1、 1 / 37【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.【方法点评】类型一 利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 计算函数 的定义域并求出函数 的导函数 ；()fx()fx()fx第二步 求方程 的根；0第三步 判断 在方程的根的左、右两侧值的符号；()fx第四步 利用结论写出极值.例 1 已知函数 ，求函
2、数 的极值.xfln1)(fx【答案】极小值为 ，无极大值.【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令 ，可解出其极值点，然后根据导函()0fx数大于 0、小于 0 即可判断函数 的增减性，进而求出函数 的极大值和极小值()fx()fx【变式演练 1】已知函数 在 处有极值 10，则 等于（ ）322fab1x(2)fA11 或 18 B11 C18 D17 或 18【答案】C【解析】2 / 37试题分析： ,baxxf23)(或 当 时,10123ab14012a3b3ba在 处不存在极值 当 时，,)()2xf x， ； ,符合题)1(31832f 0)(,13(xfx 0)(,1(xf意
3、所以 故选 C4ba8628f考点：函数的单调性与极值【变式演练 2】设函数 ，若 是 的极大值点，则 的取值范围21lnfxaxb1xf a为（ ）A B1,0,C D10,【答案】B【解析】考点：函数的极值【变式演练 3】函数 在 上无极值，则 _.xmxxf )1(2)(13)( )4,0(m【答案】【解析】试题分析：因为 ，xxxf )1()(213)(23 / 37所以 ，由 得 或 ，又因为2()(1)()21fxmxxm0fx21xm函数 在 上无极值，而 ，所以只有 ，132)4,0(,42时， 在 上单调，才合题意，故答案为 .fxR3考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利
4、用导数研究函数的单调性.【变式演练 4】已知等比数列 na的前 项和为 12nSk，则 32()1fxkx的极大值为（ ）A2 B 52 C3 D 72【答案】B【解析】考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值【变式演练 5】设函数 有两个不同的极值点 ， ，且对不等式32()(1)fxax1x2恒成立，则实数 的取值范围是 12()0fxf【答案】 1,【解析】试题分析：因为 ,故得不等式 ,即12()0fxf32121120xaxax,2 2121 1 23 0xa由于 ,令 得方程 ,因 , fxxfx23xx241a4 / 37故 ，代入前面不等式,并化简得 ,解不
5、等式得123xa 1a250或 ，因此, 当 或 时, 不等式 成立,故答案为1a2a1a212fxf. (,考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法. 【变式演练 6】已知函数 的极大值点和极小值点都在区间320fxax内, 则实数 的取值范围是 a【答案】 32【解析】考点：导数与极值类型二 求函数在闭区间上的最值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 求出函数 在开区间 内所有极值点；()fx(,)ab第二步 计算函数 在极值点和端点的函数值；第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例 2 若函数 ，在点 处的斜率为 2xfem1,f
6、1e（1）求实数 的值；（2）求函数 在区间 上的最大值fx1,5 / 37【答案】 （1） ；（2） .mmaxfe【解析】试题分析：（1）由 解之即可；(1)fe（2） 为递增函数且 ,所以在区间 上存2xfe110,30fefe(1,)在 使 ，所以函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以0x0() 0,x,x，求之即可.ma1,fff试题解析： （1） ， ，即 ，解得 ；2xem12fem21e1m实数 的值为 1； （2） 为递增函数， ，2xfe 10,30ff存在 ，使得 ，所以 ，0,0fmax,， 1fefemax1fe考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调
7、性、最值.【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围.【变式演练 7】已知 .xef1)(（1）求函数 最值；y（2）若 ，求证： .)()(2121xfxf021x【答案】 （1） 取最大值 ，无最小值；（ 2）详见解析.)(maff【解析】6 / 37试题解析：（1）对 求导可得 ，)(xf xxeef 2)1()(令 得 x=0.0
8、)(xef当 时， ，函数 单调递增；,)(f)(xf当 时， ，函数 单调递减，)0(x0x当 x=0 时， 取最大值 ，无最小值.f 1)0()(maxff（2）不妨设 ，由（ 1）得21x当 时， ，函数 单调递增；)0,(x0)(f)(xf当 时， ，函数 单调递减，x若 ，则 ，)(21fxf21考点：1.导数与函数的最值；2.导数与不等式的证明.7 / 37【变式演练 7】已知函数 ， .()lnfx2()gxax（）求函数 在 上的最小值；()fx,20tt（）若函数 有两个不同的极值点 且 ，求实数 的取()yg12,()x21lnxa值范围.【答案】 （） ；（） .min1
