1、1概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社）第一章 概率论的基本概念1.一 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分） （一 1），n 表小班人数noS10,（3）生产产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数。 （一 2）S=10，11，12，n， （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品” ，不合格的盖上“次品” ，如连续查出二个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1” ，查出次品记为“0” ，连续出现两个“0”就停止检查，或查满 4 次才停止检查。 （
2、一 (3)）S=00，100， 0100，0101， 1010，0110，1100，0111， 1011，1101，1110，1111，2.二 设 A， B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与 C 不发生。表示为： 或 A (AB+AC)或 A (BC )（2）A，B 都发生，而 C 不发生。表示为： 或 AB ABC 或 AB C（3）A，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C2（4）A，B ，C 都发生， 表示为：ABC（5）A，B ，C 都不发生， 表示为： 或 S (A+B+C)或CBACBA（6）A，B ，C 中不多于一个发生，即 A
3、，B，C 中至少有两个同时不发生相当于 中至少有一个发生。故 表示为： 。A, （7）A，B ，C 中不多于二个发生。相当于： 中至少有一个发生。故 表示为：, ABC或（8）A，B ，C 中至少有二个发生。相当于：AB，BC，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC +AC6.三 设 A，B 是两事件且 P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下 P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下 P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由 P (A) = 0.6，P (B) = 0.7 即知 AB， （否则 AB = 依互斥事件加法定理， P(AB )=P
4、 (A)+P (B)=0.6+0.7=1.31 与 P (AB)1 矛盾） .从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)P (A B) (*)（1）从 0P(AB )P(A )知，当 AB=A，即 AB 时 P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，（2）从(*)式知，当 AB=S 时，P( AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.71=0.3 。7.四 设 A，B，C 是三事件，且 ，0)()(,41)()( BCPACPBA. 求 A，B，C 至少有一个发生的概率。81)(解：P (A，B，C 至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)
5、+ P(C)P( AB)P(BC)P (AC)+ P(ABC)= 8501438.五 在一标准英语字典中具有 55 个由二个不相同的字母新组成的单词，若从 263个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记 A 表“能排成上述单词” 从 26 个任选两个来排列，排法有 种。每种排法等可能。26A字典中的二个不同字母组成的单词：55 个 1305)(26AP9. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。 （设后面 4个数中的每一个数都是等可能性地取自 0，1，29）记 A 表“后四个数全不同” 后四个数的排法有 104 种，每种排法等可能。后四个数全不同
6、的排法有 10A 54.)(4P10.六 在房间里有 10 人。分别佩代着从 1 号到 10 号的纪念章，任意选 3 人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为 5 的概率。记“三人纪念章的最小号码为 5”为事件 A 10 人中任选 3 人为一组：选法有 种，且每种选法等可能。310又事件 A 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码大于 5。这种组合的种数有251 1230)(P（2）求最大的号码为 5 的概率。4记“三人中最大的号码为 5”为事件 B，同上 10 人中任选 3 人，选法有 种，310且每种选法等可能，又事件 B 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码小于 5，选法有种
7、241 20134)(BP11.七 某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶，红漆 3 桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货 4 桶白漆，3 桶黑漆和 2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为 A。在 17 桶中任取 9 桶的取法有 种，且每种取法等可能。917C取得 4 白 3 黑 2 红的取法有 2340故 15)(61734AP12.八 在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品，任意取 200 个。（1）求恰有 90 个次品的概率。记“恰有 90 个次品”为事件 A 在 1500 个产品中任取 20
8、0 个，取法有 种，每种取法等可能。2015200 个产品恰有 90 个次品，取法有 种94 201594)(AP（2）至少有 2 个次品的概率。5记：A 表“至少有 2 个次品”B0 表“不含有次品” ，B 1 表“只含有一个次品” ，同上，200 个产品不含次品，取法有 种， 200 个产品含一个次品，取法有 种21 1904 且 B0，B 1 互不相容。10A 2015942015)()()( 10BPP13.九 从 5 双不同鞋子中任取 4 只，4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多少？记 A 表“4 只全中至少有两支配成一对 ”则 表 “4 只人不配对” 从 10 只中任取 4
9、 只，取法有 种，每种取法等可能。410要 4 只都不配对，可在 5 双中任取 4 双，再在 4 双中的每一双里任取一只。取法有25 2138)(1)(2405APC15.十一 将三个球随机地放入 4 个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？记 Ai 表“杯中球的最大个数为 i 个” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有 43 种，每种放法等可能对 A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 432 种。(选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列)616423)(1AP对 A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有 种。342C(从 3 个球中选
