1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 ， ，则（A）1,3 （B）3,5 （C ）5,7 （D ）1,7(2)设 的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a=（A）3 （B）2 （C）2 （D）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A） （B） （C） （D）（4）ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c.已知 ， ， ，则 b=（
2、A） （ B） （C）2 （D）3（5 ）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的 l 距离为其短轴长的Error!，则该椭圆的离心率为（A） （B） （C） （D）31213243（6 ）若将函数 y=2sin (2x+)的图像向右平移Error!个周期后，所得图像对应的函数为（A）y=2sin(2x+ ) （B）y=2sin(2x+ ) （C）y=2sin(2x ) （D）y=2sin(2x ) 4343（7 ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ，则它的表面积是328（A）17 （B）18 （C ）20 （D）28 （8
3、 ）若 ab0，0cb（9 ）函数 y=2x2e|x|在2,2的图像大致为（A） （B）（C ） （D）（10 ）执行右面的程序框图，如果输入的 n=1,则输出 的值满足（A）（B）（C ）（D）（11 ）平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A， , ，则 m，n 所成角的正弦值为（A） （B ） （C） （D）（12 ）若函数 在 单调递增，则 a 的取值范围是（A） （B） （C） （D）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分（13 ）设向量 a=(x，x+1)，b=(1，2)，且 a b，则 x= （14 ）已知 是第四象限角，且 sin(+ )= ，则 tan(
4、)= .（15 ）设直线 y=x+2a 与圆 C： x2+y2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若 ，则圆 C 的面积为 32（16 ）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。 该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元。三.解答题：解答应写出文字说
5、明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分 12 分）已知 是公差为 3 的等差数列，数列 满足 ，.（I）求 的通项公式；（II）求 的前 n 项和.18.（本题满分 12 分）如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.（I）证明 G 是 AB 的中点；（II）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由） ，并求四面体 PDEF 的体积（19 ） （本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有
6、一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元） ， 表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若 =19，求 y 与 x 的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于 ”的频率不小于 0.5，求 的最小值；（III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个
7、易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？（20 ） （本小题满分 12 分）在直角坐标系 中，直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C： 于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H.（I）求 ；（II）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.（21 ） （本小题满分 12 分）已知函数. 2)1(2)(xaexf）（(I)讨论 的单调性；(II)若 有两个零点，求 的取值范围.)(x
8、f请考生在 2224 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。（22 ） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120.以 O 为圆心， OA 为半径作圆.21(I)证明：直线 AB 与O 相切；(II)点 C,D 在 O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：ABCD.（23 ） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a0） 。在以坐标原点为极yxsin1co点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos .（I）说明 C1 是哪一种曲线，并
9、将 C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3 的极坐标方程为 =0，其中 0 满足 tan0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求a。（24 ） （本小题满分 10 分） ，选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)= x +1- 2x-3.（I）画出 y= f(x)的图像；（II）求不等式f(x) 1 的解集。2016 年全国卷一文科数学参考答案第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）B (2) A （3）C （4）D （5）B （6）D（7）A （8）B （9）D （10）C （11）A （12）
10、C第 II 卷二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分.（13） 23（14） 4（15） 4 （16） 2160 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （I）由已知， 1212,3abb得 1212,3ab得 1a，所以数列 n是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 n.（II）由（I）和 1nnab ，得 13nb，因此 n是首项为 1，公比为 3的等比数列.记 n的前 项和为 nS，则11()3.2nnS（18） （I）因为 P在平面 ABC内的正投影为 D，所以 .ABP因为 D在平面 PAB内的正投影为 E，所以 .ABDE所以 平面 ，故 .
