1、 1.4 数列的子列定义 1：设 为数列， 为正整数集 的无限子集，且naknN，则数列 ，称为数列 的一个子2kn 12,kna na列，简记为 。kn在数列 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项a所得的数列称为 的子列，记为 ，其中 表示 在原数列nknakkna中的项数， 表示它在子列中的项数k定义 2： 数列 本身以及 去掉有限项后得到的子列，称为nana的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为 非平凡子列。na na性质：一个数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散；且在收敛时有相同的极限。对数列的子列，有如下结果：（1） 对每一个 ，有 kkn（2） 对任意两个正整数 ，如果 ，则
2、反之，若h,khkhn，则 khn（3） ，有 .Kkaxkn ,0lim axkn（4） 数列 收敛的充要条件是 和 收敛到同一极限.nx212证明: 必要性 . 设 ,则任给 ,找得到正整数 N,当 时,有 .xnli 0 Nn|xn此时对 2N, 当 2n2N 时也有 , 亦即 . 同理可|2xn xn2lim证 .xn12lim充分性. 设 , 则对任给 , 找得到正整数 N,当xnn122limli 0nN 时,有|2xn同时可找到正整数 M, 当 nM 时,有|12xn从而取 N0 =max2N, 2M+1, 当 nN0 时, n 为偶数, 则满足; n 为奇数, 则满足 ,即当
3、nN 时,有 , 亦即 .|xn xnlim（5）若 ， 和 都收敛，且有相同的极限，则 收23ka13k3ka na敛。或者说：数列 收敛的充要条件是 ， 和 收n 23ka13k3k敛到同一极限.证明: 设 ，则由数列极限的定义，知aakkk 31323limlilim， ， ， ；同样也有 ，01K|2k 02K， ； ， ， 。2k|3ak 03K3|ak取 ，当 时，对任意的自然数 n ，,x21NNn若 ，则必有 ，从而 ；同样若 ，则必n1|a13k有 ，从而也有 ；若 ，则必有 ，从而2Kk|ank3K。所以 ，即 收敛。|anklimn（6）数列 收敛的充要条件： 的任何子列
4、都收敛于同一极n na限.证明:必要性 . 设 是 的任一子列. ,使得lim,knnan 0,N当 时有 . 由于 ,故当 时更有 ,从而也有nN|nkkNkn, 这就证明了 .|kalikn充分性. 考虑 的子列 .按假设它们都收敛.由na213,naa于 既是 ,又是 的子列,故由刚才证明的必要性有6n23.又 既是 又是 的子列, 同样可得26limlilinna6k21k3k. 故 . 由上面的（4）点可知 收敛.13kk2mlikkana下面举几个子列的例子。例 1 : 证明以下数列发散（1） ; （2）1)(nn)1(证明: 设 ，则 ，)(an )(,2an而 ，因此 发散。1
5、212n 1)n（2） )(证明: 的偶数项组成的数列 ，发散，所以n)1( an2发散。n)1(例 2: 判断以下结论是否成立: 若 和 都收敛，则 收12ka2k na敛。解: 结论不一定成立。例如，设 ，则 ， nn)(12ka12k都收敛，但 发散。nna)1(注: 若 和 都收敛，且极限相等（即 ） ，2k2k kka212limli则 收敛。na例 4: 若单调数列 含有一个收敛子列，则 收敛。nana证明：不妨设 是单调增加数列， 是其收敛子列。于是kn有界，即存在 ，使得 。 （这里用了结论：kna0M,21,Makn数列收敛，则必有界） 。对单调增加数列 中的任一项 必有 ，即 单调namakmna增加有上界，从而收敛。 （这里用了结论：单调有界数列必收敛）。例 5（致密性定理）: 任何有界数列必有收敛的子数列。证明: 设 是一个有界数列，且设nx,sups1nkxy 1121sup,supnknnyxx即 是一个单调下降的数列，又 有界，则存在正数 M，n n, 从而 。Mx|yn|则 是单调有界数列。由单调有界收敛原理知， 收敛。ny