10、 2 个球，选法有 ，再将此两个球放入一个杯中，选法有 423C种，最后将剩余的 1 球放入其余的一个杯中，选法有 3 种。694)(32AP对 A3：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。(只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此 3 个球，选法有 4 种)16(3P16.十二 50 个铆钉随机地取来用在 10 个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用 3 只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记 A 表“10 个部件中有一个部件强度太弱” 。法一：用古典概率作：把随机试验 E 看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完 10
11、个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但 10 组钉铆完 10 个部件要分先后次序）对 E：铆法有 种，每种装法等可能32347350CC对 A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有 10323473CC种 051.1960)( 32347503 CP 法二：用古典概率作把试验 E 看作是在 50 个钉中任选 30 个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）7对 E：铆法有 种，每种铆法等可能350A对 A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，30”位置上。这种铆法有种27432743743743 10A 5.9610)(357AP
12、17.十三 已知 。)|(,.0)(,4.0)(,.)( BAPBAP求解一： ASAP )(,6.)(1)(,7.0)(1)(注意 . 故有BP (AB)=P (A) P (A )=0.70.5=0.2。再由加法定理，P (A )= P (A)+ P ( )P ( A )=0.7+0.60.5=0.8BB于是 25.08)()(| 25.06.7051)()()()|( )|()(72)|(75.0)|( |5: BAPBAPBAP ABPAP定 义 故 解 二 由 已 知18.十四 。)(,21)|(,31)|(,41)( BAPBAPBAP求解：由861)()(3142)(|)()|(
13、BPBPAABP 有定 义 由 已 知 条 件由乘法公式，得 1)|由加法公式，得 31264)()( ABPBAP19.十五 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为 7，求其中有一颗为 1 点的概率（用两种方法） 。解：（方法一） （在缩小的样本空间 SB 中求 P(A|B)，即将事件 B 作为样本空间，求事件 A 发生的概率） 。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y） （x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足 x,+y=7，则样本空间为S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每种结果（x, y）等可能。A=掷二
14、骰子，点数和为 7 时，其中有一颗为 1 点。故 3162)(AP方法二：（用公式 )(|(BPAS=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每种结果均可能A=“掷两颗骰子，x, y 中有一个为“1”点” ，B=“掷两颗骰子，x,+y=7” 。则，226)(16)(ABPBP故 316)(|(220.十六 据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P孩子得病=0.6，P (B|A)=P母亲得病|孩子得病=0.5，P (C|AB)=P父亲得病| 母亲及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。9解：所求概率为 P
15、(AB )（注意：由于“母病” ， “孩病” ， “父病”都是随机事件，C这里不是求 P ( |AB)P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P ( |AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6.从而 P (AB )= P (AB) P( |AB)=0.30.6=0.18.21.十七 已知 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（记为事件 A）法一：用组合做 在 10 只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。 62.0458)(210CAP法二：用排列做 在 10 只
16、中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。 4528)(10AP法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记 A1，A 2 分别表第一、二次取得正品。 45289710)|()()221 APAP（2）二只都是次品（记为事件 B）法一： 451)(20CP法二： )(210AB法三： 451902)|()() 12121 APP10（3）一只是正品，一只是次品（记为事件 C）法一： 4516)(2018CP法二： )()2108A法三： 互 斥与且 2121)() APC456908|() 12121 AAP（4）第二次取出的是次品（记为事件 D）法一：因为要注意第一、第二次的
17、顺序。不能用组合作，法二： 51)(2019ADP法三： 互 斥与且 2121)() A519028)|(| PP22.十八 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？记 H 表拨号不超过三次而能接通。Ai 表第 i 次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。1038910 )|()|()|()() 213122321 APAAPHP 三 种 情 况 互 斥11如果已知最后一个数字是奇数（记为事件 B）问题变为在 B 已发生的条件下，求 H再发生的概率。 )|)|( 321
18、21ABPAH)|()|()|(|()|()|( 213121 ABPABP5345424.十九 设有甲、乙二袋，甲袋中装有 n 只白球 m 只红球，乙袋中装有 N 只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版 19 题(1)）记 A1，A 2 分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记 B 表“再从乙袋中取得白球” 。 B=A1B+A2B 且 A1，A 2 互斥 P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)= 1MNmnMNmn十九(2) 第一只盒子装有 5 只红球，4 只白球；第二
19、只盒子装有 4 只红球，5 只白球。先从第一盒子中任取 2 只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。记 C1 为“从第一盒子中取得 2 只红球” 。C2 为“从第一盒子中取得 2 只白球” 。C3 为“从第一盒子中取得 1 只红球，1 只白球” ，D 为“从第二盒子中取得白球 ”，显然 C1，C 2，C 3 两两互斥， C1C 2C 3=S，由全概率公式，有P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)951675294529429 1226.二十一 已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者。