9、0()l,tefxt， 2lnl()13a【解析】试题分析：（）由 ，得极值点为 ，分情况讨论 及 时，()ln10fx1xe10tet函数 的最小值；（）当函数 有两个不同的极值点，即)(xf ()yfg有两个不同的实根 ，问题等价于直线 与函数ln210ya12,)xya的图象有两个不同的交点，由 单调性结合函数图象可知当()Gxx (xG时， 存在，且 的值随着 的增大而增大，而当min()l2a12,x21a时，由题意 ， 代入上述方程可得 ，21lx2n0la214x214ln23x此时实数 的取值范围为 .aln()3a试题解析：（）由 ，可得 ，()l10fxxe 时，函数 在
10、上单调递减，在 上单调递增，10te,)te1(,2)t函数 在 上的最小值为 ，()fx,2(tt)fe当 时， 在 上单调递增，tef,，min()()lfxtt；in10()l,teft，8 / 37两式相减可得 122ln()lnx代入上述方程可得 ，214x214l23x此时 ，lnl()3a所以，实数 的取值范围为 ；lnl()a考点：导数的应用【变式演练 8】设函数 .ln1fx（1）已知函数 ,求 的极值；234FxFx（2）已知函数 ,若存在实数 ,使得当0Gxfaa23m9 / 37时,函数 的最大值为 ,求实数 的取值范围.0xmGxma【答案】 （1）极大值为 ，极小值
11、为 ；（2） .03ln41ln2,【解析】随 的变化如下表:,Fxx0,11,22,Fx0A0A3ln24A当 时,函数 取得极大值 ;当 时 ,函数 取得极小值 .1xx12xFx32ln4F当 , 即 时, 函数 在 和 上单调递增, 在 上单调递减, 要12a12fx10,2a12a10 / 37存在实数 ,使得当 时, 函数 的最大值为 ,则 ,代入化23x0xmGxm12Ga简得 . 令 ,因1lnln4a 1ln2ln4ga恒成立, 故恒有 时, 式恒成立; 综上， 0g11l20,ga实数 的取值范围是 .a1ln2,考点：函数导数与不等式【高考再现】1. 【2016 高考新课
12、标 1 卷】 （本小题满分 12 分）已知函数 221xfxea有两个零点.(I)求 a 的取值范围；(II)设 x1,x2 是 f的两个零点,证明： 12x.【答案】 (0,)试题解析;（） ()12()1(2)x xfeaea（i）设 0a,则 x, f只有一个零点（ii）设 ,则当 ()时, ()0x；当 (,)时, ()0fx所以 ()fx在 ,1)上单调递减,在 (1)上单调递增又 )fe, 2fa,取 b满足 且 ln2ab,则23()()0b,11 / 37故 ()fx存在两个零点（iii ）设 0a,由 ()fx得 1或 ln(2)xa若 2e,则 ln,故当 (,)时, 0f
13、,因此 ()fx在 1,)上单调递增又当1x时, ()f,所以 ()fx不存在两个零点若 ea,则 l1a,故当 (,ln2)a时, ()fx；当 (ln2),a时, ()0fx因此 ()fx在 ,n(2)单调递减,在 ,单调递增又当 1x时, (f,所以 不存在两个零点综上, a的取值范围为 (0,)（）不妨设 12x,由（）知 12(,)(1,)xx, 2(,1)x, (fx在 ,1)上单调递减,所以 等价于 ()ff,即 0f由于 222()xfxea,而 222()()xxea,所以22()x设 ()xxgee,则 2(1)()xge所以当 1时 , ()0g,而 ),故当 时, 0g
14、从而 22()xf,故 12x考点：导数及其应用2. 【2016 高考山东理数】(本小题满分 13 分)已知 21)ln,Rxfxaa.（I）讨论 (的单调性；（II）当 1时，证明 3()2fx 对于任意的 1,2x成立.【答案】 （）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）求 ()fx的导函数，对 a 进行分类讨论，求 ()fx的单调性；12 / 37（）要证3()2fx对于任意的 1,2x成立，即证 23)(/xf，根据单调性求解. （1） 20a， 1，当 ),(x或 ),(时， 0)(/xf， )(xf单调递增；当 )2,1(a时， 0)(/xf， )(f单调递减；（2） 时，1，在
15、 x),(内， 0)(/xf， )(xf单调递增；（3） a时，20a，当),(x或 x),1(时， 0)(/xf， )(xf单调递增；当 ),2(a时， 0/f， f单调递减.综上所述，13 / 37（）由（）知， 1a时，/ 223()ln()xfx x23l， ,，令 1)(,l)( 32xxhxg， ,.则 /gf，由 01)(/x可得 )(g， 当且仅当 1x时取得等号.又2436h，设 )(2xx，则 )(x在 2,1单调递减，因为 10)(,1，考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论
