1、1第三章 扭转 习题解习题 3-1 一传动轴作匀速转动，转速 ，轴上装有五个轮子，主动轮 II 输min/20r入的功率为 60 ，从动轮，I，III，IV，V 依次输出 18 ，12 ，22 和kWkWk8 。试作轴的扭图。k解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩）nNTke5.9外力偶矩计算(kW 换 算成 kN.m)题目编号 轮子编号 轮子作用 功率(kW) 转速 r/min Te（kN.m）I 从动轮 18 200 0.859 II 主动轮 60 200 2.865 III 从动轮 12 200 0.573 IV 从动轮 22 200 1.051 习题 3-1V 从动轮 8 200 0.
2、382(2) 作扭矩图习题 3-2 一钻探机的功率为 10kW，转速 。钻杆钻入土层的深度 。min/180rml40如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度 ，并作钻杆的扭矩图。解：（1）求分布力偶的集度 m)(530.185499kNnNMke 设钻杆轴为 轴，则：xxMeml )/(013.45. mkNl（2）作钻杆的扭矩图T 图 (kN.m)2。xxlMmxTe013.)(40,； 0)(5.)4(mkNTe扭矩图如图所示。习题 3-3 圆轴的直径 ，转速为 120r/min。若该轴横截面上的最大切应力等于md5060 ，试问所传递的功率为多大？MPa解：（1）计
3、算圆形截面的抗扭截面模量： )(245149.361 333 mWp （2）计算扭矩2max/0mNTp )(473.11476045/632 mkN（3）计算所传递的功率)(.9. mkNnMTke 5.184./20473.1WNk 习题 3-4 空心钢轴的外径 ，内径 。已知间距为 的两横Dd50ml7.2截面的相对扭转角 ，材料的切变模量 。试求：o.GPa（1）轴内的最大切应力；（2）当轴以 的速度旋转时，轴所传递的功率。min/80r解；（1）计算轴内的最大切应力。)(920387)5.1(01459.32)1(3 4444 mDIp 66 33W式中， 。d/，pGIlTmmNl
4、 270920387/81/459.3814mN.560)(.k3MPamNWTp 518.46184075.633max （2）当轴以 的速度旋转时，轴所传递的功率in/r)(56.80599mkNMTkke )(74.1./80563. WNk 习题 3-5 实心圆轴的直径 ，长 ，其两端所受外力偶矩 ，mdl mkNMe14材料的切变模量 。试求：GPa（1）最大切应力及两端面间的相对转角；（2）图示截面上 A、B、C 三点处切应力的数值及方向；（3）C 点处的切应变。解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角。peWMTmax式中，。故：)(196340145.361 33 mdp
5、MPaNpe 2.7936maxpGIlT式中， 。故： )(9817460145.3231 444 md op radmNIlT 02.1025.9876/084129 （2）求图示截面上 A、B、C 三点处切应力的数值及方向MPaA32.71ax由横截面上切应力分布规律可知： BC6.50.521A、B、C 三点的切应力方向如图所示。（3）计算 C 点处的切应变343 106.1057.1086. MPaG4习题 3-6 图示一等直圆杆，已知 ， ， ， 。md40a0GPa80oDB1试求：（1）最大切应力； （2）截面 A 相对于截面 C 的扭转角。解：（1）计算最大切应力从 AD 轴
6、的外力偶分布情况可知：， 。eCDABMT0BCpepepCBpDpi GIaMIaGIlTIlGIl 0ae式中， 。故：)(251374019.3231 44 mdIp NmNaGMe 8296./80peWmax式中， 。故：)(12564019.361 333 mdMPamNMpe 8.258793max（2）计算截面 A 相对于截面 C 的扭转角oDBpeppepBCpABpiC GIaIGIlTIlGIlT 220习题 3-7 某小型水电站的水轮机容量为 50 ，转速为 300r/min，钢轴直径为 75mm，kW若在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力 。试校核轴的强度。MP
7、a2解：（1）计算最大工作切应力peTWMmax式中， ；)(592.1305.94. mkNnNke 5。 )(12567149.361 333 mdWp 故： MPamNMpe .82503max（2）强度校核因为 ， ，即 ，所以轴的强度足够，Pa19.ax20max不会发生破坏。习题 3-8 已知钻探机钻杆（参看题 3-2 图）的外径 ，内径 ，功率D60md50，转速 ，钻杆入土深度 ，钻杆材料的kWP35.7min/80rl4，许用切应力 。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，GMa80Ma4试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 ；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；
8、（3）两端截面的相对扭转角。解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 m)(390.185.749.5.9kNnNMke 设钻杆轴为 轴，则：xxMeml )/(0975.43. mkNl（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核作钻杆扭矩图。xxmxT0975.43.)(40,； 0)(3)(mkNMTe扭矩图如图所示。强度校核 peWmax式中， )(21958)60(11459.36)1(6 34343 mDMPamNMpe 7.295803max6因为 ， ，即 ，所以轴的强度足够，MPa761.maxa40max不会发生破坏。（3）计算两端截面的相对扭转角 40)(pGIdxT式中，
