2017年高考数学空间几何高考真题.doc

1、第 1 页（共 43 页）2017 年高考数学空间几何高考真题一选择题（共 9 小题）1如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ）A B C D2已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A B C D3在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则（ ）AA 1EDC 1 BA 1EBD CA 1EBC 1 DA 1EAC4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A60 B30 C20 D10第 2 页（共

2、43 页）5某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm2）是（ ）A +1 B +3 C +1 D +36如图，已知正四面体 DABC（所有棱长均相等的三棱锥） ，P、Q、R 分别为AB、BC、CA 上的点，AP=PB ， = =2，分别记二面角DPRQ，DPQ R，D QRP 的平面角为 、，则（ ）A B C D 7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）第 3 页（共 43 页）A90 B63 C42 D361某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等

3、腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A10 B12 C14 D162已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=120，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D二填空题（共 5 小题）8已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为 9长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为

4、 10已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 11由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 第 4 页（共 43 页）12如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是 三解答题（共 9 小题）13如图，在四棱锥 PABCD 中，AB CD ，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，且四棱锥 PABCD 的体积为 ，求该四棱锥的侧面积14如图，四棱锥 PA

5、BCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90（1）证明：直线 BC平面 PAD；（2）若PCD 面积为 2 ，求四棱锥 PABCD 的体积第 5 页（共 43 页）15如图四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD=CD （1）证明：ACBD；（2）已知ACD 是直角三角形，AB=BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且AE EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比16如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1 的长为 5（1）求三棱柱

6、 ABCA1B1C1 的体积；（2）设 M 是 BC 中点，求直线 A1M 与平面 ABC 所成角的大小17如图，在三棱锥 PABC 中，PA AB ，PABC， ABBC，PA=AB=BC=2 ，D为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点（1）求证：PABD ；（2）求证：平面 BDE平面 PAC；（3）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积第 6 页（共 43 页）18如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3 ，CD=4，PD=2（）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；（）求证：PD平面 PBC；（）求直线 AB

7、与平面 PBC 所成角的正弦值19如图，已知四棱锥 PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD，CDAD ，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点（）证明：CE平面 PAB；（）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值20由四棱柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱锥 C1B1CD1 后得到的几何体如图所示，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A 1E平面ABCD，（）证明：A 1O平面 B1CD1；第 7 页（共 43 页）（）设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD121如图，在三棱锥

8、ABCD 中，AB AD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点E、 F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD 求证：（1）EF平面 ABC；（2）ADAC3如图，在四棱锥 PABCD 中，AB CD ，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角 APBC 的余弦值4如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 AB

9、CD 所成角为 45，求二面角MABD 的余弦值第 8 页（共 43 页）5如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值6如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC，PA=PD= ，AB=4（1）求证：M 为 PB 的中点；（2）求二面角 BPDA 的大小；（3）求直线 MC 与平面 BDP

10、所成角的正弦值7如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，BAC=90 点 D，E ，N 分别为棱 PA， PC，BC 的中点， M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2（）求证：MN平面 BDE；（）求二面角 CEMN 的正弦值；第 9 页（共 43 页）（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，求线段 AH 的长8如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120得到的，G 是 的中点（）设 P 是 上的一点，且 APBE ，求CBP 的大小； （）当 AB=3，AD=2 时，求二面角

11、EAGC 的大小第 10 页（共 43 页）2017 年高考数学空间几何高考真题参考答案与试题解析一选择题（共 7 小题）1如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ）A B C D【解答】解：对于选项 B，由于 ABMQ，结合线面平行判定定理可知 B 不满足题意；对于选项 C，由于 ABMQ，结合线面平行判定定理可知 C 不满足题意；对于选项 D，由于 ABNQ，结合线面平行判定定理可知 D 不满足题意；所以选项 A 满足题意，故选：A2已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的

