体流去，从另一导体流回设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内( r a),(2)两导体之间( a r )，（3）导体圆筒内( b r c)以及(4)电缆外( c)各点处磁感应强度的大小解： LIlB0d(1) r 20RIrB20RIr(2) bra Ir0rIB0(3) crb IbcrIB0202)(2crB(4) cr r0题 9-16图 题 9-17图题 9-20图9-20 如题 9-20图所示，在长直导线 AB内通以电流 1I=20A，在矩形线圈 CDEF中通有电流 2I=10 A， B与线圈共面，且 CD， EF都与 平行已知a=9.
15、0cm, b=20.0cm, d=1.0 cm，求：(1)导线 的磁场对矩形线圈每边所作用的力；(2)矩形线圈所受合力和合力矩解：(1) CDF方向垂直 向左，大小 4102.8dIbFCDN同理 FE方向垂直 向右，大小 51020.)(aIIFECF方向垂直 向上，大小为 adCF dIrI 5210210 12.9lnNED方向垂直 向下，大小为 5.9CFED(2)合力 CFECD方向向左，大小为 4102.7合力矩 BPMm 线圈与导线共面 BPm/0图9-21 边长为 l=0.1m 的正三角形线圈放在磁感应强度 B=1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题 9-21图所示，
16、使线圈通以电流 I=10A，求：(1)线圈每边所受的安培力；(2)对 O轴的磁力矩大小；(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功解： (1) 0BlIFbclIab方向 纸面向外，大小为 86.012sinIlFabNlca方向 纸面向里，大小 .ilca(2) ISPmBM沿 O方向，大小为 22103.4BlISmN(3)磁力功 )(12IA 0 l22 103.4BlIJ9-25 电子在 B=7010-4T 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径 r=3.0cm已知 B垂直于纸面向外，某时刻电子在 A点，速度 v向上，如题 9-25图(1)试画出这电子运动的轨道；(2)求这电子速度
17、 v的大小；(3)求这电子的动能 kE题 9-25图解：(1)轨迹如图(2) rvmeB2 710.3v1s(3) 162K0.1mvE J9-26 一电子在 B=2010-4T 的磁场中沿半径为 R=2.0cm 的螺旋线运动，螺距h=5.0cm，如题 9-26图(1)求这电子的速度；(2)磁场的方向如何?解: (1) eBvcoscos2veBmh题 9-26 图 6221057.)()(ehR1sm(2)磁场 B的方向沿螺旋线轴线或向上或向下，由电子旋转方向确定9-30 螺绕环中心周长 L=10cm，环上线圈匝数 N=200匝，线圈中通有电流 I=100 mA(1)当管内是真空时，求管中心
18、的磁场强度 H和磁感应强度 0B；(2)若环内充满相对磁导率 r=4200的磁性物质，则管内的 和 H各是多少?*(3)磁性物质中心处由导线中传导电流产生的 0和由磁化电流产生的 各是多少?解: (1) IlldNL2H1mA405.BT(2) 20H 1mA or (3)由传导电流产生的 0即(1)中的 401.由磁化电流产生的 习题十10-1 一半径 r=10cm 的圆形回路放在 B=0.8T的均匀磁场中回路平面与 B垂直当回路半径以恒定速率 td=80cms-1 收缩时，求回路中感应电动势的大小解: 回路磁通 2rSm感应电动势大小 40.d)(d2tBtV题 10-4图10-4 如题
19、10-4图所示，载有电流 I的长直导线附近，放一导体半圆环 MeN与长直导线共面，且端点 MN的连线与长直导线垂直半圆环的半径为 b，环心 O与导线相距 a设半圆环以速度 v平行导线平移求半圆环内感应电动势的大小和方向及 两端的电压 U解: 作辅助线 ，则在 e回路中，沿 v方向运动时 0dm 0MeN即 又 baMN baIlvBln2dcos0所以 MeN沿 方向，大小为 baIln20点电势高于 点电势，即 IvUNMl010-7 如题 10-7图所示，长直导线通以电流 I=5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面线圈长 b=0.06m，宽 a=0.04m，线圈以速度 v=0.03ms-1
20、 垂直于直线平移远离求：d=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向题 10-7图 解: AB、 CD运动速度 v方向与磁力线平行，不产生感应电动势 产生电动势 ADIvbBld2d)(01 产生电动势 )()(02 aIlvCB回路中总感应电动势 8021 16.1(dIbV方向沿顺时针10-8 长度为 l的金属杆 ab以速率 v在导电轨道 ac上平行移动已知导轨处于均匀磁场 B中， 的方向与回路的法线成 60角(如题 10-8图所示)， B的大小为 = kt( 为正常)设 t=0时杆位于 cd处，求：任一时刻 t导线回路中感应电动势的大小和方向解: 22160cosklvtlBlvSm t
