1、.怎样的数学课才算好课 怎样才能上好数学课滨州市教研室 王文清 （256600）（该文发表在中学数学杂志2008（8）头版头条，并被中国人民大学书报资料中心（复印报刊资料）(G35)中学数学教与学 （上半月，高中读本） ，2008， （12） 。头版头条。 ）让学生喜欢，让学生期盼，让学生激动，让学生振奋，让学生逻辑，让学生聪明，让学生发现，让学生创新，让学生思维，让学生收获，是每位数学教师的毕生追求。而这一切都源于要上好每一节数学课。而随着数学课程改革的不断深入，很多很多数学教师却发出了“现在的数学课怎样上才对，才好，真的不知道这数学课该怎么上了”的感叹 “怎样的数学课才算好课”和“怎样才能
2、上好数学课”已成为影响当前数学教学改革能否顺利推进中的两个至关重要的问题，也是一线数学教师迫切需要解决的问题。现根据自己多年从事数学课堂教学的实践经验和教学研究的成果，结合自己多年观摩和指导数学课堂教学的体会、认识、反思，谈一下自己的看法，意在抛砖引玉。一、怎样的数学课才算好课课堂教学既是一门科学，又是一门艺术。作为一门科学，应该有一定的评价标准，而作为一门艺术，贵在创新，就不应该有唯一的评价标准。而且，随着时代的发展、社会的进步，对课堂教学的要求也在不断地变化。因此，怎样的数学课才算好课，由于所包含的因素过于复杂，甚至不可言说，显然没有定论和绝对的标准，但却有一些基本的特征、要求和标准，一般
3、应从教与学两方面来评价。教要教得清楚、科学、准确、透彻、精彩、民主、启发性强、有效.益；学要学得懂、学得会、记得牢、有兴趣、积极、主动、会学、乐学、收效大。1教学目标正确（明确恰当）影响数学课堂教学的因素有很多，但核心因素、也是最重要的因素是教学目标。教学目标既是一堂课的出发点，也是一堂课的归宿，是教与学的根本方向，是整个教学过程的灵魂，不仅决定“我们去哪里” ，而且决定“我们怎样去” ；不仅决定我们教什么，而且决定我们怎么教。根据全日制义务教育数学课程标准(实验稿) (以下简称 课程标准)和教材内容以及学生的认知情况，站在整体的高度，制定正确（准确、恰当）的教学目标是备好课和上好课的前提。一
4、方面，必须在通读本学段教材的基础上，弄清本节课在本学段教材中的地位和作用，站在整体的高度，制定本节课的教学目标；因为数学教学是个系统工程，它具有科学的序列，教师对每个学期，甚至整个学段的教学工作，既要全局在胸，又要明确每个阶段、每个单元、每堂课的教学目标与教学任务；另一方面，教学目标要具有可操作性，要清楚并落实学生学了本节课后，不仅清楚“知识是从哪里来的？”而且“能够知道什么，能够联系什么，能够干什么” ，还要在教学中注意并落实“能够培养什么，能够提高什么，能够熏陶什么，能够渗透什么” 。第三方面，教学目标要简明。一堂课彻底解决学生切实需要解决的一两个问题，真正给学生留下点东西，比浮光掠影、蜻
5、蜓点水、隔靴搔痒的教学要有效得多。要谨记“教什么永远比怎样教重要” 。.2重点突出课堂教学的时间是个常数，是有限的，学生的学习精力也是有限的。因此，选择好学习的内容，特别是关乎学生终身受用的“核心知识” ，即本节课的重点，就显得尤为重要。只有突出重点，才能抓住主要矛盾，才能以点带面。课堂，也不需要把什么都讲透了，留下点悬念和空间，就是给学生自由和发展。3难点突破难点一般是对思维而言的，或是因为思维的抽象，或是因为思维的跳跃，或是因为思维的新异，总之，往往是思维上的飞跃、突破、拓展、提高。也正因为如此，所以难点往往是训练思维、挑战思维、拓展思维、提高思维的极好素材，因此，利用难点，让学生经历突破
6、难点的过程，并尽可能通过自己的思考、努力突破难点，在突破难点的过程中，训练和培养学生的思维能力，是应当遵循的策略之一。所以，对难点的教学一味采用化难为易的策略并不科学。教师应当支持学习者而不是简化困境。正如苏霍姆林斯基所描述的那样：“教师使出教育学上所有的巧妙方法，使自己的教学变得尽可能地容易掌握。然后再将所有的东西要求学生记住。这种忽视学生主体只重视知识移植的课堂教学是对学生智力资源的最大浪费。 ”目前中国的数学教学实际情况如何?实际情况可能需要大家关注在此，我们呼吁关注因推行大众数学、为了降低数学教与学原本应有的难度而删减重要数学知识方法、削弱数学教育教学的育人功能的现象，呼吁关注因推行教
