1、第 1 页 共 15 页初 中 几 何 证 明 题经 典 题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心， C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF （初二）.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHF OGE,可得 = = ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。OGFHCD2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA15 0求证：PBC 是正三角形 （初二）.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHF OGE,可得 = = ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。EOGF
2、HCD.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHF OGE,可得 = = ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。EOGFHCDAPCDBA FGCEBOD第 2 页 共 15 页3、如图，已知四边形 ABCD、A 1B1C1D1 都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2 分别是AA1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点求证：四边形 A2B2C2D2 是正方形 （初二）4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC的延长线交 MN 于 E、F求证：DEN F 经 典 题（二）1、已知：ABC 中，
3、H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC60 0，求证：AHAO （初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDM BADH EM CBO第 3 页 共 15 页PCGFBQADE2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q求证：APAQ （初二）3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 M
4、N于 P、Q求证：APAQ （初二）4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形CBFG，点 P 是 EF 的中点求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 （初二）经 典 题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证：CECF （初二）GAODBECQP NMOQPBDECNM AAFDECB第 4 页 共 15 页2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证：AEAF （初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC
5、上的任一点，PFAP，CF 平分DCE求证：PAPF （初二）4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证：ABDC，BCAD （初三）经 典 题（四）1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA 3，PB 4，PC5求：APB 的度数 （初二）2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBA PDA求证：PAB PCB （初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD （初三）DEDACBFFEP CBAO DBFAECPAPCBPA DCB第 5 页 共 15 页4、平行四边
6、形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证：DPA DPC （初二）经 典 难 题（五）1、 设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPA PB PC，求证： L22、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPB PC 的最小值3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa ，PB2a，PC 3a，求正方形的边长CBDAFPDE CBAAPCBACBPDACBPD第 6 页 共 15 页4、如图，ABC 中，ABCACB 80 0，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA30 0，EBA20 0，求
7、BED 的度数经 典 题（一）1.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHF OGE,可得 = = ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。EOGFHCD2. .如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHF OGE,可得 = = ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。EOGFHCD3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点，EDCBA第 7 页 共 15 页连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点，连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点，由 A2E
8、= A1B1= B1C1= FB2 ，EB 2= AB= BC=FC1 ，又GFQ+Q=90 0 和1GEB 2+Q=90 0,所以GEB 2=GFQ 又B 2FC2=A 2EB2 ，可得B 2FC2A 2EB2 ，所以 A2B2=B2C2 ， 又GFQ+ HB 2F=900 和GFQ=EB 2A2 ,从而可得A 2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A2B2C2D2 是正方形。4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM，所以可得QMF=F， QNM= DEN 和QMN=QNM，从而得出 DENF。经 典 题（二）第 8 页 共 15 页1.(1)延
9、长 AD 到 F 连 BF，做 OGAF,又F=ACB=BHD，可得 BH=BF,从而可得 HD=DF，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB，OC,既得BOC=120 0，从而可得BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。3.作 OFCD，OGBE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG ，OQ。由于 ，2ADCFDBEBG=由此可得ADFABG ，从而可得 AFC=AGE 。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC=AOP 和AGE= AOQ ，AOP= AOQ ，从而可得 AP=AQ。第 9 页 共 15 页
10、4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ= 。2EGFH+由EGA AIC，可得 EG=AI，由BFHCBI，可得 FH=BI。从而可得 PQ= = ，从而得证。2AIB+经 典 题（三）1.顺时针旋转ADE，到 ABG，连接 CG.由于ABG=ADE=90 0+450=1350从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得AGB CGB。推出 AE=AG=AC=GC，可得AGC 为等边三角形。AGB=30 0，既得EAC=30 0，从而可得A EC=750。第 10 页 共 15 页又EFC=DFA=45 0+300=750.可证：CE=CF。2.连接 BD
11、作 CHDE，可得四边形 CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH，可得CEH=30 0，所以CAE=CEA= AED=15 0，又FAE=90 0+450+150=1500，从而可知道F=15 0，从而得出 AE=AF。3.作 FGCD，FEBE，可以得出 GFEC 为正方形。令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。tanBAP=tanEPF= = ，可得 YZ=XY-X2+XZ，XYZ-+即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出ABPPEF ，得到 PAPF ，得证 。第 11 页 共 15 页经 典 难 题（四）1. 顺时针旋转ABP 60
12、0 ，连接 PQ ，则PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以APB=150 0 。2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AEDC，BEPC.可以得出ABP=ADP=AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等） 。可得BAP=BEP=BCP，得证。3.在 BD 取一点 E，使BCE=ACD，既得BECADC，可得：= ，即 ADBC=BEAC， BCAD第 12 页 共 15 页又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得= ，即 ABCD=DEAC， ABCDE由+可得: ABCD+ADBC=AC(BE+DE)= ACBD ，得证。4.过 D 作 AQAE ，AG
13、CF ，由 = = ，可得：ADES2BCDFSA= ，由 AE=FC。2AEPQA可得 DQ=DG，可得DPADPC （角平分线逆定理） 。经 典 题（五）1.（1）顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 L= ；第 13 页 共 15 页（2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F。由于APDATP=ADP，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得：最大 L 2 ；由（1）和（2）既得： L2 。2.顺时针旋转BP
14、C 60 0 ，可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。第 14 页 共 15 页既得 AF= = = 213()4+3+42= = 2(1)= 。62+3.顺时针旋转ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长 L = = 。22()()a+A52a+A第 15 页 共 15 页4.在 AB 上找一点 F，使BCF=60 0 ，连接 EF，DG，既得BGC 为等边三角形，可得DCF=10 0 , FCE=20 0 ,推出ABEACF ，得到 BE=CF ， FG=GE 。推出 ： FGE 为等边三角形 ，可得AFE=80 0 ，既得：DFG=40 0 又 BD=BC=BG ，既得BGD=80 0 ，既得DGF=40 0 推得：DF=DG ,得到：DFEDGE ，从而推得：FED= BED=30 0 。