11、PG又由已知可得， PAB，从而 G是 A的中点. （II）在平面 内，过点 E作 P的平行线交 于点 F， 即为 E在平面 PAC内的正投影.理由如下：由已知可得 ， C，又 /EPB,所以 ,因此EF平面 C，即点 F为 在平面 内的正投影 . 连接 G，因为 P在平面 AB内的正投影为 D， 所以 是正三角形 的中心.由（I）知， 是 的中点，所以 在 G上，故 2.3由题设可得 平面 ， E平面 PAB，所以 /EPC， 因此21,.3PEGDPC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 6，可得 2,.D 在等腰直角三角形 F中，可得 2.EPF所以四面体 PE的体积 1433V（19）
12、 （I）分 x19 及 x.19，分别求解析式；（II）通过频率大小进行比较；（III）分别求出您9，n=20 的所需费用的平均数来确定。试题解析：（）当 19x时， 380y；当 19x时，57)(5038y，所以 y与 的函数解析式为)(,19,7,Nxx.（）由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的概率为 0.46，不大于 19 的概率为 0.7，故n的最小值为 19.（）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800，20 台的费用为 4300，10 台的费用为 4800，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费
13、用的平均数为 405)15904(1.比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.（20） （）由已知得 ),0(tM， ),2(tpP.又 N为 M关于点 P的对称点，故 ),(2tpN， O的方程为 xtpy，代入 pxy2整理得02xtp，解得 1x， t2，因此 )2,(tH.所以 N为 OH的中点，即 |N.（）直线 M与 C除 以外没有其它公共点.理由如下：直线 的方程为 xtpy2，即 )(ty.代入 px2得 0422ty，解得 ty21，即直线 H与 只有一个公共点，所以除 H以外直线 M与 C没有其它公共点.（21） (I) 1212.x xfxea
14、ea(i)设 0a，则当 ,时， 0f；当 1,时， 0fx.所以在 ,单调递减，在 单调递增. (ii)设 ，由 0fx得 x=1 或 x=ln(-2a).若 2ea，则 1xfe，所以 fx在 ,单调递增.若 ，则 ln(-2a)1,故当 ,ln21,a时， 0fx；当 ln2,1xa时， 0fx，所以 fx在 ,l,单调递增，在单调递减.若 2ea，则 1lna，故当 ,1ln2,xa时， 0fx，当1,lx时， 0f，所以 f在 ,l,单调递增，在na单调递减.(II)(i)设 0，则由(I)知， fx在 ,1单调递减，在 1,单调递增.又 12fefa， ，取 b 满足 b0 且 l
15、n2a，则 2310fb，所以 fx有两个零点.(ii)设 a=0，则 xfxe所以 f有一个零点.(iii)设 a0，若 2，则由(I)知， f在 1,单调递增.又当 1x时， fx0，故 fx不存在两个零点；若 2ea，则由(I)知， fx在,ln2a单调递减，在 ln2,a单调递增.又当 1x时 f0，故 f不存在两个零点.综上，a 的取值范围为 0,.（22） （）设 E是 AB的中点，连结 OE，因为 ,120O，所以 AB， 60OE在 Rt中， ，即 到直线 的距离等于圆 的半径，所以直线 AB与相切 EOD COBA（）因为 2D，所以 不是 ,ACD四点所在圆的圆心，设 O是
16、 ,ABCD四点所在圆的圆心，作直线 由已知得 O在线段 AB的垂直平分线上，又 O在线段 B的垂直平分线上，所以同理可证， C所以 /（23） cos1inxaty（ t均为参数） 22 1C为以 0， 为圆心， a为半径的圆方程为 2210xya 22sinxy， 2si10a即为 1C的极坐标方程 24coC：两边同乘 得 222cscosxyx，24xy即 23C：化为普通方程为 yx由题意： 1和 2的公共方程所在直线即为 3C得： 240xya，即为 20a 1（24）如图所示： 41332xfx， ， 1fx当 ， 4，解得 5x或 3 当 312x， 1，解得 或 1x或 当 32x ， 41x，解得 5x或 3 或 5综上， 3x或 1x或f，解集为 135， ， ，
