1、1双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质.1双曲线的定义：平面内与两定点 F1、F 2 的距离差的绝对值是常数 (大于零，小于F 1F2)的点的轨迹叫双曲线。两定点 F1、F 2 是焦点，两焦点间的距离F 1F2是焦距，用 2c 表示，常数用 2 表示。a(1)若MF 1-MF 2=2 时，曲线只表示焦点 F2所对应的一支双曲线.(2)若MF 1-MF 2=-2 时，曲线只表示焦点 F1所对应的一支双曲线.(3)若 2 =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以 F1、F 2为端点向外的两条射线.a(4)若 2 2c 时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程： 2x-
2、by=1( 0,b0)表示焦点在 x 轴上的双曲线；a2- =1( 0,b0)表示焦点在 y 轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较 x2、y 2的分母的大小，而是 x2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.3.双曲线的简单几何性质：标准方程 （ ）21xyab0,ab（ ）21xab0,ab图 象关系,abc 22abc范 围 |,xayR|,yaxR顶 点 (0)(0)对 称 性 关于 轴成轴对称、关于原点成中心对称,渐 近 线 bab离 心 率 (1)cea焦 点 (,0)Fc(0,)Fc等轴双曲线：x 2-y2 2( 0),它的渐近线方程为 y x,离心率 e
3、2.a4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。（1）通常消去方程组中变量 (或 )得到关于变量 (或 )的一元二次方程，考虑该一yxxy元二次方程的判别式 ，则有： 直线与双曲线相交于两个点； 直线00与双曲线相交于一个点； 直线与双曲线无交点（2）若得到关于 (或 )的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平x行于双曲线的一条渐近线2(3)直线 被双曲线截得的弦长 或 ，其中l 212)(xkAB212)(yk是直线 的斜率， ， 是直线与双曲线的两个交点 ， 的坐标，且kl),(1yx),(2 AB， ， 可由韦达定理整体给
4、出21214)(x1x21二、例题选讲例 1、中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为 ，则双曲线方程为 ( )2Ax 2y 21 Bx 2y 22 Cx 2y 2 Dx 2y 2212解析：由题意，设双曲线方程 为 1(a0)， 则 c a，渐近线 yx，x2a2 y2a2 2 ，a 22.双曲线方程为 x2y 22. 答案：B| 2a|2 2例 2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程 (1)过点 ，离心率 ),3(P25e(2) 、 是双曲线的左、右焦点， 是双曲线上一点，双曲线离心率为 且1F2 P2， 60312FPS解：(1)依题意，双曲
5、线的实轴可能在 轴上，也可能在 轴上，分别讨论如下xy如双曲线的实轴在 轴上，设 为所求 由 ，得 x2bya25e42ac由点 在双曲线上，得 ， 又 ，由、得)2,3(P192 b， 12a4b若双曲线的实轴在 轴上，设 为所求 同理有 ， ，y12byax 452ac192b解之，得 （不合，舍去） 22cba72双曲线的实轴只能在 轴上，所求双曲线方程为 x 142yx(2)设双曲线方程为 ，因 ，而 ，由双曲线的定义，得12byacF21ae3由余弦，得caPF21 21212212 cos)( PFPFPFc ，60os)(21PF 又 ，2124c 3in2121 S 821PF
6、 ， ，得 ， 所求双曲线的方程为 43c642a12b 124yx三、巩固测试题1到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 6 的点 的轨迹 （ D ）0,31F,2 MA椭圆 B线段 C双曲线 D两条射线2方程 表示双曲线，则 的取值范围是 （ D ）2kyxkA B C D 或100k1k3 双曲线 的焦距是 （ C ）1422mA4 B C8 D与 有关m4若 ，双曲线 与双曲线 有 （ D ）ak022kbyx 12byaxA相同的虚轴 B相同的实轴 C相同的渐近线 D 相同的焦点5过双曲线 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6，则 （F 2 为右焦点）的周长是（ 9162yx ABA ）
7、A28 B22 C14 D126双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为 ( )x24 y212A2 B2 C. D13 3解析：双曲线 1 的焦点为(4,0)或(4,0) 渐近线方程为 y x 或 y x.x24 y212 3 3由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一 渐近线的距离相等，d 2 .|43 0|3 1 37以椭圆 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（ ）A1582yxA B C D32132yx1832yx1532yx8过点 P(4,4)且与双曲线 1 只有一个交点的直线有 ( )x216 y29A1 条 B2 条 C3 条 D4 条4解析：如图所示，满足条件的直 线共有 3