16、思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当14 / 37分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.3. 【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 16 分）已知函数 ()(0,1,)xfabab.设12,ab.（1）求方程 2的根;（2）若对任意 R,不等式 )f(6fxm恒成立，求实数 m的最大值；（3）若 01 ，函数 2g有且只有 1 个零点，求 ab的值。【答案】 （1）0 4（2）1【解析】试题解析：（1）因为 12,ab，所
17、以 ()2xf.方程 ()fx，即 x，亦即 10xx，所以 210，于是 1，解得 0.由条件知 222()()()xxf fx.因为 26fxm对于 R恒成立，且 ，所以2()4f对于 x恒成立.而2() 4()2()fxffxx，且2(0)4f，15 / 37所以 4m，故实数 的最大值为 4.（2）因为函数 ()2gxf只有 1 个零点，而 0(0)2gfab，所以 0 是函数 的唯一零点 .因为 ()lnlxxab，又由 0,ab知 ln,la，所以 0g有唯一解 0lnog()ba.令 ()hx，则 22()ll(ln)(l)xxxxhab，从而对任意 R， 0，所以 ()gh是
18、,上的单调增函数，于是当 0(,)x， (gx；当 0()x时， 0()gx.因而函数 在 ,上是单调减函数，在 ,上是单调增函数.下证 0x.若 ，则 02x，于是 0()2xg，又 logllo(l)aaaagb，且函数 ()gx在以 02和 loga为端点的闭区间上的图象不间断，所以在 0x和 la之间存在 ()的零点，记为 1. 因为 01a，所以lo20a，又 ，所以 1与“0 是函数 x的唯一零点”矛盾.若 x，同理可得，在 02x和 loga之间存在 ()g的非 0 的零点，矛盾.因此， 0.于是 ln1ab，故 ln0b，所以 1b.考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数
19、单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.16 / 374. 【2016 高考天津理数】 （本小题满分 14 分）设函数 3()1fxaxb, R， 其中 ba,(I)求 的单调区间；(II) 若 f存在极值点 0，且 )(01xff，其中 01x，求证： 1023x；（）设 0a，函数 |)(|xg，求证：
20、 g在区间 ,上的最大值不小于 4.【答案】 （）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数： axf2)1(3) ， 再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当 0a时，有 ()0fx恒成立，所以 f的单调增区间为 (,).当 0a时，存在三个单调区间试题解析：（）解：由 baxxf3)1(，可得 axf2)1(3) .下面分两种情况讨论：（1）当 0a时，有 0)()2f 恒成立，所以 )(f的单调递增区间为 ),(.（2）当 时，令 0xf，解得 31ax，或 31ax.当 x变化时， )(f， f的变化情况如下表： )31,a)31,(a),31(a)(xf
21、0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增17 / 37所以 )(xf的单调递减区间为 )31,(a，单调递增区间为 )31,(a， ),(.（）证明：设 )(xg在区间 2,0上的最大值为 M， ,maxy表示 x,两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当 3a时， 31201aa，由（）知， )(xf在区间 2,0上单调递减，所以)(xf在区间 2,0上的取值范围为 )0(,f，因此 |max|)(|ma| bffM)(1,1bb0),(aa，所以 2|1aM.（2）当 34时， 31321 aa ，由（）和（）知，)()21()0faf， )()21(faf，所以 )(xf在
22、区间 ,0上的取值范围为 )3(),(ff ，因此 |392|,92max|)31(|,)31(ma| babaffM |92|,92x| bab18 / 3741392|392ba.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数 f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数 f(x)；(3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 f(x)0 或 f(x)0 的解集(4)由 f(x)0(f(x )0)的解集确定函数 f (x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数 f(x)在(a，b) 上的单调性，