12、同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A B C D【解答】解：圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径 r= = ，第 11 页（共 43 页）该圆柱的体积：V=Sh= = 故选：B3在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则（ ）AA 1EDC 1 BA 1EBD CA 1EBC 1 DA 1EAC【解答】解：法一：连 B1C，由题意得 BC1B 1C，A 1B1平面 B1BCC1，且 BC1平面 B1BCC1，A 1B1BC 1，A 1B1B 1C=B1，BC 1 平面 A1ECB1，A 1E平面 A1ECB1，A

13、1E BC1故选：C法二：以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1 中棱长为 2，则 A1（2，0 ，2） ，E （0，1，0） ，B （2 ，2，0） ，D（0，0，0） ，C 1（0，2，2） ，A（2 ，0 ，0） ，C （0，2，0 ） ，=（ 2，1，2） ， =（0，2，2） ， =（2，2，0） ，=（ 2，0，2） ， =（ 2，2，0） ， =2， =2， =0， =6，A 1E BC1第 12 页（共 43 页）故选：C4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A60 B30

14、 C20 D10【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积= =10故选：D5某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：第 13 页（共 43 页）cm2）是（ ）A +1 B +3 C +1 D +3【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为 1，三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为 3，故该几何体的体积为 123+ 3= +1，故选：A6如图，已知正四面体 DABC（所有棱长均相等的三棱锥） ，P、Q、R 分别为AB、BC、CA 上的点，AP=PB ， = =2，分别记

15、二面角DPRQ，DPQ R，D QRP 的平面角为 、，则（ ）第 14 页（共 43 页）A B C D 【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系设底面ABC 的中心为O不妨设 OP=3则 O（0， 0，0） ，P（0，3，0） ，C（0， 6，0） ，D（0，0，6 ） ，Q ，R ，= ， =（0，3，6 ） ， =（ ，5，0） ， =，= 设平面 PDR 的法向量为 =（x，y ，z） ，则 ，可得 ，可得 = ，取平面 ABC 的法向量 =（0，0，1） 则 cos = = ，取 =arccos 同理可得：=arccos =arccos 解法二：如图所示，连接 OP，OQ ，O

16、R ，过点 O 分别作垂线：OEPR，OF PQ，OGQR，垂足分别为 E，F ，G，连接 DE，DF，DG设 OD=h则 tan= 同理可得：tan= ，tan= 第 15 页（共 43 页）由已知可得：OEOGOFtantantan， ， 为锐角故选：B7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）第 16 页（共 43 页）A90 B63 C42 D36【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，V=3210 326=63，故选：B1某多面体的三视图如图所示，其中

17、正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A10 B12 C14 D16第 17 页（共 43 页）【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S 梯形 = 2（2+4）=6，这些梯形的面积之和为 62=12，故选：B2已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=120，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D【解答】解：【解法一】如图所示，设 M、N、P 分别为 AB，BB 1 和 B1C1 的中点，则

18、AB1、BC 1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角（因异面直线所成角为（0， ） ，可知 MN= AB1= ，NP= BC1= ；作 BC 中点 Q，则PQM 为直角三角形；PQ=1，MQ= AC，ABC 中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcos ABC=4+1221（ ）=7，第 18 页（共 43 页）AC= ，MQ= ；在MQP 中， MP= = ；在PMN 中，由余弦定理得cosMNP= = = ；又异面直线所成角的范围是（0， ，AB 1 与 BC1 所成角的余弦值为 【解法二】如图所示，补成四棱柱 ABCDA1B1C1D1，求BC 1D 即可；BC1= ，BD=

19、= ，C1D= ， +BD2= ，DBC 1=90，cosBC 1D= = 第 19 页（共 43 页）二填空题（共 5 小题）8已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为 36 【解答】解：三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径，若平面 SCA 平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，可知三角形 SBC 与三角形 SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为 r，可得 ，解得 r=3球 O 的表