7、育均衡发展而遗忘或限制英才教育.的现象吕世虎、史宁中、陈婷在课程。教材教法(2006 年 8 月)上发表文章说明了普通高中数学课程标准( 实验) 中立体几何部分的总体难度( 相对大纲)大大降低了。试想若一味降低中小学数学教材中平面几何、立体几何证明的份量和原本应有的难度，将会使平面几何、立体几何等数学课程变成单一的数学知识、结论的教学，这有悖于数学教育教学的双功能论。教学实际过程中“受教育者学习规则( 算法 )”需要过程和时间、 “受教育者运用规则(算法) ，发现结构与规律”更需要学习者发挥主观能动性与亲历深度思考的探索解答过程、 “受教育者的处理数据、信息，进行计算和推理 ，的采集、解读、推
8、演、表达和验证信息的能力与素质”的培养与形成是“冰冻三尺，非一日之寒”的熏陶过程。这些既需要过程，更需要一定的难度，才能激发学习者的斗志和智慧，使之急中生智，并在困境中“穷则思变” 、 “绝处求生”和“绝处逢生” ， “沧海横流方显出英雄本色” ，进而培养其能力，这样的过程正所谓“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”!因此，数学教育教学中是不宜“好心”主观降低数学教材、教学等的应有难度，以及绕过或跳过数学教学必要的思考过程。并且此降低了原本应有难度的、以传授几何知识为主的几何教学犹如只喝榨汁机生产的糖水而舍去津津有味地咀嚼甘蔗的过程，而这一过程不仅仅让咀嚼者获得糖份，更多的是让咀嚼者精神上享受到咀
9、嚼的快乐的宝贵过程，同时还是让咀嚼者从中同时经历和实现洁齿、健齿的重要过程!从中大家看到了生活里人类吸.收糖份的过程中舍去咀嚼过程令人可惜。同样，数学教育教学中过度删减平面几何、立体几何证明题的份量与原本应有的难度更令人心痛!同样，张景中先生在数学通报(2008 年第 47 卷第 8 期) 上发表不用极限怎样讲微积分的长篇文章，为了解决“微积分入门教学难” ，他在文章中独创性地通过建立“差商和差商有界的函数”的概念，以及采用强可导函数等，在“完全不用极限(的情况下) 而建立了微积分的框架” 。这的确降低了微积分的入门阶段的教学难度局部看，这有利于微积分初始阶段的教学；但这是否只是注重和突出了微
10、积分等数学知识的传授而抹去了数学学习中学习者的思考与研究的过程。微积分课程中的 - 语言虽难学；但对每一位从学习 - 语言的困惑中走出来的人来说，困惑之后，苦尽甘来的滋味是心知肚明的，这一过程使我们掌握了抽象的 - 语言、提升了思维水平和分析问题的能力极限过程中蕴涵着直与曲、动与静、变与不变、近似与精确、量变与质变、过程与结果、有限与无限等对立统一的辩证关系。极限方法是人们从有限中认识无限、从不变中认识变、从近似中认识精确、从量变中认识质变的一种数学思想方法极限定义中充满了辩证法。 任意给定体现了辩证关系，没有给定，就无法实际观测其变化规律，若不是任意的，就无法表达量是变化的，是一种动和静的关
11、系： anlim是过程与结果、无限与有限、近似与精确、量变与质变、抽象与具体对立统一。由此可见，极限内容是培养学生数学素质与发展学生创造性思维能力.的良好素材 - 语言虽难学，但对历届青年学子而言并非完全不能学会、不能学好，若将其从教材、从教学中剔除或教学中绕开它，这不是太可惜了吗?同样，生活中，海南岛的水稻一年 3 季，东北的则一年一季，而分别由它们制成的大米饭口感孰佳?不言自明! 药食两用的苦瓜素有蔬菜中的君子之称。正是因为其略带苦味，才具有清凉解毒之效!若将其苦昧去掉，则味同白菜，且其清凉解毒的功效将尽失。同样再看在数学考试中，尤其在肩负有选拔进入高校继续学习的人才功能的高考中，若都要降
12、低难度和淡化技巧考查要求，可能不好 “注意通性通法，淡化特殊技巧 ，这一提法对吗?” 本人历来主张“ 注重通法，兼顾巧法” ，从哲学上讲，事物的矛盾既具有矛盾的普遍性，又具有矛盾的特殊性， 注意通性通法是对的，但绝不能由此就淡化特殊技巧 所谓技巧 ，就是相对通性通法而言的特殊方法；技巧往往是基于人对问题的深刻剖析，准确认识后再采取的行之有效且事半功倍的巧妙之法如若在肩负选拔人才之重任的高考(命题)中，都一味淡化技巧 ，那你如何能甄别与选拔优秀人才呢?故一定的 特殊技巧应在高考数学中占有一席之地，这首先是基于高考是选拔性考试，有技巧的施展空间，才能让考生们八仙过海，各显神通 ，才能真正体现区分度