20、今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：A 1=男人，A 2=女人，B=色盲 ，显然 A1A 2=S， A1 A2=由已知条件知 %5.0)|(,5)|(1)(1 BPP由贝叶斯公式，有 2105102)|()|()|)()|( 211111 ABPABPABP二十二 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为 P，若第一次及格则第二次及格的概率也为 P；若第一次不及格则第二次及格的概率为 （1）若2至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。 （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：A i=他第 i 次及格，
21、i=1,2 已知 P (A1)=P (A2|A1)=P， 2)|(12P（1）B=至少有一次及格所以 21两 次 均 不 及 格 )|()()()( 121APAPP|1223)(（2） （*）)()2121(AP定 义由乘法公式，有 P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有 )|()| 121A132)1(P将以上两个结果代入（*）得 12)|(21PA28.二十五 某人下午 5:00 下班，他所积累的资料表明：到家时间 5:355:39 5:405:44 5:455:49 5:505:54 迟于 5:54乘地铁到家的概率0.10 0.25 0.45
22、 0.15 0.05乘汽车到家的概率0.30 0.35 0.20 0.10 0.05某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是 5:47 到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解：设 A=“乘地铁” ，B=“乘汽车” ，C=“5:455:49 到家” ，由题意,AB=, AB= S已知：P ( A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5由贝叶斯公式有 6923.015.42)|(1)|(45.0)(|)|( BCPAC29.二十四 有两箱同种类型的零件。第一箱装 5 只，其中 10 只一等品；第二箱30 只，其中 18 只一等品。今从两箱中任挑出一
23、箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。 （2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：设 Bi 表示“第 i 次取到一等品 ” i=1，214Aj 表示 “第 j 箱产品” j=1,2，显然 A1A 2=S A1A2=（1） （B 1= A1B +A2B 由全概率公式解） 。4.05382501)(BP（2） 4857.0593)()|(1212 （先用条件概率定义，再求 P (B1B2)时，由全概率公式解）32.二十六（2） 如图1，2，3，4，5 表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为 p，且设
24、各继电器闭合与否相互独立，求 L 和 R 是通路的概率。记 Ai 表第 i 个接点接通记 A 表从 L 到 R 是构成通路的。 A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2 四种情况不互斥 P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)P (A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3
25、A4A5)P (A 1A2 A3 A4A5)又由于 A1，A 2， A3， A4，A 5 互相独立。故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3p 4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4+ p5 + p5+ p5+ p5p 5=2 p2+ 3p3 5p4 +2 p5二十六（1）设有 4 个独立工作的元件 1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P 2，P 3，P 4，将它们按图（ 1）的方式联接，求系统的可靠性。记 Ai 表示第 i 个元件正常工作，i=1，2，3，4，53421L R15A 表示系统正常。 A=A1A2A3+ A1A4 两种情况不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+
26、P (A1A4)P (A 1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A 1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P 1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4 独立)34.三十一 袋中装有 m 只正品硬币，n 只次品硬币， （次品硬币的两面均印有国徽） 。在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？解：设“出现 r 次国徽面”=B r “任取一只是正品”=A由全概率公式，有 rrrrr rrrrr nmnmBPAAP n2)21()(|)|( 1)()|
27、()|()( （条件概率定义与乘法公式）35甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为 0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2，被两人击中而被击落的概率为 0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解：高 Hi 表示飞机被 i 人击中，i= 1，2，3。B 1，B 2，B 2 分别表示甲、乙、丙击中飞机 ，三种情况互斥。321321321B三种情况互斥B323H342116又 B1，B 2，B 2 独立。 )()()()( 321321 BPBPHP6.075.60.5.4)()()()( 3213212 BPBPP.054.+ 0.40.5
28、0.7+0.60.50.7=0.41P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.40.50.7=0.14又因： A=H1A+H2A+H3A 三种情况互斥故由全概率公式，有P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3)=0.360.2+0.410.6+0.141=0.45836.三十三 设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏 2%（这一事件记为 A1） ， 10%（事件 A2） ，90% （事件 A3）的概率分别为 P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件
29、都是好的（这一事件记为 B） ，试分别求 P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地） B 表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥由全概率公式，有 P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)=0.8(0.98)3+0.15(0.9)3+0.05(0.1)3=0.86241701.8624.0)(5)(|)()|( 6891)|()(| 731.08624.)(0|)|( 33333 2222111 BPAABPB
