1、动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时例 1 已知直角坐标平面上点 Q（2，0 ）和圆 C： 12yx，动点 M 到圆 C 的切线长与MQ的比等于常数 （如图） ，求动点 M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线【解析】：设 M（x ，y） ，直线 MN 切圆 C 于 N，则有 Q，即QON22， 22)(1yx整理得 04)1()( 222yx，这就是动点 M 的轨迹方程若 1，方程化为 45，它表示过点 ),5(和 x 轴垂直的一条直线；若 1，方程化为222)1(31yx）（，它表示以
2、)0,12(为圆心， 32为半径的圆二、代入法若动点 M（x ， y）依赖已知曲线上的动点 N 而运动，则可将转化后的动点 N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点 M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况例 2 已知抛物线 12，定点 A（3 ，1） ，B 为抛物线上任意一点，点 P 在线段 AB 上，且有 BP:PA=1:2，当点 B 在抛物线上变动时，求点 P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线【解析】：设 ),(),1yxP，由题设，P 分线段 AB 的比 2BA， .2,123yx解得 213,2311yx.又点 B 在抛物线 1xy上，其坐
3、标适合抛物线方程， .)()(x整理得点 P 的轨迹方程为),3()(2xy其轨迹为抛物线三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现例 3 若动圆与圆 4)2(yx外切且与直线 x=2 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（A） 012y （B） 0122y（C ） 8x （D） 8x【解析】：如图，设动圆圆心为 M，由题意，动点 M 到定圆圆心（ 2，0）的距离等于它到定直线 x=4 的距离，故所求轨迹是以（2，0 ）为焦点，直线 x=4 为准线的抛物线，并且 p=6，顶点是（1 ，0） ，开口
4、向左，所以方程是 )1(2y选（B） 例 4 一动圆与两圆 12y和 0182x都外切，则动圆圆心轨迹为（A）抛物线 （B ）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆【解析】：如图，设动圆圆心为 M，半径为 r，则有 .1,2MOr动点 M 到两定点的距离之差为 1，由双曲线定义知，其轨迹是以 O、C 为焦点的双曲线的左支，选（ C） 四、参数法若动点 P（x，y）的坐标 x 与 y 之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出 x、y 关于另一变量的参数方程，再化为普通方程例 5 设椭圆中心为原点 O，一个焦点为 F（0 ，1） ，长轴和短轴的长度之比为 t （1）求椭圆的方程；
5、（2）设经过原点且斜率为 t 的直线与椭圆在 y 轴右边部分的交点为 Q，点 P 在该直线上，且 12tQ，当 t 变化时，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形【解析】：（1）设所求椭圆方程为 ).0(12 baxy由题意得 ,12tba解得 .1.22tbta所以椭圆方程为 222)1()(tytxt(2)设点 ),(),1yxQP解方程组 ,)()(12122txytt得 .)1(2,121tytx由 12tOQP和 1xP得 ,2,2tytxtyt或其中 t1 消去 t，得点 P 轨迹方程为)(2xy和 )2(2xy其轨迹为抛物线 yx2在直线右侧的部分和抛物线 2在直线 在侧的部
6、分五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程例 6 已知两点 )2,0(,(QP以及一条直线 ：y=x，设长为 2的线段 AB 在直线 上移动，求直线 PA 和 QB 交点 M 的轨迹方程【解析】：PA 和 QB 的交点 M（x，y）随 A、B 的移动而变化，故可设)1,(),tBtA，则 PA： ),(2txtQB： ).1(txy消去 t，得 .0822yx当 t=2，或 t=1 时，PA 与 QB 的交点坐标也满足上式，所以点 M 的轨迹方程是 .08yxyx以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围
