1、 东北师大附中 2014-2015 高三数学(文)第一轮复习导学案 0271一一abcCBA一一cabABC一、知识梳理:1、直角三角形各元素之间的关系:如图 1,在 Rt ABC 中,C= 900,BC=a,AC=b,Ab=c。(1 ) 、三边之间的关系: + = ;(勾股定理)222(2 ) 、锐角之间的关系:A+B= 900(3 ) 、边角之间的关系:(锐角三角函数的定义):sinA=cosB= sinB=cosA= ,tanA = 1=2、斜三角形各元素之间的关系:如图 2, ABC 中,在 A、B 、C 为其内角, a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。(1 ) 、三角形内角之间
2、的关系:A+B+C= ;sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC sin ; cos ;+2 =2 +2 =2(2 ) 、三边之间的关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;(3 ) 、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等;即=2R (2R 为外接圆的直径)= = 正弦定理变形:a=2R ; ; =2R =2R ; ; ;= 2 = 2 = 2a:b:c= : : + +=2R (2R为外接圆的直径 )(4 ) 、余弦定理: = -2bccosA; = -2accosB; -2abcosC; 22+2 22+2 2=2+2
3、余弦定理变形:cosA= ; cosB= ; cosC=2+222 2+222 2+2223、三角形的面积公式:(1 ) 、 = a = b = c ( , , 分别表示 a,b,c 三边上的高)12 12 12 (2 ) 、 = absinC= bcsinA= casinB12 12 12东北师大附中 2014-2015 高三数学(文)第一轮复习导学案 0272(3 ) 、 =2 = 2sinAsinBsinC4 (2R为外接圆的直径 )(4 ) 、 = ;( ) ( ) ( ) (=12( +) )(5 ) 、 =rs(r 为内切圆半径, )=12( +)4、解三角形:由三角形的六个元素(
4、即三个内角和三条边)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其它未知元素的问题叫做解三角形,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等,解三角形问题一般可以分为下面两个情形:若给出是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角形为斜三角形,则称为解斜三角形。5、实际问题中的应用。(1 ) 、仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标线在水平线上方的角叫做仰角,目标线在水平线下方的角叫俯角。一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一东北师大附中 2014-2015 高三数学(文)第一轮复习导学案 0273DCBA HGED EB
5、A一一一一一一CA B CDBA二、题型探究探究一:利用正余弦定理解三角形例 1:在 中,已知 a= ,c= + ,B= ,求 b 及 A。(2 ) 23 6 2 450 2,600例 2: 在 中,已知 a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边,已知 a,b,c 成等比数列,且 - =ac-bc ,求 A 及 ( , )22 600 32探究二:求三角形的面积例 3:已知 a、 b、c 分别表示 A、B、C 的对边,A,B,C 成等差数列,cosA= ,b=453(1 ) 、求 sinC 的值东北师大附中 2014-2015 高三数学(文)第一轮复习导学案 0274(2 ) 、求 的面积。例
6、 4:已知 三个内角 A、B、C 成等差数列,其外接圆的半径为 1,且有sinA-sinC+ cos(A-C)=22 22(1 ) 、求 A,B,C 大小;因为三个内角 A、B 、C 成等差数列,所以 B= sinA-sinC=2cos ,解 : 600,+2 cos2所以= ,所以 A-C= 又 A+C=12 ,所以 A= ,B= C= ,2 22 900 00 1050 600, 150(2 ) 、求 的面积。=2 =解 : 2sinAsinBsinC3例 5:已知 三个内角 A,B,C 成等差数列,三边 a、b、c 成等比数列,证明为正三角形。: 探究三:判断三角形的形状例 5:在 中,
7、已知 asinA=bsinB,试判断三角形的形状;例 6:在 中,已知 acosA=bcosB,试判断三角形的形状;例 7:在 中,已知 acosB=bcosA,试判断三角形的形状;探究四:正余定理的实际应用已知后勤保障队位于沙漠考察队北偏东 30处,两队相距 80km. 上午 6 点,后勤队驾越野车以 15km / h 的速度向沙漠考察队方向行进,但此时,沙漠考察队却以东北师大附中 2014-2015 高三数学(文)第一轮复习导学案 02753km / h 的速度徒步向正东方向开始考察. 两支队伍均配备用于联络的步话机,步话机的联络半径是 10km, 且两队都打开步话机并随时呼叫对方(1 )
