1、12013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1） 【2013 年北京，理 1，5 分】已知集合 ， ，则 （ ）10A， ， |1Bx AB（A） （B） （C） （D ）0， 0， 10， ，【答案】B【解析】 ，故选 B, ,|0x（2） 【2013 年北京，理 2，5 分】在复平面内，复数 对应的点位于（ ）2i（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】D【解析】 ，该复数对应的点位于第四象限，故选
2、 D2()i34i（3） 【2013 年北京，理 3，5 分】 “ ”是“曲线 过坐标原点”的（ ）sin2yx（A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 ， ，曲线过坐标原点，故充分性成立； 过sin2si2()yxx (sin2)yx原点， ， ， 故必要性不成立，故选 Asi0kZ（4） 【2013 年北京，理 4，5 分】执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）S（A）1 （B） （C） （D ）23132610987【答案】C【解析】依次执行的循环为 ， ； ， ； ， ，故选 C1Si0Si1Si（5） 【20
3、13 年北京，理 5，5 分】函数 的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 关于fx exy轴对称，则 （ ）yfx（A） （B） （C） （D）1ex 1ex 1ex 1x【答案】D【解析】依题意， 向右平移 1 个单位之后得到的函数应为 ，于是 相当于 向左平移 1 个f xyfxxye单位的结果， ，故选 Dxf（6） 【2013 年北京，理 6，5 分】若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）21yab3（A） （B ） （C） （D）2yxx12yx2yx【答案】B【解析】由离心率为 ，可知 ， 渐近线方程为 ，故选 B33ca2ba2bxa（7） 【2013 年北京，
4、理 7，5 分】直线 过抛物线 的焦点且与 轴垂直，则 与 所围成的图形的面l:4xyylC积等于（ ）（A） （B）2 （C ） （D ）43 8316232【答案】C【解析】由题意可知， 的方程为 如图， 点坐标为 ， l1yB2,1所求面积 ，故选 C23200 844xxSd（8） 【2013 年北京，理 8，5 分】设关于 ， 的不等式组 ，表示的平面区域内存在点 ，y0xym 0Pxy，满足 ，求得 的取值范围是（ ）02xym（A） （B） （C） （D）43， 13， 23， 53，【答案】C【解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含 上的点，只需要可行域的边界点12yx
5、在 下方，也就是 ，即 ，故选 C()m， 12yxm3第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9） 【2013 年北京，理 9，5 分】在极坐标系中，点 到直线 的距离等于 26， sin2【答案】 1【解析】在极坐标系中，点 对应直角坐标系中坐标为 ，直线 对应直角坐标系中的方程为2,63,1si，所以点到直线的距离为 12y（10） 【2013 年北京，理 10，5 分】若等比数列 满足 ， ，则公比 ；前 项na240a3540aqn和 nS【答案】2； 1【解析】由题意知 由 ， 352402aq22241()(q1212nnS（1
6、1） 【2013 年北京，理 11，5 分】如图， 为圆 的直径， 为圆 的切线， 与圆 相ABOPAOPBO交于 ，若 ， ，则 _； _D3PA:9:16DPDB【答案】 ，954【解析】设 ，则 由切割线定理可得， ，即 ，k0()Bk2D2395k可得 ， 在 中，AB= 195RtA4PA（12） 【2013 年北京，理 12，5 分】将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是_【答案】96【解析】连号有 4 种情况，从 4 人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有 1
7、3496CA(种) （13） 【2013 年北京，理 13，5 分】向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若abc，则 _cabR， abc3【答案】4【解析】可设 ， ， 为单位向量且 ，则 ， 由aijij62bij3cij，()()62cbj ，解得 ， 12314（14） 【2013 年北京，理 14，5 分】如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中1ABCDEBC点，点 在线段 上，点 到直线 的距离的最小值为_P1DEP1C【答案】 25【解析】过 点作 垂直底面 ，交 于点 ，连接 ，过 点作 垂直于底面 11AB11E1PH，交 于点 ， 点到直线 CC1 的距离就是
8、 ，故当 垂直于 时，1ABCHC11DE点到直线 距离最小，此时，在 中， ， ，P1 RtD11HDEC 125H三、解答题：共 6 题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） 【2013 年北京，理 15，13 分】在 中， ， ， ABC3a26b2BA（1）求 的值；cosA（2）求 的值解：（1）因为 ， ， ，所以在 中，由正弦定理得 3a26b236sini2所以 故 sincoAcos63A（2）由（1）知，cos A= ，所以 又因为 ，所231cossinA2BA以 2cos13B在 中， 2consiBBC 5sinsincosin3() 9CBAs