30、PP37.三十四 将 A，B，C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为 ，而输出为其它一字母的概率都是(1 )/2。今将字母串 AAAA，BBBB，CCCC 之一输入信道，输入 AAAA，BBBB，CCCC 的概率分别为 p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是 AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）解：设 D 表示输出信号为 ABCA，B 1、B 2、B 3 分别表示输入信号为AAAA， BBBB， CCCC，则 B1、B 2、B 3 为一完备事件组，且 P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。再设 A 发、A 收分别
31、表示发出、接收字母 A，其余类推，依题意有P (A 收 | A 发 )= P (B 收 | B 发 )= P (C 收 | C 发 )=，P (A 收 | B 发 )= P (A 收 | C 发 )= P (B 收 | A 发 )= P (B 收 | C 发 )= P (C 收 | A 发 )= P (C 收 | B 发 )= 21又 P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A 收 | A 发 ) P (B 收 | A 发 ) P (C 收 | A 发 ) P (A 收 | A 发 )= ，22同样可得 P (D | B 2) = P (D | B 3) = 3)1(于
32、是由全概率公式，得 332213 )1()()(|)( Papi ii 由 Bayes 公式，得P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = )(|11B18= )(1232PP二十九 设第一只盒子装有 3 只蓝球，2 只绿球，2 只白球；第二只盒子装有 2 只蓝球，3 只绿球，4 只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。 （1）求至少有一只蓝球的概率， （2）求有一只蓝球一只白球的概率， （3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。解：记 A1、A 2、A 3 分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B 2、B 3 分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球
33、、绿球、白球。（1）记 C=至少有一只蓝球C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5 种情况互斥由概率有限可加性，得 952794739273 )()()()()()( 13123111 3232 BPAPPPBA独 立 性（2）记 D=有一只蓝球，一只白球 ，而且知 D= A1B3+A3B1 两种情况互斥63192743 )()()() 311PBAPBAPD（3） )(5)()()|( DCCDC注 意 到三十 A，B，C 三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B ，C 的电话的概率分别为 。他们三人常因工作外出，A，B，C 三人外1,2出的概率分
34、别为 ，设三人的行动相互独立，求41,2（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了 3个电话，求（3）这 3 个电话打给同一人的概率；（4）这 3 个电话打给不同人的概率；（5）这 3 个电话都打给 B，而 B 却都不在的概率。19解：记 C1、C 2、C 3 分别表示打给 A，B，C 的电话D1、D 2、D 3 分别表示 A，B，C 外出注意到 C1、C 2、C 3 独立，且 51)(,52)(31PP4)(,)(32DP（1）P（无人接电话）=P (D 1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3)= 4（2）记 G=“被呼叫人在办公室” ， 三种情况互
35、斥，由有321CG限可加性与乘法公式 2013453215 )|()|()|()( 3312DPCDPCPDG )()|(kkDPC故否 和 来 电 话 无 关由 于 某 人 外 出 与（3）H 为“这 3 个电话打给同一个人 ” 12575525)( P（4）R 为“这 3 个电话打给不同的人”R 由六种互斥情况组成，每种情况为打给 A，B，C 的三个电话，每种情况的概率为 125452于是 6)(RP（5）由于是知道每次打电话都给 B，其概率是 1，所以每一次打给 B 电话而 B 不在的概率为 ，且各次情况相互独立41于是 P（3 个电话都打给 B，B 都不在的概率）= 64)(320第二
36、章 随机变量及其分布1.一 一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以 X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律解：X 可以取值 3，4，5，分布律为106)4,321,5()5( 3,44 10)2,1,()( 3524352 CPXC中 任 取 两 球再 在号一 球 为 中 任 取 两 球再 在号一 球 为 号两 球 为号一 球 为也可列为下表X： 3， 4，5P： 106,3.三 设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数， （1）求 X 的分布律， （2）画出分布律的
37、图形。解：任取三只，其中新含次品个数 X 可能为 0，1，2 个。352)0(1CP)(3152X)2(315CP再列为下表x1 2OP21X： 0， 1， 2P： 35,4.四 进行重复独立实验，设每次成功的概率为 p，失败的概率为 q =1p(0Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X
38、=3) P (Y=2)= 823213 )3.04.)6.0).0)4.60 CC12 723.(.(.(.)72239.十 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各 4 杯。如果从中挑 4 杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验 10 次，成功 3 次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。 ）解：（1）P ( 一次成功 )= 70148C（2）P (连续试验 10 次，成功 3 次)= 。此概率太小，按103)769(013实际推断原理，就认为他确有区分能力。九
39、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取 10 件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于 2 拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取 524件，仅当 5 件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为 10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率（2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第 2 次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第 1 次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5）这批产品被接受的概率解：X 表示 10 件中次品的个数，Y 表示 5 件中次品的个数，由于产品总数很大，故 XB（10，0.1） ，YB （5，0.1） （近似服从）（1）P X=0=0.