23、求参数范围问题，可转化为 f(x)0(或 f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到5. 【 2016 高考新课标 3 理数】设函数 ()cos2(1)cos)fxa，其中 0a，记|()|fx的最大值为 A（）求 ()fx；（）求 ；（）证明 |()|2f19 / 37【答案】 （） ()2sin(1)sinfxaxx；（）213,056,81aA；（）见解析【解析】试题解析：（） ()2sin(1)sinfxaxx（）当 1a时，|()|sin2()co)|fx()a32(0)f因此， 3A 4 分当 01a时，将 ()fx变形为 2()cos(1)cosfxxx令 2()1gtt，则
24、 A是 |gt在 ,上的最大值， (1)ga， ()32，且当4a时， ()取得极小值，极小值为22()6()488a令 1，解得 3a（舍去） ， 1520 / 37（）由（）得 |()|2sin(1)sin|2|1|fxaxxa.当 105a时， |143A.当 时， 38Aa，所以 |()|12fxa.当 1a时， |()|1642fx，所以 |.考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如 sin()yAxB的形式；（2）结合自变量 x的取值范围，结合正弦曲线与
25、余弦曲线进行求解6. 【2016 高考浙江理数】 （本小题 15 分）已知 3a，函数 F（x ）=min2|x1|，x 22ax+4a2，其中 minp，q= ,pq.， ， （I）求使得等式 F（x ）=x 22ax+4a2 成立的 x 的取值范围；（II） （i）求 F（x ）的最小值 m（a） ；（ii）求 F（x ）在区间0,6上的最大值 M（a）.【答案】 （I） 2,a；（II） （i） 20,34,2；（ii）21 / 37348,42a【解析】试题分析：（I）分别对 1x和 两种情况讨论 Fx，进而可得使得等式2F42xa成立的 的取值范围；（II） （i ）先求函数 21f
26、x，gx的最小值，再根据 x的定义可得 的最小值 ma；（ii）分别对02和 6两种情况讨论 F的最大值，进而可得 Fx在区间 0,6上的最大值a（ii）当 02x时，Fma0,2Fff，当 26时， x,6ax,348maxF2,6xgg所以， 348,42a22 / 37考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式【思路点睛】 （I）根据 x的取值范围化简 Fx，即可得使得等式 2F42xa成立的 x的取值范围；（II） （i）先求函数 f和 g的最小值，再根据 的定义可得 m；（ii）根据 的取值范围求出 x的最大值，进而可得 a7. 【2016 高考新课标 2 理数】()讨论
27、函数 x2f()e的单调性，并证明当 0x时，(2)0xe； ()证明：当 ,1)a时，函数 2x=(0)eagx（ ） 有最小值.设 ()gx的最小值为 ()ha，求函数 h的值域【答案】 （）详见解析；（）21(,.4e.【解析】试题分析：（）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当 (0,)x时， ()0fx证明结论；（）用导数法求函数 ()gx的最值，在构造新函数0h)2ea，又用导数法求解. （II） 22()() (),xeaxgxfa由（I）知， (f单调递增，对任意 0,1()10,(2)0,fafa因此，存在唯一 0,2x使得 0()fxa即 0gx，23 / 37当 0x时，
28、 ()0,(),()fxagx单调递减；当 时， 单调递增.因此 ()gx在 0处取得最小值，最小值为00 00221)+()1.2x xeaefe考点： 函数的单调性、极值与最值.【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f(x)；(3)由 f(x)0(f(x )0)解出相应的 x 的范围当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间上是增函数；当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“ 整体 ”概念，而极值是个“局部
29、”概念8.【2016 年高考四川理数】 （本小题满分 14 分）设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中 a R.（）讨论 f(x)的单调性；24 / 37（）确定 a 的所有可能取值，使得 1()xfe在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).【答案】 （）当 x10,)2a（ 时， ()fx0， ()fx单调递增；（） ,)+.【解析】试题解析：（I）21()20).axfx(0a当 时 ，f0， ()f单调递增. （II）令 (g= 1ex， s= 1ex.25 / 37则 ()sx= 1e.而当 时， ()sx0，所以 ()s在区间 1+（ ， 内单调递增.又由 =
30、0，有 ()sx0，从而当 时， f0.当 0a， 1x时， ()x= 21)ln0ax.故当 ()f g在区间 +（ ， 内恒成立时，必有 a.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基本方法是求 ()fx，解方程 ()0fx，再通过 ()fx的正负确定 ()fx的单调性；要证明函数不等式 fg，一般证明 g的最小值大于 0，为此要研究函数 ()()hxfgx的单调性本题中注意由于函数 ()hx有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结