8、 条9经过两点 的双曲线的方程为 （ ）C)3,72(),6,7(BAA B C D125yx152xy1752yx1752xy10已知双曲线的离心率为 ，焦点是 ， ，则双曲线方程为（ ）(40)-， (，A B C D214xy-=21xy=216xy-=210xy-=11已知 P 是双曲线 上的一点， 是双曲线的两个焦点，且96221,F则 的面积为 （ ）D120F21FA B C D3334312双曲线 的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 251640xy， 焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，离心率等于 13直线 与双曲线 相交于 两点，则 =_ 12 132yxBA,A6414过
9、点 且被点M平分的双曲线 的弦所在直线方程为 。)1,3(142yx13 054yx15双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 。2mm双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍， m0，且双曲线方程为 ，21xy214xy m= 。416已知双曲线的离心率 e ，且与椭圆 1 有共同的焦点，求该双曲线的方程52 x213 y23解：在椭圆中，焦点坐标为( ，0)，10c ，又 e ，a 28，b 22.10ca 10a 525双曲线方程为 1.x28 y2217已知 、 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上且满足1F214P，求 的面积9021P21PF解： 为双曲线 上的一个点且 、 为焦点 ,4
10、yx12F421aF5221cF ，在 中，901P21PRt201221P ， ，62212FF 161PF21F 2121 PSP18已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 xOy (30)F,设点 .(20)D1,2A（1）求该椭圆的标准方程；（2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的轨迹方PPAM程； 18.(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= ,则半短轴 b=1.3又椭圆的焦点在 x 轴上, 椭圆的标准方程为 142yx(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x 0,y0),x= 210x0=2x1由y=0y得 y
11、0=2y 2由,点 P 在椭圆上,得 , 1)(4)12(x线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 .)4(22y19已知椭圆 C 的焦点 F1（ ，0）和 F2（ ，0） ，长轴长 6，设直线6交 椭圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标。2xy解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是: 2.联立方程组 ,消去 y 得, .219219y1036270x设 A( ),B( ),AB 线段的中点为 M( )那么: , =1,xy2, 0,12850x1295所以 = +2= .也就是说线段 AB 中点坐标为(- , ).059520求
12、两条渐近线为 且截直线 所得弦长为 的双曲线方程。0yx3yx38解:设双曲线方程为 x2-4y2= .联立方程组得: ,消去 y 得， 3x2-24x+(36+ )=0-43y设直线被双曲线截得的弦为 AB，且 A( ),B( )，那么： 1,x2,y1228364()0x那么：|AB|= 222113681()4()84)3kx 解得: =4,所以，所求双曲线方程是：2xy21中心在原点，焦点在 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点 ，且21,F，椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为 4，离心率之比为 37。132|1F（1 ）求这两条曲线的方程；（2 ）若 P 为这两条曲线的一个交点，求 的值。21cosPF21、解：（1）设椭圆的方程为 ，双曲线方程为 ，半焦距为21byax 12byax，3c由已知得： ，故两条曲线分别为：23,67/3/4121 baac及36492yx49yx7（2）设 ，由余弦定理得：21PF52|cos| 121FPF由椭圆定义得： 96|2由双曲线定义得： 3| 2121P 得： ，7)cos(|2F 得： 8|1所以 。54cs9cos