40、9100.349（2）P X2=P X=2+ P X=1= 581.09.9.011082C（3）P Y=0=0.9 50.590（4）P 010)=P (X 11)=0.002840（查表计算）十二 (2)每分钟呼唤次数大于 3 的概率。 560.43十六 以 X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计） ，X 的分布函数是 00,1)(4.xexFX求下述概率：25（1）P 至多 3 分钟；（2）P 至少 4 分钟 ；（3）P 3 分钟至 4 分钟之间；（4）P 至多 3 分钟或至少 4 分钟 ；（5）P恰好 2.5 分钟解：（1）P 至多 3 分钟= P X3 =
41、2.1)(eF（2）P 至少 4 分钟 P (X 4) = 6.41X（3）P3 分钟至 4 分钟之间 = P 32，P ( X3) 若 X N（， 2） ，则 P (2)=1P (| X|3)=1P ( X3)=1 =10.5=0.523（2）决定 C 使得 P (X C )=P (XC) P (X C )=1P ( XC )= P (XC)得 P (XC )= =0.521又 P (XC )= C =3023,5.03查 表 可 得26.二十四 某地区 18 岁的女青年的血压（收缩区，以 mm-Hg 计）服从在该地区任选一 18 岁女青年，测量她的血压 X。求)12,0(N（1）P ( X
42、105)，P (100x) 0.05.解: 384.061.417.0()4167.0()105() 5922)83.(2)65( )5()6029.74129.74129.10.645120 50)(05)()()() Xxx xXP故 最 小 的查 表 得27.二十五 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为 =10.05 ，=0.06 的正态分布。规定长度在范围 10.050.12 内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？设螺栓长度为 XPX 不属于(10.05 0.12, 10.05+0.12)=1P (10.050.12 X10.05+0.12)=1 06.5.1)25.1(06.
43、5.1)25.1(=1 (2)(2)=10.9772 0.0228=0.045628.二十六 一工厂生产的电子管的寿命 X（以小时计）服从参数为=160，( 未知)的正态分布，若要求 P (120X200=0.80，允许 最大为多少？ P (120X200)= 80.4016201620 又对标准正态分布有 (x)=1( x) 上式变为 80.4140解出 9.:便 得再查表，得 25.318.4021.4030.二十七 设随机变量 X 的分布律为：X：2， 1， 0， 1， 3P： ， ， ， ，5650求 Y=X 2 的分布律 Y=X 2：( 2) 2 ( 1)2 (0)2 (1)2 (3
44、)2P： 5161513030再把 X 2 的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数 Y 的分布律为： Y： 0 1 4 9P： 56530131.二十八 设随机变量 X 在（ 0，1）上服从均匀分布（1）求 Y=eX 的分布密度 X 的分布密度为： 为 其 他xf)(Y=g (X) =eX 是单调增函数又 X=h (Y)=lnY，反函数存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y 的分布密度为： 为 其 他yeyhfy01|)(|)(（2）求 Y= 2lnX 的概率密度。 Y= g (X)= 2lnX 是单调减函数又 反函数存在。)Yeh且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0=maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y 的分布密度为： 为 其 他yeyhfyyy00211|)(|)(32.二十九 设 X N（0，1 ）（1）求 Y=eX 的概率密度 X 的概率密度是 xexfx,2)(2Y= g (X)=eX 是单调增函数又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y 的分布密度为：