13、，落实与实现高考的选拔功能其次， 矛盾的特殊性亦要求应针对问题的特殊性对症下药 ，巧妙解答。庖丁解牛的高妙技法的实质乃是其以无厚而入其间 ，方才达游刃有余 ，进而在.既注重通性通法，又提供灵活运用技巧解题的空间 ，才能真正有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度 。所以数学教育教学内在规定的时间、过程以及实际难度等客观的因素、环节与要求往往是不能随意减少和降低的，要谨防因“好心”减少内容、降低原本应有的难度而伤害或妨碍大批优秀学生的发展与进步的现象发生，坚持遵循客观规律，兼顾数学教育教学的双功能，做到水到渠成、慢工出细活!近来时常思考：我们到底是仅仅为了给学生讲授数学知识
14、，比如平面几何、立体几何或微积分的知识，还是以数学知识、方法的传授为载体来开展教书育人呢?即在传授数学知识、方法的同时对学生进行思维训练、发展学生能力、培养创新能力等呢?海明威在老人与海中表达出其所追求的是鲸，还是在与大海、与鲸的搏斗过程以及由搏斗而战胜困难的快乐呢?基于此，我们建议教育行政部门和相关教育教学研究机构应开展系统的调查、研究，来考察当前我国中小学数学教学实际情况，肯定其成效、发现尚存问题并及时纠偏。可能这样才能既充分发挥新课程改革的功效，又保持和发扬传统的经过实践检验为成熟的教材体系和正确的教法等的积极作用，防止和避免因推行大众数学而割裂教材体系，将数学教育教学的双功能弱化为单一
15、的数学知识(言语性知识的) 传授，弱化或减少程序性知识的学习研究的过程，以及一味降低原本应有的难度而忽视数学教育教学与考试内在的必要的独立、深度思考的过程的倾向若这一倾向进一步被倡导与强化，.在数学教育教学上有可能会出现“买椟还珠”之现象。因为在这种大众数学的观念下，在教育均衡化的呼声下，消减必要而重要的数学内容、降低数学教育教学与数学考试原本应有的思维要求，这对学有余力的学生是否公平?对全国亿万青少年是否人道?这利于国家的发展与强大吗?国家既需要普通的工作者、建设者，也需要杰出的优秀人才，在定意义下可能更需要科技等各个领域的杰出的领军人物试想上个世纪，中国若没有钱学森、钱三强、钱伟长、华罗庚
16、、李四光等科学家、数学家和地质学家等的创造性工作的话，原子弹、氢弹研制能成功吗?中国贫油的帽子能摘掉吗? 卫星能升空吗?我们的国家现在和未来能屹立于世界民族之林吗?中国能有现在这样好的发展后劲吗?而课程改革何去何从可能将从微观处、从深层处、结构上、机制上深刻地影响对广大青少年和杰出人才的培养大计。所以，我们不能在强调大众数学、教育均衡的情况下，忽视甚至限制英才教育、妨碍杰出人才的培养；而应在课程设置、教材编写、人才选拔与培养机制上，留有绿色通道和应有的发展空间，真正实施和实现因材施教这才既利于每个个体的发展，又利于国家的持久发展与强盛数学教与学并非愈容易就愈利于对学生的培养；反而要防止和避免将
17、数学教育教学的双功能弱化为单一的数学知识(言语性知识) 的传授，弱化或减少程序性知识的学习研究的过程，要防止和避免因推行教育均衡发展而遗忘或限制英才教育，防止和避免因推行大众数学、为了降低数学教学和数学考试原本应有的且经以往教学证明.和高考检验大多数学生能学习和掌握的难度而删减重要数学知识方法、削弱数学教育教学的育人功能 “不需要思考的课程不可能培养思考，剔除思维的教学，怎么可能培养思维?前苏联教育家赞可夫通过大量实验的方法得出结论，只有通过较大难度的教学才能使学生得到充分的发展，不合理地把教材编得太容易，无根据地把教学速度放得很慢，进行多次单调的复习。这显然都不能促进学生迅速发展，理论知识贫
18、乏、肤浅这也是一种不利的情况。目前大陆课程改革中，需要推理的内容大幅删减，怎样为思维保留恰当空间，这值得教育工作者三思， ”4基础扎实重视基础知识的教学和落实，是我国基础教育的优势和特色，我国中学生基础扎实是中学数学教育的成绩和贡献。落实“基础知识、基本技能、基本方法、基本思想”的训练、识记、理解，是中学数学教育永恒的话题。数学教学最核心的任务仍然应该是“四基”和“三大能力” 当前忽视基础知识的教学与训练，基础知识的落实不到位等现象应当引起广大数学教育工作者的警惕。张奠宙先生在中国数学双基教学中给出了很精辟的诠释：“学生的发展必须建立在基础之上，有些内容必须在良好的记忆的基础上形成直觉 ”在“
19、双基”理论研究上，张奠宙提出了以下的 4 个维度：速度与效率；（速度赢得效率，没有速度就没有效率）记忆与理解；（记忆通向理解，在记忆的基础上进行理解）.严谨与直观；（严谨形成理性，在直观确认的基础上保持严谨）重复与变式。 （重复依靠变式，通过变式的重复获得技能）这里，速度、记忆、严谨、重复，在某些教育理论中已经消失，被认为是落后、机械的东西：事实上，这正是双基的核心我们的任务不是丢掉他们，而是通过效率、理解、直观、变式等发展它们，在创新教育的指导下得到升华5数学味浓“数学姓数”简练明确地表达了数学教学的基本特征。数学课不仅要有“数学味” ，而且要 “数学味浓” 。 “数学味浓”就是指抓住并突出