31、论缩小参数取值范围比较新颖，学生不易想到有一定的难度26 / 37【反馈练习】1. 【2017 届新疆生产建设兵团二中高三上月考二数学试卷，文 9】若322()7fxabxa在 1x处取得极大值 10，则 ba的值为（ ）A 或 1 B 32或 1 C 32 D 2【答案】C【解析】试题分析： 322()7fxabxa， baxxf23，又32()7fxab在 1处取得极大值 10， 0f，01， 282， ， 1或 6， 9b当 2a，b时， 3432 xxf ，当 3x时， xf，当 1时，0xf， 在 1处取得极小值，与题意不符；当 a， 时，3923 xx，当 1时， 0xf，当 31
32、x时， 0xf，xf在 1处取得极大值，符合题意； 23ab，故选 C考点：利用导数研究函数的极值2. 【2017 届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文 12】已知 ，21()ln(0)fxax若对任意两个不等的正实数 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围是（ 12,x12()fxf）A B C (0,1 (1,)(0,1)D )【答案】D【解析】27 / 37考点：函数导数与不等式，恒成立问题3 【 2016 届江西新余市高三第二次模拟数学试卷，文 8】等差数列 中的 是函数na40251，的极值点，则 等于（ ）1641)(23xxf 2013logaA B C D45【答案】A【解析
33、】试题分析： , 是方程 的两根,由韦达定理有 ,2()86fx14025a2860x140258a所以 ,故 ,选 A.20132013,4a3logl考点：1.函数的极点；2.等差数列的性质；3.导数的计算.4. 【2017 届河南濮阳第一高级中学高三上学期检测二数学试卷，文 12】已知函数.若 ,对任意 ，存在 ，使 成立，321()fxax1()xge1,221,x12()fxg则实数 的取值范围是（ ）A B C D(,8e8,)e,)e3(,2e【答案】A【解析】考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应用.5. 【2017 届河南新乡一中
34、高三 9 月月考数学试卷，文 15】已知数列 na中， 1，函数28 / 37321() 4nnafxx在 x处取得极值，则 na_【答案】 1【解析】试题分析：因为 321() 4nnafxx，所以 21 3nfxax，1120nfa， 1,3n na,n是以 2为首项, 以3为公比的等比数列 1123,na，故答案为 123A考点：1、利用导数求函数极值；2、根据数列的递推公式求通项公式6. 【2017 届甘肃武威二中高三上学期月考二数学试卷，文 16】若正数 满足 （t2ln1aet为自然对数的底数） ，则实数 的取值范围为_ea【答案】 1ae【解析】试题分析：设 ， ，显然 ，又()
35、2)lnftt2()lnetfttln1t()0fe，当 时， ，故 是减函数，所以当 时， ，21“()eftt0“0()f 0tft递增，当 时， ， 递减，所以 时， 取极大值也是最大值()ft()ftxe()ft，当 （或 ）时， ，因此 ，所以 或()lnfee()ftfte10a，所以 中 10a0a1e考点： 导数与函数的单调性、极值、最值7. 【2017 届河北正定中学高三上学期第一次月考数学试卷，文 22】已知函数2xfxae的两个极值点为 12,x，且 12,5x（1）求 12,的值；（2）若 fx在 ,c（其中 c）上是单调函数，求 c的取值范围；（3）当 me时，求证：
36、 3214xxxfeemeA【答案】 （1） 2515,x；（2） 55, ,12；（3）证明见解29 / 37析【解析】试题解析：（1） 2xfxae， 由 0fx得 20， 1225a， a 由 25得 53x， 12x， 121,x， （2）由（1）知， f在 12,x上递减，在 1,x上递增，其中12551,x，当 f在 ,c上递减时， ，又 1c， ， 12cx3512c当 fx在 1,上递增时， ， 1综上， 的取值范围为 535, ,12 c30 / 37考点：1.导数在函数研究中的应用；2.单调性；3.极值.8. 【2017 届河北武邑中学高三周考 8.28 数学试卷，理 22
37、】已知函数21ln0fxax（1）若 是定义域上不单调的函数，求 的取值范围；f a（2）若 在定义域上有两个极值点 ，证明： x12x、 123lnfxf【答案】 （1） ；（2）详见解析108a【解析】试题分析：（1） ，令 ，当 时，22 1ln,axfxaxf8a1在 单调递减，当 时， ，方程 有两个0,fxf0,08020x不相等的正根 ，不妨设 ，则当 时， ，当 时，1212x12,xxf12,x，这时 不是单调函数综上， 的取值范围是 （2）由（1）知，当fxf a8a且仅当 时， 有极小值点 和极大值 ，且 ， 0,8afx1x2x1212,xa令221211lnlnfxfaa12121lnln4，则当 时， ， 在l,0,48ga0,8204gxaga单调递减，所以 ，即 10,8132lnga123lnff