9、)(65872)0(161459.32)1(32 4444 mD 400 122640 /089.97.|)(| xmkNxdIIdxTpp 05.8)(1.ra习题 3-9 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 F 均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力 ，MPa40试求：（1）AB 轴的直径；（2）绞车所能吊起的最大重量。解：（1）计算 AB 轴的直径AB 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶矩相等：)(08.42.mkNMee 右左16右主 动 轮扭矩图如图所示。由 AB 轴的强度条件得：3maxdWepe右右 mNMde 7.21/40159.861633 右
10、（2）计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等：35.0.从 动 轮主 动 轮 ee)(28.162. mkNMe 从 动 轮由卷扬机转筒的平衡条件得： 从 动 轮eP5.0728.05.P)(1/kN习题 3-10 直径 的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶 ，而md mkNMe6在圆杆表面上的 A 点将移动到 A1 点，如图所示。已知 ，圆杆材料的弹As31性模量 ，试求泊松比 （提示：各向同性材料的三个弹性常数 E、G、 间GPaE210 存在如下关系： 。)(E解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：。设 两截面之间的相对对转mkNMTe61,O角为 ，则 ，2dssGIlTP
11、式中， )(61359201459.3231 444 mdIp GPaMamNsIlTp 487.17.86024 由 得：)1(EG29.017.21G习题 3-11 直径 的钢圆杆，受轴向拉 60kN 作用时，在标距为 200mm 的长度d5内伸长了 0.113mm。当其承受一对扭转外力偶矩 时，在标距为 200mm 的mkNe.长度内相对扭转了 0.732 的角度。试求钢材的弹性常数 G、G 和 。o 解：（1）求弹性模量 EANl GPaMamNl 48.2168.216473.02514.306 （2）求剪切弹性模量 G )(8499.314dIp由 得：PIlT8GPaMmNIlT
12、Gp 7.8136.814349)180/.732.0(26 （3）泊松比 由 得：)1(E25.06.2G习题 3-12 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为 d；空心轴的外径为 D，内径为 d0，且 。试求当8.空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（ ） ，扭矩 T 相等时的重max量比和刚度比。解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求 D。pWTmax式中， ，故： )1(643D.27)8.0(343max, T空 1.273T（1）求实心圆轴的最大切应力 pWmax式中， ，故：316d3max, T实 3d693
13、75.1.27)(3TD19.d（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比9512.09.360)(.)8.01()25.0)( 222220 dDdDldW实空（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比 4445.)8.1(3Ip 空 022dd实 1925904.)(594.31.44DGIp实空习题 3-13 全长为 ，两端面直径分别为 的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩l 21,deM，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。解：如图所示，取微元体 ，则其两端面之间的扭dx转角为：PeGId式中， 4321dplxr12 2121dxlrl 12ldd4124)(uxldlu12x12故： lelele
14、lpelpe udGMduluGMdxIdGMI 041212040400 )(33210lelele dxldGlMudGlMudG 03121203120412 )()(3)(3 = 3213212131212 )()(3 ddldl eee习题 3-14 已知实心圆轴的转速 ，传递的功率 ，轴材料的许min/0rkWp0用切应力 ，切变模量 。若要求在 2m 长度的相对扭转角不超过MPa60GPa8，试求该轴的直径。o1解： 1pePGIllT式中， ； 。故：)(504.135499mkNnNke 4321dIpGlMIep180lde324 mmNGle 29.1/8014.3205
15、218042642 取 。md3.习题 3-15 图示等直圆杆，已知外力偶 ， ，kMA9. kNB0.7，许用切应力 ，许可单位长度扭转角 ，切变kNMC21.4Pa70 o/1模量 。试确定该轴的直径 。GPa80d解：（1）判断危险截面与危险点作 AC 轴的扭矩图如图所示。因最大扭矩出出在 BC 段，所以危险截面出现在 BC段，危险点出现在圆周上。（2）计算危险点的应力（最大工作切应力） ，并代入剪 切强度条件求 。d163maxdTWBCpmNdB 42.67/7014.232631 11（3）计算最大单位长度扭转角(出现在 BC 段) ，并代入扭转刚度条件求 。d（4）确定 值d)(
16、4.7),max(21m习题 3-16 阶梯形圆杆，AE 段为空心，外径 ，内径 ；BC 段为mD140md10实心，直径 。外力偶矩 ，d0kNMA8， ，许用切应力 ，许可单位长度扭转角kNMB32kC14Pa，切变模 。试校核该轴的强度和刚度。 mo/.1GPa8解：（1）AB 段的强度与刚度校核kNTAB1pWmax,式中， )(3985)140(1459.36)1(6 3343 mDp 符合度条件。MPaamNTpAB 6.80|3max, 1| pABABGIl式中， )(278931)140(459.32)1(32 444 mDIp mmNGITl oopABAB /2.1/62