20、数学的本质。新课程实施以来，课堂上大量存在的非数学现象， “去数学化” 的倾向不容忽视，看看我们的教材和中高考数学试题有多少与数学无关的的内容；再看看我们的课堂，引入、例题、练习题非要生硬地套上一层并不合体的实际情境外衣，而且有思想教育，有音乐，有诗歌，有游戏，有答辩，有活动，但唯独数学却越来越少。如此本末倒置的课堂教学，颠倒了内容与形式之间的关系， “数学味”的淡缺也就成为必然数学课必须反璞归真，还数学教学以本来面目，让数学课更有“数学味”应是当务之急。正如郑毓信教授在数学教育的现代发展 （江苏教育出版社，1999）一书中，在对“大众数学”进行反思或批评时所指出的：“我所担心的是，通过使数学
21、变得越来越容易、越来越易于接受，最终得出的将不是数学，而是什么别的东西。 ”.通过教学模式的改革来达到提高学生数学素养从而提高数学教学效率的目的无疑仅是一种手段，这种手段特别强调教学法的形式，如合作学习、目标教学、分层教学、自学辅导、问题驱动等等，但是每种形式都必须是在理解数学内容本质的基础上才可能发挥辅助作用。因此，从数学出发研究数学教育才是正确选择。数学就是问题和解。问题是数学的起点，如果离开问题，数学就无从谈起，也就没有了目的。当然，这里的问题对中学数学教学来说，既可以是数学问题，也可以是实际问题；既可以是封闭性问题，也可以是开放性问题；既可以是常规问题，也可以是非常规问题。但关键必须是
22、有数学思维价值的问题。解是数学的终点，如果离开解，数学也就没有存在的必要。数学思维活动是连接问题和解的纽带和桥梁。数学工作者一生就是围绕着“问题和解”而工作的。正是“问题和解”使数学不必“装扮”就很自然的胸怀宽阔，应用广泛，朴素高雅。 “问题”是数学的心脏， “解”是数学的期盼、成长和收获， “数学思维”是数学的灵魂。有了灵魂，其它一切都不难解决；而没有灵魂，即便再多的“装扮”也只是形式，而缺乏内容。简言之，中学数学教学，起点是问题，过程是思维，终点是解；即中学数学教学是按照“问题思维解新问题新思维新解”的结构不断上升的过程。数学就是文化。因此应加强对数学语言的教学，尤其，对每个数学知识都应当
23、尽可能地从数学语言的三种形态“文字语言、图形（表格）语言、符号语言”进行描述。以强化对数学知识的学习和.理解，加强数学语言的运用和表达。数学是过程，也是结果。一方面，中学数学教学要培养学生的思维，思维主要不是表现在结果上，思维表现在思考的过程之中，表现在探索的过程之中；另一方面，结果是思考、探索、决策的目的，也是进行新的思考、探索、决策的基础和保证。所以，我们提倡中学数学教学，既要重视过程，又要重视结果。6科学、准确、简约（明） 、明了一是，内容要科学、准确，这是数学教学的基本要求。主要包括：知识传授要准确而精要；知识总量要适当而且充足；对教材的理解与把握要有深度上的掘进与广度上的拓展；能力的
24、培养与智力的开发要达到一定的水平，等等。二是，教学过程设计要科学，尤其是，教学环节要简化。数学课堂教学没有必要设计那么多的学习环节，没有必要搞得那么复杂。多就有可能给人“碎” 、 “乱”的印象，复杂有可能让人望而生畏。简明的教学环节，就如同秋天的天空一样明净，让人有一种心旷神怡的感觉。简约（明）的课堂，其独特的神韵就在于此!7教学有效高效课堂教学改革，归根结底是为了提高课堂教学效率。课堂教学有效是远远不够的，因为一节课一点效率、效益都没有基本上是不存在的，关键是不仅有效，而且高效。教师要确保数学教学的高质量、高效率，必须在教学设计上下功夫。东北师范大学校长史宁中说：“我听了两节课，上课是一锅粥
25、，下课还是一锅粥，结果孩子.啥也没学到。 ”一堂好课肯定是学生能够投入较少的时间和精力，而获得广泛而深刻的认识，即单位时间内学生所获得的越多、越深刻、越优质、越长久越好，这就需要鼓励并给学生“质疑问难” 、 “发表不同见解”的机会，善于寻求新知识与旧知识、新方法与旧方法等之间的联系；指导并鼓励学生用自己的语言对数学概念、公式、定理、法则等数学对象经行描述。这需要看：全体学生的收获是否都优质、高效、量足；整体推进与个别诱导的效果是否明显；近效与远效是否齐抓并举，等等。8人文课堂当前， “以人为本”的理念已经深入人心，打造“人文课堂”是时代对教育的要求所谓“人文主义” ，其实是文艺复兴时期的一种主