20、面积为：4r 2=36故答案为：369长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 14 【解答】解：长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，所以球的半径为： = 则球 O 的表面积为：4 =14故答案为：14第 20 页（共 43 页）10已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 【解答】解：设正方体的棱长为 a，这个正方体的表面积为 18，6a 2=18，则 a2=3，即 a= ，一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，

21、即 a=2R，即 R= ，则球的体积 V= （ ） 3= ；故答案为： 11由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 2+ 【解答】解：由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积V1=211=2，圆柱的底面半径为 1，高为 1，则圆柱的体积 V2= 121= ，则该几何体的体积 V=V1+2V1=2+ ，故答案为：2+ 第 21 页（共 43 页）12如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是 【解答】解：设球的半径为 R，则球的体积为： R3，圆柱的体

22、积为：R 22R=2R3则 = = 故答案为： 三解答题（共 9 小题）13如图，在四棱锥 PABCD 中，AB CD ，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，且四棱锥 PABCD 的体积为 ，求该四棱锥的侧面积【解答】证明：（1）在四棱锥 PABCD 中，BAP=CDP=90 ，ABPA，CDPD，第 22 页（共 43 页）又 ABCD，ABPD，PA PD=P，AB平面 PAD，AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAD解：（2）设 PA=PD=AB=DC=a，取 AD 中点 O，连结 PO，PA=PD=AB=DC，A

23、PD=90，平面 PAB平面 PAD，PO底面 ABCD，且 AD= = ，PO= ，四棱锥 PABCD 的体积为 ，V PABCD= = = = ，解得 a=2，PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2 ，PO= ，PB=PC= =2 ，该四棱锥的侧面积：S 侧 =S PAD+S PAB+SPDC +SPBC= + + +=6+2 14如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90（1）证明：直线 BC平面 PAD；（2）若PCD 面积为 2 ，求四棱锥 PABCD 的体积第 23 页（共 43 页）【解答】 （1）证

24、明：四棱锥 PABCD 中，BAD=ABC=90 BCAD，AD 平面 PAD，BC平面 PAD，直线 BC平面 PAD；（2）解：四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90设 AD=2x，则 AB=BC=x，CD= ，O 是 AD 的中点，连接 PO，OC，CD 的中点为： E，连接 OE，则 OE= ，PO= ，PE= = ，PCD 面积为 2 ，可得： =2 ，即： ，解得 x=2，PE=2 则 V PABCD= （BC+AD）ABPO= =4 15如图四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD=CD （1）证明：

25、ACBD；（2）已知ACD 是直角三角形，AB=BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且AE EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比第 24 页（共 43 页）【解答】证明：（1）取 AC 中点 O，连结 DO、BO，ABC 是正三角形，AD=CD，DOAC，BOAC，DOBO=O，AC平面 BDO，BD平面 BDO，AC BD解：（2）法一：连结 OE，由（1）知 AC平面 OBD，OE平面 OBD，OEAC ，设 AD=CD= ，则 OC=OA=1，E 是线段 AC 垂直平分线上的点， EC=EA=CD= ，由余弦定理得：cosCBD= = ，即 ，解得 BE=1

26、 或 BE=2，BE BD=2，BE=1，BE=ED ，四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h，BE=ED， SDCE =SBCE ，四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1法二：设 AD=CD= ，则 AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= = ，BO 2+DO2=BD2，BO DO，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（ 1，0， 0） ，D（0，0，1） ，B（0， ，0） ，A（1，0，0） ，第 25 页（共 43 页）设 E（a ，b，c） ， ， （0

27、 1） ，则（a，b，c1）= （0， ，1） ，解得 E（0， ，1） ， =（ 1， ） ， =（ 1， ） ，AE EC， =1+32+（1 ） 2=0，由 0，1，解得 ，DE=BE，四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h，DE=BE， SDCE =SBCE ，四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 116如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1 的长为 5（1）求三棱柱 ABCA1B1C1 的体积；（2）设 M 是 BC 中点，求直线 A1M 与平面 ABC

