1、2 平面直角坐标系1平面直角坐标系的有关概念在平面内，两条 互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系水平的数轴叫做x 轴或横轴，横轴向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，纵轴向上为正方向；两坐标轴的交点常用字母 O 表示，称为直角坐标系的原点，也叫坐标原点建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面横轴与纵轴的单位长度通常取成一致(有时也可以不一致)两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限辨误区 象限与坐标轴(1)理解“象限”的概念时，要注意它们是按“逆时针”方向，不要弄错方向(2)“坐标轴”上的点不属于任何一个象限【例
2、1】 下面是平面直角坐标系的为( )解析：A 选项中 x 轴与 y 轴不互相垂直，故排除；B 选项中两数轴的交点不对，故 B 项也不正确；D 选项中没有标明坐标原点及 x 轴与 y 轴等，故也排除答案：C释疑点 坐标系中的单位长度平面直角坐标系两坐标轴上的单位通常取一致的，但是根据所要表达的实际意义，也可以取不一致的单位，但是同一坐标轴上的单位必须是一致的2.点的坐标(1)在平面直角坐标系中，已知点 M，过点 M 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分别在 x轴、 y 轴上的点表示的数是 a， b，那么有序实数对( a， b)就叫做点 M 的坐标，其中 a 叫做横坐标， b 叫做纵坐标(如图
3、1 所示)图 1图 2(2)有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了如图 2，由点A 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足 P 在 x 轴上的坐标为 3，垂足 Q 在 y 轴上的坐标为 4，所以点 A 的横坐标是 3，纵坐标是 4，有序数对(3,4)就是点 A 的坐标，同理点 B 的坐标是(2，4)谈重点 有序数对与平面内的点已知点 P(x， y)，它的横坐标 x 和纵坐标 y 的顺序是不能任意交换的， A(3,2)和 B(2,3)表示两个不同的点对于坐标平面内的任意一点 P，存在唯一的一对有序实数( x， y)和它对应；反过来，对于任意一对有序实数( x， y)，在坐标平面
4、内有唯一的 P 点和它对应这里，(x， y)称为点 P 的坐标， x 是横坐标， y 是纵坐标， x 写在前， y 写在后【例 2】 写出图中 A， B， C， D， E， F， O 各点的坐标分析：首先确定横坐标，方法是从该点向 x 轴作垂线，垂足对应的点即为该点的横坐标，如点 A 的横坐标为 2.再从该点向 y 轴作垂线，垂足对应的点为该点的纵坐标，如点 A的纵坐标为 3.其他点依此类推解：观察图形，由网格可得 A(2,3)， B(3,2)， C(2,1)， D(1，2)， E(2.5,0)，F(0，2)， O(0,0)点评：(1)坐标平面内的点的坐标是一对有序实数；(2)不同的点对应着不
5、同的坐标3点的坐标特征(1)象限内的点：若用“”表示正数， “”表示负数，则第一象限内的点的坐标为(，)，第二象限内的点的坐标为(，)，第三象限内的点的坐标为(，)，第四象限内的点的坐标为(，)(2)坐标轴上点的坐标的特点： x 轴上点的纵坐标为 0， x 轴上的点一般记为( x,0)； y轴上的点的横坐标为 0， y 轴上的点的坐标一般记为(0， y)；原点坐标为(0,0)(3)和坐标轴平行的直线上的点的坐标的特点：和 x 轴平行的直线上各点的纵坐标相同，和 y 轴平行的直线上各点的横坐标相同(4)两坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特点：第一、三象限平分线上的点的横、纵坐标相等，该角平分线上的
6、点的坐标一般记为( a， a)；第二、四象限平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，该角平分线上的点的坐标一般记为( b， b)(5)关于坐标轴、原点对称的点的坐标特点：设点 P1(a， b)是坐标平面上任意一点，则它关于 x 轴的对称点 P2的坐标为( a， b)，关于 y 轴的对称点 P3的坐标为( a， b)，关于原点对称的点 P4的坐标是( a， b)(6)点 P(a， b)到 x 轴的距离为| b|，点 P(a， b)到 y 轴的距离为| a|，点 P(a， b)到原点的距离为 .a2 b2【例 31】 若点 M(1,2a1)在第四象限内，则 a 的取值范围是_解析：因为第四象限内点的坐
7、标特征 是 x0， y0，所以 2a10，因此， a .12答案： a12【例 32】 若点 P(m3， m1)在 x 轴上，则 P 点的坐标为( )A(0，4) B(2,0) C(4,0) D(0，4)解析：由于点 P(m3， m1)在 x 轴上，所以 m10，即 m1，因而 m32，故点 P 的坐标为(2,0)，应选 B.答案：B析规律 象限内点的坐标的符号在根据 点所在象限确定字母取值时，先根据各象限内点的坐标特点确定横纵坐标的正负，然后列出不等式解答，同时也可利用这一特点由点 的坐标确定点所在的象限【例 33】 点 P 在第二象限内， P 到 x 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3