26、要的社会思潮，它提倡学术研究自由，主张思想自由，肯定人是世界的中心由上可知，一方面，教师要关注、尊重、鼓励、赞赏每位学生，激发学生的兴趣，保护学生的积极性，鼓励并肯定学生的回答，保护学生的好奇心，尤其是在学生回答问题出现错误或根本回答不出来时，学生最需要被尊重；另一方面，数学是一种文化，要在保证数学科学性的基础上，充分展示数学的文化性、思想性、方法性、语言性等熏陶学生的文化素养和责任心；充分发挥数学的抽象、困难等特点，培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力；充分发挥数学之美，培养学生的审美能力、求简意识和好奇心。总之，通过数学教学使学生具有四心“好奇心、坚持心（恒心） 、.自信心、责任心”极
27、为迫切和重要。要借文化的体还数学的魂。这里需要特别提醒的是，师生平等指的是人格上的平等，而并非其它。“教为主导，学为主体”的原则不能丢！9预设与生成共存教学从本质上讲就是预设和生成的矛盾统一体教师课前进行充分的教学设计，并期望按教学设计进行教学，不仅必要，而且必需。但在课堂教学中，教师如果按照预设方案不走样地加以实施，不敢越雷池半步，而且要求学生必须按教案设想作出回答，尽力引导学生得出预定答案。就会排斥学生的个性思考，限制学生对预设目标的超越，抹杀学生的创造智慧。也是不合适的，更是不现实的。新课程背景下的中学数学课堂教学中，虽然经过教师周密的备课，尽管教师备课时也备学生，但许多新的、难以事先预
28、测到的突发性事件仍会经常发生，课堂上发生的情况教师并不能完全预见，所以课堂应该是动态的，既要积极的按照计划、预设推进，也要及时的、开放的将没有预设到的、始料不及的、有意义的新问题、新想法等纳入课堂。需要教师根据实际情况进行灵活处理，及时调整教学活动、教学进程和教学内容。既要“以学定教” ，更要“以学论教” 。一节好课应该是有生成性的课。即一节课不完全是预设的结果，而是在课堂教学过程中既有资源的生成，又有过程状态的生成，既有已备内容的舍（要能忍痛割爱，舍得、舍得，有舍才有得！） ，又有新内容的取。师生相互地生成许多新的东西。这样的课可称是一.节好课。对教学中非预期事件，是急于“灭火” ，还是善于
29、“点火” ，是区别是一般教师还是专家教师的重要标志之一。“预设”课堂不能没有你， “生成”课堂因你而精彩。当然，应当允许教师完不成教学任务，但不能老完不成教学任务，绝不能把完不成教学任务当成习惯。（生成：自然形成之意；动态生成，是指教师在课堂上以学生有价值、有创见的问题与想法等细节为契机，及时调整或改变预设的计划，遵循学生学习问题的规律展开教学而获得成功而在动态生成中，教师还要高屋建瓴，甄别优劣，选择恰当的问题作动态生成的“课眼” ，引导教学进程，让课堂教学在健康有效的轨道上发展 ）10师生积极投入教师的精神面貌是衡量一节好课的标准之一，因为在课堂上教师的言行举止直接影响着学生的情绪常态（这中
30、间包括学生的学习兴趣和学习注意力） ，我想一个充满活力，充满激情的老师，他上的课一定会博得学生的喜爱，同时也一定会取得良好的教学效果。教学要培养学生的兴趣，使学生学会、会学、乐学，激发学生的学习动机，使学生能积极地、全身心地投入到课堂学习过程之中；学生的“积极投入” ，则体现在学生勤于动脑、动口、动手，敢于思考作答，勇于质疑问难，善于提出自己的观点，主动建构自己的新的知识体系。.11有亮点 有特色没有个性就没有创新。在保证科学、准确、有数学味（突出数学的本质）的前提下，鼓励教师发挥自己的教学个性。无论是教学设计，还是教学方法等，都要体现自己的特点，要有创新，有新思路，也就是要有自己的思考，要充
31、分凸显个人的特色。只有这样的课才能有亮点、有特色，引发他人思考。只要有亮点，哪怕是一点、两点，也是一节好的数学课为此，教师要对自己的优势和不足有清醒的认识，注意扬长避短，尽量放大自己的优点，缩小自己的缺点。只有正确认识自己，了解自己的风格定向，才会有生动而富有特色的的课堂，也才会有生动而有个性的学生。一节好的数学课并不是只具有以上特征，也并不是要具备以上所有特征最重要的是，我们的数学课堂应该：少一点形式，多一点内容；少一点繁杂，多一点简约；少一点装饰，多一点数学；少一点干扰，多一点效率；少一点限制，多一点自由；少一点专制，多一点民主；少一点责难，多一点人文；少一点被动，多一点主动；少一点封闭，