21、tmd即沿 abcd方向顺时针方向 题 10-8图题 10-10图10-10 导线 ab长为 l，绕过 O点的垂直轴以匀角速 转动， aO= 3l磁感应强度 B平行于转轴，如图 10-10所示试求：（1） 两端的电势差；（2） ,两端哪一点电势高?解: (1)在 b上取 dr一小段则 32029dlOblBr同理 18la 226)(llObb (2) 0a 即 0baU b点电势高 题 10-12图10-12 磁感应强度为 B的均匀磁场充满一半径为 R的圆柱形空间，一金属杆放在题 10-12图中位置，杆长为 2 R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外当 tBd0 时，求：杆两端的感应电动势的
22、大小和方向解： bcactRttab d43d212 B12 tBRacd1243 0t ac即 从 ca题 10-13图 题 10-14图10-14 如题 10-14图所示，在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体 ab于直径位置，另一导体 cd在一弦上，导体均与螺线管绝缘当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题 10-14图示方向试求：（1） ab两端的电势差；（2） 两点电势高低的情况解： 由 l StBEd旋 知，此时 旋E以 O为中心沿逆时针方向 (1) 是直径，在 ab上处处 旋 与 ab垂直 l0旋 0ab,有 baU(2)同理， dlEcd旋 0c即 dcU题 10-15图10-15
23、一无限长的直导线和一正方形的线圈如题 10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)求：线圈与导线间的互感系数解： 设长直电流为 I，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为 32001 2lndaIarI l12IM习题十一题 11-4图11-4 如题 11-4图所示，设平行板电容器内各点的交变电场强度 E=720sin t510Vm-1，正方向规定如图试求：(1)电容器中的位移电流密度；(2)电容器内距中心联线 r=10-2m的一点 P，当 t=0和 = 5102s时磁场强度的大小及方向(不考虑传导电流产生的磁场)解：(1) tDj, E0 tttEjD 505500 1cos72)1sin72(
24、2mA(2) )(0ddSDl jIH取与极板平行且以中心连线为圆心，半径 r的圆周 rl，则jr2D0t时 050516.3172rHP 1mA512s时， P11-5 半径为 R=0.10m的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中今对电容器匀速充电，使两极板间电场的变化率为 tEd=1.01013 Vm-1s-1求两极板间的位移电流，并计算电容器内离两圆板中心联线 r( R)处的磁感应强度 Br以及 = R处的磁感应强度B解: (1) ttDj08.2jSIA(2) SIlHDl dd0 取平行于极板，以两板中心联线为圆心的圆周 rl，则 202tEjr dtrHBr200当 Rr时， 60
25、1.5d2tERB T习题十二12-7 在杨氏双缝实验中，双缝间距 d=0.20mm，缝屏间距 D1.0m，试求：(1)若第二级明条纹离屏中心的距离为 6.0mm，计算此单色光的波长；(2)相邻两明条纹间的距离解: (1)由 kdDx明 知， 2.01.63， 3106.m oA60(2) 3.2.dDx 12-8 在双缝装置中，用一很薄的云母片(n=1.58)覆盖其中的一条缝，结果使屏幕上的第七级明条纹恰好移到屏幕中央原零级明纹的位置若入射光的波长为 5500o，求此云母片的厚度解: 设云母片厚度为 e，则由云母片引起的光程差为 ene)1(按题意 7 60.58.1nm.12-9 洛埃镜干
26、涉装置如题 12-9图所示，镜长 30cm，狭缝光源 S在离镜左边 20cm的平面内，与镜面的垂直距离为 2.0mm，光源波长 7.210-7m，试求位于镜右边缘的屏幕上第一条明条纹到镜边缘的距离题 12-9图解: 镜面反射光有半波损失，且反射光可视为虚光源 S发出所以由 S与 发出的两光束到达屏幕上距镜边缘为 x处的光程差为2)(12Dxdr第一明纹处，对应 250.4.021.7dDxm12-11 白光垂直照射到空气中一厚度为 3800 oA的肥皂膜上，设肥皂膜的折射率为 1.33，试问该膜的正面呈现什么颜色?背面呈现什么颜色?解: 由反射干涉相长公式有 kne2),21(k得 0638.