8、，那么点 P的坐标为( )A(4,3) B(3，4)C(3,4) D(3，4)解析：首先由点 P 在第二象限内，知道它的横坐标小于 0，纵坐标大于 0，再由到 x 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3，得横坐标应为3，纵坐标应为 4，故点 P 的坐标为(3,4)，应选 C.答案：C【例 34】 已知点 P(3， m)到横轴的距离是 2，则点 P 的坐标是_.错解 因为 P(3， m)到横轴的距离为 2，所以 m2，所以点 P 的坐标是(3,2)剖析 已知点 P 到横轴的距离，并不知道 P 所在的象限，点 P 可能在第一象限，也可能在第四象限，这样的 P 点应有两个正解 由已知条件可知| m|
9、2，所以 m2 或2.所以 P 点的坐标是(3,2)或(3，2).4.确定点的位置根据坐标描出点的位置是利用平面直角坐标系确定某点位置的具体表现要根据坐标描出对应点的具体位置，应先找到该点横坐标在 x 轴上的位置，过该位置作 y 轴的平行线；再找到该点纵坐标在 y 轴上的位置，再过该位置作 x轴的平行线，两线的交点即为要描出的点的位置点技巧 平面内的点与有序数对已知平面直角坐标系中的一个点，可以确定这个点的坐标反过来，已知一个点的坐标，在平面直角坐标系中可以找到这个点也就是说，在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应平面直角坐标系中的点有无数多个，由于坐标系被分成了四个象限，所
10、以坐标平面上的点就会存在不同的位置上，总体来说一个点的位置会在象限内或坐标轴上【例 41】 在平面直角坐标系中，描出下列各点： A(4,3)， B(2,3)， C(4，1)，D(2，2)， E(1.5,0)， F(0，2.5)分析：要描出给出坐标的已知点，可先在 x 轴上找到该点的横坐标的对应点，从该点作 x 轴的垂线；在 y 轴上找到该点纵坐标的对应点，从该点再作 y 轴的垂线，两直线的交点即该点的位置解：如图所示：点评：不同的坐标对应着不同的点【例 42】 在平面直角坐标系中，描出下列各组点，并用线段顺次连接起来，观察所得到的图形，说说它像什么？(1,1)，(2,0)，(7,0)，(8,2
11、)，(6,1)，(1,1)；(6,1)，(6,8)；(5,7)，(7,8)，(7,3)，(5,4)，(5,7)；(2,1)，(6,7)分析：解决本题，首先要理解本题的顺 次连接，就是将每一组中的各点顺次连接起来解：建立平面直角坐标系，通过描点，连线，可以发现，所得到的图案是一只帆船(如图)点评：要熟练地找出 点的位置，把点与点相连接时要依次描点，不能跳跃5用坐标表示地理位置(1)用坐标表示地理位置时注意以下三个方面的问题：要注意选择适当的位置作为坐标原点坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号
12、标出，在图外另附名称(2)利用平面直角坐标系表示平面内一些点的地理位置的一般过程如下：建立坐标系，选择一个适当的参照物为原点，并确定 x 轴和 y 轴的正方向根据具体问题确定适当的比例尺，标出单位长度在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称【例 5】 如图，这是某市的部分简图，请建立适当的平面直角坐标系，分别写出各地的坐标分析：题目中仅告诉我们一个某市的部分简图，而要求我们建立平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标，显然，这个答案不唯一解：如图，可以以火车站为原点，建立平面直角坐标系于是我们就可以得到各地的坐标：火车站(0,0)，宾馆(2,2 )，市场(4,3)，超市(2， 3)，
13、医院(2，2)，文化宫(3,1)，体育场(4,3)6计算平面直角坐标系内图形的面积在平面直角坐标系中，求一个三角形的面积，则需要根据三角形的各顶点的坐标，确定边长或高，进而求出三角形的面积而对于四边形、五边形等图形面积的计算，则往往先转化为三角形加以解决(1)当三角形有一边 在横轴上时，则以坐标轴上的边为底边，其长等于坐标轴上的两个顶点的横坐标差的绝对值；则这边上的高，等于另一顶点纵坐标的绝对值；当三角形的一边在纵轴上时，则以坐标轴上的边为底边，其长等于坐标轴上的两个顶点纵坐标差的绝对值，这边上的高，等于另一顶点的横坐标的绝对值(2)当三角形的一边和坐标轴平行时，这条边的长等于两个顶点横坐标(
14、平行横轴)或纵坐标(平行纵轴)的差的绝对值；这边上的高等于平行于坐标轴的边与坐标轴的距离(3)三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形(长方形)的上下底(长)与其中一坐标轴平行，高(宽)与另一坐标轴平行这样，梯形(长方形)的面积容易求出，再减去围在梯形(长方形)内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积【例 61】 如图， ABC 的三个 顶点的坐标分别是 A(2,3)， B(4,0)， C(2,0)，求 ABC 的面积分析：观察图形可知， BC 在 x 轴上， BC 的长为 4(2)6.要求三角
15、形的面积，还应确定 BC 边上的高点 A 到 x 轴的距离恰好是 BC 边上的高解： BC4(2)6， BC 边上的高就是点 A 到横轴的距离，又点 A 的坐标是(2,3)， BC 边上的高是 3. S ABC 639.12【例 62】 如图，平面直角坐标系中，已知点 A(3，2)， B(0,3)， C(3,2)，求 ABC 的面积分析：在 ABC 中，只有边 AC 的长度是比较容易求得的，所以找到 AC 边上的高即可，而点 A 到纵轴的距离等于 AC 边上的高解：如图，作 AC 边上的高 BD，而 BD 就等于点 A 到纵轴的距离点 A 的坐标是(3，2)， BD|3|3. AC|2(2)|4， S ABC 436.12