8、求两队出发 t 小时后它们之间的距离 f (t );(2 )在两队行进过程中,是否可以通过步话机建立联络?请说明理由解:设沙漠考察队出发位置为 A,t 小时位于点 Q,后勤队 t 小时位于 P 点.则条件:知PAQ= 60, AP = 80 15t , AQ = 3t , |PQ|2 = (80 15t)2 + (3t)2 2 (80 15t)(3t)cos60 = 279t2 2640t + 6400 .f (t ) = . (t 0 )64tt79(2) f (t ) = = 31480)9t(272t2t 31480 =10.两队联络不上.另解:由 279t2 2640t + 6400
9、100 得 279t2 2640t + 6300 0,即 93t2 880t + 2100 0 = 8802 4932100 = 6800. 无解,故两队在行进中不能联络上.三、方法提升:(1) 、解斜三角形的常规思维方法:已知两角和一边,可先用正弦定理解;已知两边和夹角,先用余弦定理,之后再用正弦定理;已知两边及一边所对的角,应用正弦定理,再由正弦定理或余弦定理求解,这种情况要结合图形讨论解的情况;已知三边,用余弦定理。(2) 、三角形的内切圆半径 R= ,特别地, =2+ R直+斜2(3) 、三角形中中射影定理(4) 、两内角与正弦关系:在 中,AcosA+cosB+cosC; tanAt
10、anBtanC1四、反思感悟东北师大附中 2014-2015 高三数学(文)第一轮复习导学案 0276五、课时作业正弦、余弦定理的应用(时间 90 分钟,满分 150 分) 姓名: 得分: 一、选择题(每小题 6 分,共 60 分)1 在ABC 中, “ ”是 “ ”的 ( )30A21sinAA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2 ABC 中,A,B 的对边分别为 a,b,且A=60, ,那么满足4,6ba条件的ABC ( )A有一个解 B有两个解 C无解 D不能确定3 在三角形 中, 如果 , 那么这个三角形是 ( )BAcosinA直角三角形 B 锐角三角
11、形 C钝角三角形 D 直角三角形或钝角三角形4 已知 中, , , ,那么角 等于 ( )B 2a3b60AA B C D13590455 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b 、c 成等比数列,且 , 2ca则 cosA B C D4342436 在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b 、c ,A= ,a= ,b=1,则 c= ( )3A 1 B 2 C 1 D 37 在 中, AB=3,AC=2 ,BC= ,则 ( )0BA B C D2332238 在ABC 中,角 A、B 、 C 的对边分别为 a、 b、 c,若 a2+c2-b2 ac,则角 B 的值3
12、东北师大附中 2014-2015 高三数学(文)第一轮复习导学案 0277为 ( )A. B. C. 或 D. 或6365329 设 A 是ABC 中的最小角,且 ,则实数 a 的取值范围是( )1cosaAAa3 Ba 1 C1a3 Da 010 在 ABC 中,若三个内角 A,B,C 成等差数列且 ABC,则 的取值范cos围是( )A B C D1(,243,4(,)2431(,)4题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题(本大题共 4 小题,每题 6 分,共 24 分)11 在 ABC 中,a,b ,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 3,0,abC则A 12
13、 在 ABC 中,若 B=300,AB=2 ,AC=2,则ABC 的面积 S 是 313 ABC 的内角 的对边分别为 ,若 CaAcbos3,BC, , ac, ,则 Acos 14 在 ABC 中,已知 AB=l,C=50,当B= 时, BC 的长取得最大值.三、解答题(15、16、17 题每题 16 分,18 题 18 分,共 66 分)15 已知 的周长为 ,且 B 21sin2sinAB(I)求边 的长;(II)若 的面积为 ,求角 的度数AC 16C东北师大附中 2014-2015 高三数学(文)第一轮复习导学案 027816 在 中,角 的对边分别为 ABC , , tan37b
14、cC, , ,(1 )求 ;(2)若 ,且 ,求 .cos52BA917 在 中,内角 对边的边长分别是 ,已知 ,ABC BC, , abc, , 23()若 的面积等于 ,求 ; 3ab,()若 ,求 的面积sin2iBAB东北师大附中 2014-2015 高三数学(文)第一轮复习导学案 0279,两式相减,得 (II)由 的面积 ,得1ABABC 11sini26AC,3C2cos22()1BAB, 6016 解:(1) ,又 解得sintan737coC, 22sincos1C , 是锐角 cos8C08(2 ) , , 52BA5s2ab20ab又 9ab2814122cos36cCc17 解:()由余弦定理得, ,又 ,得 24absin32abC4ab()已知条件化为 ,联立方程组 解得 ,b, 2所以 的面积 43bABC 123sinSabC东北师大附中 2014-2015 高三数学(文)第一轮复习导学案 02710