17、.02783/108| 429 12符合刚度条件。（2） BC 段的强度与刚度校核mkNMTCB14pBWmax,式中， )(196340145.361 33 md符合度条件。MPaamNTpBCA 802.7903max, 18pBBCGIl式中， )(981746045.323 444 mdIp mmNITl oopBCB /2.1)/(02.13/180 41229 符合刚度条件。综合（1） 、 （2）可知，该轴符合强度与刚度条件。习题 3-17 习题 3-1 中所示的轴，材料为钢，其许用切应力 ，切变模MPa20，许可单位长度扭转角 。试按强度条件及刚度条件选择圆轴的GPa80mo/5
18、.2直径。解：（1）由强度条件选择直径轴的扭矩图如图所示。因为最大扭矩出现在 II、 III 轮之间，所以危险截面出现在此段内，危险点在此段的圆周上。163maxdTWIpImNdI 80/2014.3263 （2）由刚度条件选择直径180321804 dGTIp1310808326.249 d故选用 。习题 3-18 一直径为 d 的实心圆杆如图所示，在承受扭转力偶 后，测得圆杆表面与eM纵向线成 的方向上的线应变为 。试导出以 ，d 和 表示的切变模量 G 的表达式。045e解：圆杆表面贴应变片处的切应力为 圆杆扭转时处于纯剪切状态，图（a）。切应变 （1）对角线方向线应变：（2）式（2）
19、代入（1）： 习题 3-19 有一薄壁厚为 、内径为 的空心薄壁圆管，其长度为 ，作用m25250m1在轴两端面内的外力偶矩为 。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。kN180已知材料的切变模量 。GPa图（a）14解：（1）求管中的最大切应力： pIrTmax习题 3-20 一端固定的圆截面杆 AB，承受集度为 的均布外力偶作用，如图所示。试求m杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为 G。解： dxxmGIdxTVp 42422 163)( pl GIlmdldlxd621616 3243242024 习题 3-21 簧杆直径 的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力 作用，弹簧m18 kNF5.
20、0的平均直径为 ，材料的切变模量 。试求：D25Pa80（1）簧杆内的最大切应力；（2）为使其伸长量等于 所需的弹簧有效圈数。6解： ， 故 因为 15故 圈习题 3-22 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力 F 如图，簧丝直径 ，材料的md10许用切应力 ，切变模量为 G，弹簧的有效圈数为 。试求：MPa50 n（1）弹簧的许可切应力；（2）证明弹簧的伸长 。)(1621214Rdn解：（1）求弹簧的许可应力用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：剪力 FQ扭矩 RT最大扭矩： 2max，)41(614232322ax“ax RdFdRFWTAp Nm
21、RdF .957)104(106/5.3)41(6223 因为 ，所以上式中小括号里的第二项，即由/0/DQ 所产生的剪应力可以忽略不计。此时 NNRdF 25.981106/5.3)41(6 23223 （2）证明弹簧的伸长 )(21214Gdn外力功： ， FW21pIdTU16 dnRGIFdRIFGIdRFUnpnpnp 320121203202 )() 1244IpW124421RGInFp)(621214124 RdnFIp 习题 3-23 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶 。已知材料的切变模量mkNMe3，试求：GPa80（1） 杆内最大切应力的大小、位置和方向；（2） 横截面短边
22、中点处的切应力；（3） 杆的单位长度扭转角。解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向， ， 由表得长边中点处的切应力，在上面，由外指向里（2）计算横截面短边中点处的切应力MPa17短边中点处的切应力，在前面由上往上（3）求单位长度的转角单位长度的转角习题 3-24 图示 T 形薄壁截面杆的长度 ，在两端受扭转力矩作用，材料的切变模ml2量 ，杆的横截面上和扭矩为 。试求杆在纯扭转时的最大切应力GPa80kNT.0及单位长度扭转角。解：（1）求最大切应力MPamNhTii 25102.033621maxax （2）求单位长度转角)(92012315.31 4323 mhIiit mNGITi
23、 /56.1.38/08. 00412290 习题 3-25 图示为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一外力偶 。材料的许eM用切应力 。试求：MPa6（1） 按强度条件确定其许可扭转力偶矩 eM（2） 若在杆上沿母线切开一条纤缝，则其许可扭转力偶矩 将减至多少？e解：（1）确定许可扭转力偶矩 e2min0in0max ATiMemin0 )(2809)5.10()25.13( 2mA18)(371.0)(10372462809 mkNNMe mkN37.1（3） 求开口薄壁时的 emaxaxteIax/teM)(70923)927(314mIt )(1.148/06kNNe kM2.习题 3-26 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：（1） 最大切应力之比；（2） 相对扭转角之比。解：（1）求最大切应力之比开口： teIM开 口max, 303021rrIt依题意： ，故：a43303042arrIt 23max,MIMeete开 口闭口： 20ax, aAee闭 口3432max, Me闭 口开 口19（3） 求相对扭转角之比开口： 33030421arrIt 3GMITetet开 口闭口： 342020 4aAsseee闭 口 234aMGaee闭 口开 口