9、5iaCcA（16） 【2013 年北京，理 16，13 分】下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市，并停留 2 天（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 的分布列与数学期XX望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）解：设 表示事件“此人于 3 月 日到达该市” 根据题意， ，且 iAi1,2)3(i， ， 13iPAijAij（1）设
10、为事件“ 此人到达当日空气重度污染 ”，则 B 58BA58582()13BP（2）由题意可知， 所有可能取值为 0,1,2，且 ；X01()()12PXX；367136714()()1 3PAEPDCBA C1B1A1D1指指指14指312指10指98指76指54指32指10 7986158126021740160201435786501502504所以 X 的分布列为：12131212134()()2PXAPAPAX 0 1 2P 543故 X 的期望 54201331E（3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大（17） 【2013 年北京，理 17，14 分】如图，在三棱
11、柱 中， 是边长为 4 的正方1ABC1AC形平面 平面 ， ， ABC1 5（1）求证： 平面 ；1（2）求证二面角 的余弦值1B（3）证明：在线段 上存在点 ，使得 ，并求 的值D1AB1DC解：（1）因为 为正方形，所以 因为平面 平面 ，且 垂直于这两个平面的1AC1C1A1交线 ，所以 平面 1B（2）由（1）知 ， 由题知 ， ， ，所以 1A3AB54BAC如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ，xyz0,1,01,34设平面 的法向量为 ，则 ，即 14,0C1C()n， ， 1ABCn0yzx令 ，则 ， ，所以 同理可得，平面 的法向量为3zx4y0,43,
12、m所以 cosn， m= 由题知二面角 为锐角，16cos,|25n11AB所以二面角 的余弦值为 11ABC（3）设 是直线 上一点，且 ，所以 ()Dxyz， ， 1BDC343,()()xyz， ， ，解得 ， ， 所以 由 ，即 ，解得434z4(3A， ， 10D9250因为 ，所以在线段 上存在点 ，使得 此时， 9250,11AB1C（18） 【2013 年北京，理 18，13 分】设 为曲线 在点 处的切线lln:xy1,0（1）求 的方程；l（2）证明：除切点 之外，曲线 在直线 的下方1,0Cl解：（1）设 ，则 所以 所以 的方程为 lnxf2lnxf1fL1yx（2）令
13、 ，则除切点之外，曲线 在直线 的下方等价于 g ()01gx，满足 ，且 当 时， ， ，所以x102ln1xxgf 02ln，0故 单调递减；当 时， ， ，所以 ，故 单调递增g20lggx所以， 所以除切点之外，曲线 在直线 的下方101()xx， CL（19） 【2013 年北京，理 19，14 分】已知 是椭圆 上的三个点， 是坐标原点,ABC2:1xWyOC 1 B1A1ABC5（1）当点 是 的右顶点，且四边形 为菱形时，求此菱形的面积；BWOABC（2）当点 不是 的顶点时，判断四边形 是否可能为菱形，并说明理由解：（1）椭圆 右顶点 B 的坐标为 因为四边形 为菱形，所以
14、与 相互垂直平214xy： 2,0OABCACOB分所以可设 ，代入椭圆方程得 ，即 ()Am， 214m32所以菱形 的面积是 OBC2OBAC（2）假设四边形 为菱形因为点 不是 的顶点，且直线 不过原点，所以可设 的方程为WACAC由 ，消 并整理得 0)(ykx，24xykmy22()14840kxm设 ， ，则 ， 1)A， 2Cxy， 12212 21k所以 的中点为 因为 为 和 的交点，所以直线 的斜率为 224,MkMACOBOB14k因为 ，所以 与 不垂直所以 不是菱形，与假设矛盾14kAOB所以当点 不是 的顶点时，四边形 不可能是菱形BW（20） 【2013 年北京，
15、理 20，13 分】已知 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，na nnA第 项之后各项 的最小值记为 ， n12,na nndAB（1）若 为 ，是一个周期为 4 的数列（即对任意 ， ） ，写出43, *N4na的12,d值；（2）设 是非负整数，证明： 的充分必要条件为 是公差为 的等差数列；1,23nd nd（3）证明：若 ， ，则 的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为 11a,n na解：（1） ， 12d34d（2） （充分性）因为 是公差为 的等差数列，且 ，所以 n 0d12naa 因此 ， ， nA1B1,23()nna，（必要性）因为 ，所以 又因为 ， ，所以(0,23)n， nnABnA1nB1na于是， ， ，因此 ，即 是公差为 的等差数列na1n1nnndnad（3）因为 ， ，所以 ， 故对任意 ， 121dAa111假设 中存在大于 2 的项设 为满足 的最小正整数，则 ，并且对任意 ，nm2ma2m1km又因为 ，所以 ，且 于是， ，ka1a1ABAd故 ，与 矛盾1mmBi， 10mdB1md所以对于任意 ，有 ，即非负整数列 的各项只能为 1 或 2n2nna因为对任意 ， ，所以 故 12nn因此对于任意正整数 ，存在 满足 ，且 ，即数列 有无穷多项为 1mna