32、多一点开放；少一点单一，多一点多元；少一点矜持，多一点张扬；少一点沉闷，多一点激情；少一点共性，多一点个性。二、怎样才能上好数学课用上述几条来概括好课的标准虽然有极强的包容性、概括性和指导性，但缺乏操作性。以下是从操作层面对“怎样才能上好数学.课”的几点思考。1. 树立四个意识1.1 要树立按照学生的原有知识结构进行教学的意识课程标准在第一部分“基本理念”中提到：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上 ”著名教育心理学家奥苏伯尔有一段经典的论述“假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那就是，影响学习的惟一最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并
33、应就此进行教学。 ”即根据学生原有的知识结构进行教学。建构主义学习理论认为，学习者并不是空着脑袋进入学习情境中的，教师的教学不能忽视学生已有的经验，而是应当把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中生长出新的知识经验在新旧知识结合点上产生的问题，最能激起认识的冲突。因而数学教学设计必须基于对学生已有知识经验和教材内容的科学的全面分析。只有了解、熟悉、掌握了学生的认知基础和教学目标要求，才能设计出符合学生实际，而且有效的教学方案。现代教育家甚至提出了“为迁移而教”的观点。按照学生的原有知识结构进行教学的意识，就是在学新课时，首先，弄清学这节课所需要的知识储备，学生都具
34、备了没有？若还没有具备，则必须先加以解决；其次，弄清与这节课具有联系或相似的内容，以便于进行类比教学，或以旧引新。例如， “分式的运算和性质”的教学可以联系和类比的是分数的.运算和性质。一方面，根据分式与分数都具有分子、分母这个相同的形式，从而推测分式具有与分数相似的性质，分式可以如分数一样进行运算；另一方面，这样学生就很自然地把分式的运算和性质通过同化顺利地纳入了自己的知识结构，不仅减轻了学生的学习负担，而且可以建立知识之间的联系。又如，学习三角形相似的判定时，通过类比三角形全等的判定，学生则不难由三角形全等的判定定理：AAS；ASA； SAS；SSS得到ABC DEF 的判定定理：“A=D
35、 ，B=E” ；“B=E， ”；“ ”EFBCDFAC（补：“不等式基本性质”中的提问。这一内容的教学，往往采取如下过程：先给出不等式基本性质，再给出证明，再举例，最后学生练习这样的教学设计，没有包含不等式基本性质的产生过程，学生对于这些性质的来源和研究思想没有认知的机会，只能采取被动接受的方式进行学习如下设计的“问题串”可以改变这种状况：先行组织者：由于不等式的基本性质与等式的基本性质都是关于式的性质，因此不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。设计意图；启发学生的思维，明确研究思路。问题 1 你能回忆一下等式的基本性质吗?设计意圉：让学生回忆等式的基本性质，在唤起相关知识
36、的同时，也对研究方法进行思考。教师可以在学生叙述的过程中，将.同加”同减”同乘” “同除”等用醒目的色彩进行标注，以提示学生等式基本性质的研究思路问题 2 你能归纳一下等式的基本性质的研究思路吗?设计意图：等式的基本性质的研究思路考察等式在运算中的不变性也是不等式基本性质的研究思路这个问题的回答成为后续教学的关键环节问题 3 类似地，不等式有哪些基本性质呢? 你能自己探究一下吗? 设计意图：在问题 2 解决后，学生会想到，也可以通过考查不等式在运算过程中的不变性得到不等式的基本性质类比等式的基本性质，学生不难得到关于不等式基本性质的猜想例如，不等式两边同加(减) 一个数，不等式不变；不等式两边
37、同乘(除) 一个数，不等式不变；还可以考查乘方、开方运算下不等式是否不变；等当然，教师应当提醒学生注意等式与不等式的差异在这样的问题引导下，学生不仅可以独立提出关于不等式基本性质的猜想，而且还可以自主探究哪些猜想是正确的，哪些是不正确的显然，这对于学生全面理解和掌握不等式的基本性质是很有好处的 ）再如，不等式的概念、不等式的解、解不等式等的教学，可以类比方程的概念、方程的解、解方程等进行教与学。这样的教学不仅学生学的容易，易于纳入自己的知识结构，而且记忆量至少会减少一半，大大减轻了学生的记忆负担，而且会自觉把相关数学知识、.方法联系起来，不仅克服数学知识之间相互孤立、零碎的认识，而且避免负迁移
