1、八年级数学下 新课标冀教,第二十一章 一次函数,21.5 一次函数与一元二次方程的关系,学 习 新 知,问题思考,十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床,他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行,笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛地灵机一动.他想,可以把蜘蛛看成一个点,它可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢?在蜘蛛爬行的启示下,笛卡尔创建了直角坐标系,在坐标系下将几何图形(形)和方程(数)建立联系.笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用,而我们可以把图形化成方程来研究,也可以用图像来研究方程.这节课我们就来研究:一次函数与二元一次方程的关系.,活动1二元一次方程与一次函数的关系,(1)方
2、程x+y=1的解有多少个?写出其中的几个.(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数y=1-x的图像上吗?(3)在一次函数y=1-x的图像上任取一点,它的坐标适合方程x+y=1吗?(4)以方程x+y=1的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=1-x的图像相同吗?(5)方程x+y=1与函数y=1-x有何关系?,讨论,以方程x+y=1的解为坐标的点组成的图像与一次函数y=1-x的图像相同,以二元一次方程的解为坐标的点都在一条直线上.,想一想:对于二元一次方程kx-y=-b和一次函数y=kx+b有什么关系?,一般地,一次函数y=kx+b图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-
3、y=-b的一个解,以二元一次方程kx-y=-b的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上.,1.以二元一次方程ax+by=c的解为坐标所构成的直线,是不是一次函数 的图像?请说明理由.,2.你认为二元一次方程和一次函数有什么联系与区别?,总结:以二元一次方程的解为坐标的点都在与它相应的一次函数的图像上;反过来,一次函数图像上的点的坐标都是与它相应的二元一次方程的解.,练一练:1.方程x+y=4的解有个,以方程x+y=4的解为坐标的点组成一次函数的图像.2.一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点坐标是,且该点的横、纵坐标是二元一次方程-2x+by=18的解,则b=.3.一次函数y=kx+2的
4、图像总过定点(0,),二元一次方程kx-y=-2有无数个解,其中必有一个解为.,动脑筋.,观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与 的图像,两条直线的交点坐标是,方程组 的解是.,活动2巩固练习,1.方程2x+3y=5有多少组解?请填写下表,并把每一组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点.,2.在直角坐标系中画出 的图像.,3.以方程2x+3y=5的解为坐标的点是否都在函数 的图像上?为什么?,知识拓展(1)以二元一次方程的解为坐标的点组成的集合是它对应的一次函数所在的直线;一次函数图像上任意一点的坐标是它对应的方程的一组解.(2)二元一次方程组的解是由它对应的两个一次函数图像的交点坐标;
5、两个一次函数图像的交点坐标是其对应的二元一次方程组的解.,检测反馈,1.若二元一次方程组 的解为 则直线y=-3x+a和y=2x- 的交点坐标为()A.(n,m) B.(m,m)C.(m,n) D.(n,n),解析:二元一次方程组的解就是两个方程对应直线的交点坐标.故选C.,C,2.如图所示的是函数y=kx+b与y=mx+n的图像,求方程组 的解对应的点关于原点对称的点的坐标是()A.(4,3)B.(3,-4) C.(-3,4) D.(-3,-4),解析:函数y=kx+b与y=mx+n的图像,同时经过点(3,4),因此x=3,y=4同时满足两个函数的解析式,所以方程组 的解为 所以点(3,4)
6、关于原点对称的点的坐标是(-3,-4).故选D.,D,3.一次函数y=ax+b的图像经过点(3,5),则方程ax+b=5的解是.,解析:根据一次函数与二元一次方程的关系,可知ax+b=5的解是x=3.故填x=3.,x=3,4.如图所示,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).(1)求b的值;(2)不解关于x,y的方程组 请你直接写出它的解.,解析:(1)把点(1,b)代入直线l1:y=x+1即可求出b的值;(2)根据两直线的交点即为方程组的解可以确定.,解:(1)(1,b)在直线y=x+1上,当x=1时,b=1+1=2.,(2)直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx
7、+n相交于点P(1,b),方程组 的解是,5.在同一坐标系内画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图像,并根据图像回答下列问题:(1)写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点坐标;(2)直接写出当x取何值时,y1y2.,解析:(1)利用两点法画出图像即可确定交点坐标;(2)根据图像与一元一次不等式的关系即可求解.,解:(1)两直线相交时交点的坐标是 的解,即 所以交点的坐标是(1,0),图像用两点法画即可.y1=-x+1的图像与坐标轴的交点为(0,1),(1,0),y2=2x-2的图像与坐标轴的交点为(0,-2),(1,0),直接连线即可.如图所示.,(2)y11.,6.在平面直角坐标系中,直线y=-x+4如图所示.(1)在同一坐标系中,作出一次函数y=2x-5的图像;(2)用作图像的方法解方程组: (3)求直线y=-x+4与一次函数y=2x-5的图像及x轴围成的三角形面积.,解析:利用图像求方程组的解,即为交点的横、纵坐标,在确定面积时要注意坐标系中两点之间的距离.,解:(1)如图所示.,(2)由图像看出两直线的交点为P(3,1),所以方程组 的解为,(3)直线y=-x+4与x轴的交点为(4,0),y=2x-5的图像与x轴的交点为 ,三角形面积=,
