1、绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础。绝对是又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组） 、解不等式（组）等问题中有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面入手。1去绝对值的符号法则： 0)(a - a2绝对值的基本性质非负性：|a|0；|ab|=|a|b|； （b0） ；b|a| 2=|a|2=a2；|a+b|a|+|b|；|a|-|b|a-b|a|+|b|3绝对值的几何意义从数轴上看，|a|表示数 a 的点到远点的距离（长度，非负） ；|a-b|表示数 a、数 b 的两点间的距离。4. 零点分段法零点分段法的基
2、本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，崽崽各区间内化简求值即可。请读者通过例 4 的解决，仔细体会上述解题步骤。例题求解【例 1】 （1）已知 那么 。，1y5xyx-（2）非零整数 m,n 满足 所有这样的整数组(m,n)共有 组。,0mn（首届江苏省数学文化节基础闯关题）思路点拨 （1）既可以对 x,y 的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（2）从把 5 拆分成两个正整数的和入手。【例 2】如果 a、b、c 是非零有理数，且 a+b+c=0，那么 的所有abca可能的值为（ ） 。A0 B1 C2
3、D0 或-2（山东省竞赛题）思路点拨 根据 a、b 的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键。【例 3】已知 与 互为相反数，试求代数式21ab1)1(+ 的值。)(21ba)02)(ba（“五羊杯”竞赛题）思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出 a、b 的值。【例 4】化简：（1） 。 （2）-x2 3x1-思路点拨 （1）就 2x-10，2x-10 两种情形去掉绝对值符号；（2）将零点1，3（使 x-1=0，3-x=0 的值）在同一数轴上表示出来，就 x 1，1x3，x3 三种情况进行讨论。【例 5】已知 ，求 x+2y+3z6)()(2( zyx的最大值和最
4、小值。思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围。（“希望杯”邀请赛试题）建模求解【例 6】设 x1、x2、x3、x4、x5、x6 是六个不同的正整数，取值与 1,2,3,4,5,6。记 ，求 S 的最小165432-1x xxxS 值。思路点拨 实验调整或建立相应模型求解。（四川省竞赛题）学力训练1. 计算： = 。 214321-（重庆市竞赛题）2代数式 的最小值为 。xx（北京市“迎春杯”竞赛题）3已知 ab0c，化简式子： 得 。cbacba2（广西竞赛题）4如果 a、b、c、d 互为不想等的有理数，且 ，那么1d=。5设 a 是有理数，则 的值（ ） 。
5、aA可以是负数 B不可能是负数 C必是正数 D可以是正数也可以是负数（广东省中考题）6已知|m|=-m，化简 所得的结果是（ ） 。2-m1A-1 B1 C2m-3 D3-2m7. 若|a+b+1|与(a-b+1) 2互为相反数，则 a 与 b 的大小关系是（ ） 。A. ab B. ab C. ab D. ab8. 如果 ，那么 的值为（ ） 。ccA. -1 B. 1 C. 1 D. 不确定9. 化简： 。 （提示：使用零点分段法）323x10. 已知 ，且 a、b、c 都不等于 0，求 x 的所有可能值。cbax（第 2 届“华罗庚杯”香港中学竞赛题）11. 互不相等的有理数 a、b、c
6、 在数轴上的对应点分别为 A、B、C，如果acb，那么，在点 A、B、C 中居中的是点 。-（“华杯赛”试题）12. 已知 a、b、c 满足(a+b)(b+c)(c+a)=0 且 abc0，则代数式 的值为 cba。（四川省竞赛题）13. 当 的值最小时， 的值最大是 ，最小是 32x 132xx。（“希望杯”邀请赛试题）14. 已知正整数 a、b 满足 且 ab，则 ab 的值是 00bab，。（2011 年四川省竞赛题）15. 设 a、b、c 是不为零的有理数，那么 的值有（ ） 。cbaxA. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种（“希望杯”邀请赛试题）16. 当满足（ ）时