38、，促进正迁移。还如，可以类比“平面角”的定义学习“二面角” 。还如，可以类比“初中抛物线的顶点”引出“椭圆” 、 “双曲线”等的顶点的定义。当然，按照学生原有的知识结构进行教学，并不仅仅限于类比！还有以旧引新。比如，若先学习了“平行四边形的性质” ，再学“平行四边形的判定”时，就可以利用考虑、研究“平行四边形的性质定理”的逆命题的方式，发现“平行四边形的判定定理” 。等等。1.2 要树立问题意识思维由问题开始，问题既是思维的起点，又是思维的动力。好问题能引起学生的学习兴趣、激发学生的思考、触及问题的本质。这里说要树立问题意识有三个方面，第一，课堂教学采用问题驱动教学法，教师精心设计一组有中心、
39、有联系、有层次、环环相扣的问题串，问题是课堂教学的主线，师生的双边活动都是围绕着问题展开的。即以问题驱动为导向，训练为主线，学生独立思考为基础，师生合作探索为平台，夯实基础、培养能力为目标，组织引导课堂数学教学。教师要站在整体的高度设计好问题串，通过问题的层层递进，师生的不断探索，获得知识、技能，提高能力。中科院的吴文俊院士说：“数学的精髓就是从问题出发” 。 （后补：布鲁纳曾指出：“问题常常作为一种标准，决定着学生素质的现状以及他们理解的程度。，从一定意义上说，问题是通向理解之途， ”从当前.课堂现状来看，教师的提问通常有两种情况，一种情况是比较随意的、没有明确目标的提问；另一种情况是即使对
40、问题有所考虑，所提出的问题大多属于封闭性这两种提问方式可能会造成问题低效甚至无效如果教师能够树立问题设计意识，并具备一定的问题设计理论素养，掌握一些问题设计技术，就能够设计出有效问题。问题链设计法正是这种理念之下的教学探索。问题链方法是以问题为主线，以发现问题一解决问题一再发现问题为过程，培养学生适应客观世界运动变化和严谨逻辑思维的训练方法。问题引导，数学活动：设置一系列的问题来引导学生学习，其基本思路是以问题引导决策，在决策的思维序列中组织希望学生进行的数学活动正如人教 A 版教材所反复强调的，构建恰时恰点的问题( 系列)是有效教学的基本线索， “问题引导学习”应当成为教学的一条基本原则，有
41、了问题，学生有效地独立思考、自主探究、合作交流才能有平台这就要深人研究如何提问的问题。一个好问题，要“有意义“适度”恰时恰点” 。有意义，就是问题要反映当前学习的内容的本质；适度，就是提问题要把握好“度” ，使学生处于“跳一跳摘果子”的状态，达到“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的境界；恰时恰点，就是要在学生处于思维困惑时提出问题，使问题能够启发和引导学生的数学思维活动。具体的，可以从数学知识发生发展的关节点上、数学思想方法的概括点上、学生数学思维的症结点上等提出问题。 ）第二，.要特别重视学生中存在的问题，即是只解决了学生的一个疑惑、困难、错误就是有效教学。在 2006 年 CCTV2 风险投
42、资“赢在中国”栏目中担任总评委的张瑞敏曾经问选手：“若让你来当经理，每天一上班都会收到很多报告，你认为最重要的、也是最先需要处理的是什么？” 。张瑞敏告诉选手：应当是重复出现的错误；错误决不允许重复出现。第三，让学生学会自己提出问题。创新始于问题的提出，没有问题就不可能有创新然而，我国的中学数学教学却过多地关注了问题解决，长期忽视了问题提出的教学导致学生只会做学“答” ，不会做学“问” 我们不否认问题解决过程中的创新，但我们更强调问题提出的创新爱因斯坦说：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要，因为解决也许仅仅是科学上的实验技能而已。而提出新的问题、新的可能性、以及通过新的角度看旧的问题，都
43、需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步” ；诺贝尔奖获得者，李政道博士说“求学问，需学问，只学答，非学问” ；美国教育家布鲁巴克认为：“最精湛的教育艺术，遵循的最高准则，就是学生自己提出问题” 。因此，我们应当而且必须把提出数学问题的训练和培养作为数学教学创新教育的切入点例如， “正切和余切”的教学，如下的设计，使整个教学过程注重对学生进行提出问题能力的训练和培养，以期引导学生学会从最自然、最朴素的角度提出问题的方法. 复习旧知 做好铺垫师：上节课我们学习了正弦和余弦，如图.， 请指出 的正弦和余弦分别是什么？A（意在通过复习正弦和余弦引发问题）生： ， ca斜 边的 对 边sin c