28、 所成角的大小第 26 页（共 43 页）【解答】解：（1）直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1 的长为 5三棱柱 ABCA1B1C1 的体积：V=SABC AA1= =20（2）连结 AM，直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1 的长为 5，M 是 BC 中点，AA 1底面 ABC，AM= = ，A 1MA 是直线 A1M 与平面 ABC 所成角，tanA 1MA= = = ，直线 A1M 与平面 ABC 所成角的大小为 arctan 17如图

29、，在三棱锥 PABC 中，PA AB ，PABC， ABBC，PA=AB=BC=2 ，D为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点（1）求证：PABD ；（2）求证：平面 BDE平面 PAC；（3）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积第 27 页（共 43 页）【解答】解：（1）证明：由 PAAB，PABC，AB平面 ABC，BC平面 ABC，且 ABBC=B，可得 PA平面 ABC，由 BD平面 ABC，可得 PABD；（2）证明：由 AB=BC，D 为线段 AC 的中点，可得 BDAC，由 PA 平面 ABC，PA 平面 PAC，可得平面 PAC平面 ABC，又平面

30、ABC平面 ABC=AC，BD平面 ABC，且 BDAC，即有 BD平面 PAC，BD平面 BDE，可得平面 BDE平面 PAC；（3）PA平面 BDE，PA平面 PAC，且平面 PAC平面 BDE=DE，可得 PADE，又 D 为 AC 的中点，可得 E 为 PC 的中点，且 DE= PA=1，由 PA 平面 ABC，可得 DE平面 ABC，可得 SBDC = SABC = 22=1，则三棱锥 EBCD 的体积为 DESBDC = 11= 第 28 页（共 43 页）18如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3 ，CD=4，PD=2（）求异面直线

31、 AP 与 BC 所成角的余弦值；（）求证：PD平面 PBC；（）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值【解答】解：（）如图，由已知 ADBC，故DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角因为 AD平面 PDC，所以 ADPD在 RtPDA 中，由已知，得 ，故 所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 证明：（）因为 AD平面 PDC，直线 PD平面 PDC，所以 ADPD又因为 BCAD，所以 PDBC，又 PDPB ，所以 PD平面 PBC解：（）过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，第 29 页（共 43 页）则 DF 与平面 PBC 所

32、成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角因为 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角由于 ADBC，DF AB，故 BF=AD=1，由已知，得 CF=BCBF=2又 ADDC，故 BCDC，在 RtDCF 中，可得 所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 19如图，已知四棱锥 PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD，CDAD ，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点（）证明：CE平面 PAB；（）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值【解答】证明：（）取 AD

33、的中点 F，连结 EF，CF，E 为 PD 的中点，EFPA，在四边形 ABCD 中，BC AD，AD=2DC=2CB ，F 为中点，CF AB， 平面 EFC 平面 ABP，EC平面 EFC，第 30 页（共 43 页）EC平面 PAB解：（）连结 BF，过 F 作 FMPB 于 M，连结 PF，PA=PD， PFAD ，推导出四边形 BCDF 为矩形， BFAD ，AD平面 PBF，又 ADBC，BC 平面 PBF，BC PB，设 DC=CB=1，则 AD=PC=2，PB= ，BF=PF=1，MF= ，又 BC 平面 PBF，BC MF，MF 平面 PBC，即点 F 到平面 PBC 的距离为 ，MF= ，D 到平面 PBC 的距离应该和 MF 平行且相等，为 ，E 为 PD 中点，E 到平面 PBC 的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，E 到平面 PBC 的距离为 ，在 ，由余弦定理得 CE= ，设直线 CE 与平面 PBC 所成角为 ，则 sin= = 20由四棱柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱锥 C1B1CD1 后得到的几何体如图所示，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A 1E平面