7、，x5.|.0.4|.0.3|.0x52|0.-x51| xx的值取得最小。|6|A. B. C. D. 91x71x51x1x3（“五羊杯”竞赛题）17. 如果 0p15，那么代数式 在 px15 的最小值pp是（ ） 。A. 30 B. 0 C. 15 D. 一个与 p 有关的代数式18. 若 x-2，则 等于（ ） 。x1yA. 2+x B. -2-x C. X D.-x（四川省竞赛题）19. 有理数 a、b、c 均不为 0，且 a+b+c=0 设 ，试求代数式baccbxx19-99x+2002 的值。20. 若 a、b、c 为整数，且|a-b| 19+|c-a|99=1，求 的值。c
8、-a-21. 已知 a、b、c、d 是有理数， ，且 ，求16dc9b-a， 25db-a的值。cd（“希望杯”邀请赛试题）22. 在数轴上把坐标为 1,2,3,2003 的点称为标点，一只青蛙从点 1 出发，经过2006 次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径最大长度是多少？请说明理由。（山东省竞赛题）例题求解参考答案例 1 （1）x=5，y=1，原式= （2）16 组)(-xy例 2 A 例 3 提示：由 得 a=2，b=1。0401-b2a例 4 （1）原式= （2）原式=)(2x)3(412x第三讲：绝对值、有理数比较大小1、 绝对值：一般地，在数轴上表示数 a 的点到原点的
9、距离叫做 a 的绝对值；（|a|0）2、 一个正数的绝对值是其本身；一个负数的绝对值是其相反数；0 的绝对值是 0；3、 绝对值可表示为：4、; ;)0a(a0a1a15、 有理数的比较：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序。即左边的数小于右边的数；（正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，其绝对值大的反而小；）一、填空题1、一个正数的绝对值是，一个负数的绝对值是，0 的绝对值是2、绝对值小于 3 的整数有个，它们是。3、用“”或“”号填空。34， （4）5， 6574、若 a +a0，则 a 0，若 a a0，则 a 0。5、已知a ，b ，且 b a ，则
10、 a ，b 。73296、若a 2b10，则 a b 。7、绝对值最小的有理数是，绝对值等于它本身的数是，绝对值等于它的相反数的数是。8、绝对值小于 2 的整数有个，绝对值不大于 3 的非负整数是。9、一个数的倒数的绝对值是 ，则这个数是。110、 的相反数是， 的绝对值是， 的倒数是。313111、有理数 m，n 在数轴上的位置如图， 二、选择题1、2的倒数是（ ）A、2 B、 C、 D、212、若aa，则 a 一定是（ ）A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数3、代数式x23 的最小值是（ ）A、0 B、2 C、3 D、54、若ab，则 a 与 b 的关系是（ ）A、ab B、ab C
11、、ab 或 ab D、不能确定5、下面说法中正确的有（ ）个互为相反数的两个数的绝对值相等；一个数的绝对值是一个正数；一个数的绝对值的相反数一定是负数；只有负数的绝对值是它的相反数。A、1 B、2 C、3 D、46、下面说法中错误的有（ ）个。一个数的相反数是它本身，这个数一定是 0；绝对值等于它本身又等于它的相反数的数一定是 0；ab，则 a b；两个负数，绝对值大的反而小；任何数的绝对值都不会是负数。A、1 B、2 C、3 D、47、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、无数多个8、 如果 m0， nm-mn B.mn-m-n C.-nmn-m D
12、.nm-n-m9、比较 、 、 的大小，结果正确的是（ ）2341A、 B、 C、 D、 2314213124三、解答题1、比较下列各组数的大小。（1） 与 （2）3 与3.3 （3）3.21 与 2.9871（4）2.7与2 （5）（2）与22、已知 a ,b 为有理数，在数轴上的位置如右图，化简：baabab3、已知a3b5c2= 0，计算 2a + b+ c 的值。4、如图所示，已知 a ,b 在数轴上的位置，请比较 a ，b ，a，b的大小。5、已知 ， ， 都是有理数，且满足 1，求 的值cbab6、如果 a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是 1，求代数式 +x2+cd 的值。x7、已知a=3，b=5，a 与 b 异号，求ab的值。8、某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有 0.002L 误差现抽查 6 瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数检查结果如下表：+0.0018 -0.0023 +0.0025 -0.0015 +0.0012 +0.0010请用绝对值知识说明：(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量?b 0 ab a 0