44、bA斜 边的 邻 边cos. 借助旧知 提出问题师：好！看着图，你们学习了 的正弦和余弦之后，有无疑问需要提出来让同学们思考？（可以适当启发：或者说除了以上两种三角函数（两种比值）外，还有其它可能性吗？意在让学生发现还有未研究的情况。这就是提出和发现新问题的方法之一）（本设计是以旧引新，直接通过复习上节课，通过转换视角，由还有无未研究过的问题，来提出问题，引入新课。它不仅自然，而且渗透了提出问题的方法，培养了学生提出问题的能力。 ）（几分钟后，有学生举手要求发言）生：由图中 的三条边，还可以组成其它一些比。ABC（学生从图中发现不仅可以组成和这两个比，还可以得到其它一些比。从这么一个极其自然、
45、朴素的角度提出了这么好的问题这充分说明，不是学生提不出问题，而是教师没有给学生创造提出问题的情境和机会 ）师：你提出的问题很好！你能说说还能组成哪些比吗？生 2： ， ， ，acA的 对 边斜 边 bcA的 邻 边斜 边 baA的 邻 边的 对 边abA的 对 边的 邻 边.根据问题 引出课题师：太棒了！其中的和分别叫做 的余割和正割，不过我A们初中不做研究，但你很了不起，发现了两种“新”的三角函数；而和分别叫做 的正切和余切这也就是我们今天要学习的内A容教师板书课题：正切和余切. 抽象概括 给出定义.师：根据上面的研究，谁能用文字语言给出 的正切和余切的A定义生：如图 1，我们把 的对边与邻
46、边的比叫做 的正切；把A的邻边与对边的比叫做 的余切A（把下定义的任务让给学生，是为了对学生进行抽象、概括能力的训练和培养）1.3 要树立讲道理的意识张奠宙先生说：“好的教师，就不只是讲推理，更要讲道理。要把印在书上的数学知识转化为学生容易接受的教育形态” 。把数学的学术形态转化成数学的教育形态，把数学冰冷的美丽，变成火热的思考。例如，在正切和余切的教学中，在引进了正切和余切的概念之后，接下来需要引进正切和余切的符号表示，这时，进行了以下教学设计：师：同学们都知道， 的正弦和余弦均是用数学符号来表A示的，且分别是用“正弦和余弦”的英文“sine 和 cosine”中的前三个字母来表示的，那么，
47、同学们认为 的“正切和余切”应当分别用什么符号来表示呢？（可以查汉英词典）生：因为， “正切和余切”的英文分别是“tangent 和cotangent”,所以，猜测“正切和余切”应当分别用符号“tan 和cot”来表示（意在处处寻找联系，渗透类比思想，这对培养学生刨根问底和凡事注意问个为什么的习惯，对培养学生的质疑能力和提出问题的能力都大有裨益使教师的“对手” ，也是教学相长的助手不断壮大）师：好！这样， 的正切，记做 tanA； 的余切，记做AAcotA.在图中，有 ； Atanba的 邻 边的 对 边 Acotab的 对 边的 邻 边也许有人会问，讲正弦和余弦的符号表示时，又该怎样讲道理呢
48、？我认为可以这样讲，先给出正弦和余弦的符号表示是“ ”和sin“ ”，然后，问：“为什么这样来表示呢？”学生若注意到是用cos英文字母表示的，则自然可能想到可能与“正弦和余弦”的英语有关，查汉译英词典知， “正弦和余弦”的英文是“sine 和 cosine”，发现是用其英语的前三个字母来表示的。这样不也就讲了道理了吗?又例如，有一类符号是取自某种语言中相关词的第一个字母，教学时也可以讲道理。举例说：函数符号 f 是英文 function（函数）的第一个字母；虚数单位 i 是英文 imaginary（虚构）的第一个字母；高 h 是英文 high（高）的第一个字母；圆周长 C 是英文 circum
49、 ference（圆周）的第一个字母的大写；排列数 中的 A 是英文mnarrangement（排列）的第一个字母的大写；组合数 中的 C 是英文 combination（组合）的第一个字母的大写等等。再例如，有一类符号是一种象形符号，教学时也可以讲道理。比如，当学习两直线垂直时，为了引出两直线垂直的表示方法，可以先让学生回忆以前学过的角 A 和直线 与直线 平行的表示方法，ab即 和 ，这均是象形符号这样学生自己就会想到，直线 与Aab a直线 垂直应记为“ ”；到后面再学习三角形时，学生自然会想ab到，三角形 ABC 应记为 ABC ；平行四边形 ABCD 应记为“ ABCD”，圆 O 要用O 来表示等等。.这样，不仅