27、41k, 6792oA(红色)3, 0 (紫色)所以肥皂膜正面呈现紫红色由透射干涉相长公式 kne),21所以 kne08当 2k时， =5054oA(绿色)故背面呈现绿色12-13 如题 12-13图，波长为 6800oA的平行光垂直照射到 L0.12m 长的两块玻璃片上，两玻璃片一边相互接触，另一边被直径 d=0.048mm的细钢丝隔开求：(1)两玻璃片间的夹角 ?(2)相邻两明条纹间空气膜的厚度差是多少?(3)相邻两暗条纹的间距是多少?(4)在这 0.12 m内呈现多少条明条纹?题 12-13图解: (1)由图知， dLsin，即 L故 4310.12.048d(弧度)(2)相邻两明条纹
28、空气膜厚度差为 710.32em (3)相邻两暗纹间距 64085.6l 85.(4) 14lLN条12-14 用 5000oA的平行光垂直入射劈形薄膜的上表面，从反射光中观察，劈尖的棱边是暗纹若劈尖上面媒质的折射率 1n大于薄膜的折射率 n( =1.5)求：(1)膜下面媒质的折射率 2n与 的大小关系；(2)第 10条暗纹处薄膜的厚度；(3)使膜的下表面向下平移一微小距离 e，干涉条纹有什么变化?若 e=2.0 m，原来的第 10条暗纹处将被哪级暗纹占据?解: (1) n2因为劈尖的棱边是暗纹，对应光程差 2)1(2kn，膜厚0e处，有 k，只能是下面媒质的反射光有半波损失 才合题意；(2)
29、 3105299n m(因 1个条纹只有 个条纹间距)(3)膜的下表面向下平移，各级条纹向棱边方向移动若 0.2em，原来第 10条暗纹处现对应的膜厚为 )1(33e 10.5.124nN现被第 21级暗纹占据12-15 (1)若用波长不同的光观察牛顿环， 16000oA， 24500o，观察到用 1时的第 k个暗环与用 2时的第 k+1个暗环重合，已知透镜的曲率半径是 190cm求用 时第 k个暗环的半径(2)又如在牛顿环中用波长为 5000oA的第 5个明环与用波长为 2的第 6个明环重合，求未知波长 2解: (1)由牛顿环暗环公式 kRr据题意有 21)(kRr 21k，代入上式得 21r101045690385.m(2)用 A501照射， 1k级明环与 2的 6k级明环重合，则有 )()( 2211 RRr 40915621koA12-16 当牛顿环装置中的透镜与玻璃之间的空间充以液体时，第十个亮环的直径由1d1.4010 -2m变为 d1.2710 -2m，求液体的折射率解: 由牛顿环明环公式 2)1(1RkDr空nRkDr2)1(2液两式相除得 nD21，即 .16.921
