1、第十六章 数学模型16.1 数学模型的概念及分类16.2 数学建模举例,湖南教育出版社,下页,16.1 数学模型的概念及分类,1. 模型与数学模型,2数学模型的分类,3建模的一般步骤,4建模能力的培养,首页,上页,下页,16.1婴儿湿疹数学模型的概念及分类,1. 模型与数学模型,为了某个特定的目的，将事物的某一部分信息精简、提炼而构造的事物原型替代物，称为模型.,对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构，称为数学模型（Mathematical Modelling）.,具体模型:飞机模型、水坝模型、建筑模型
2、、演习模型 抽象模型:模拟模型、思维模型、数学模型,首页,上页,下页,数学模型和建立数学模型简称为模型和建模.,解释: 用数学模型说明事物发生的原因判断: 用数学模型来判断原来认识的可靠性预见: 用数学模型预测http:/未来事物的发展,16.1 数学模型的概念及分类,首页,上页,下页,2数学模型的分类,16.1 数学模型的概念及分类,经济模型 生态模型 人口模型1按研究对象所在领域 交通模型 战争模型 环境模型城镇规划模型 水资源模型,首页,上页,下页,初等模型 几何模型 代数模型 微分方程模型2按建立模型的数学方法 离散数学模型 运筹模型 概率模型 模糊模型 灰色系统模型,16.1 数学模
3、型的概念及分类,首页,上页,下页,描述模型 预报模型3按建模目的 分析模型 优化模型 决策模型 控制模型,16.1 数学模型的概念及分类,首页,上页,下页,白箱模型5按对模型结构的了解程度 灰箱模型 黑箱模型,16.1 数学模型的概念及分类,确定性模型和随机性模型；4按模型的表现形式 静态模型和动态模型； 离散模型和连续模型.,如果研究对象的机理(内部结构和性能)比较清楚,则称为白箱.如力学、热学、电学等.,首页,上页,下页,如果研究对象的机理完全不知或知之甚少，则称为黑箱.如社会科学、学习科学等.,16.1 数学模型的概念及分类,如果研究对象的机理尚不十分清楚，则称为灰箱.如生态、气象、经济
4、、交通管理、生命等系统中的许多现象.,首页,上页,下页,模型1 记时刻t时已售出的电饭煲总数为x（t）.由于产品的新颖、方便，已在使用的电饭煲实际上起到了宣传品的作用，吸引着尚未购买的顾客.粗略假设每一电饭煲在单位时间内平均吸引m个顾客，即x（t）满足微分方程,16.1婴儿湿疹数学模型的概念及分类,3建模的一般步骤,例1 （新产品的推销与广告问题）经济学家和社会学家很早就在关心新产品的推销速度问题.怎样建立一个数学模型来描述它，并由此分析出一些有用的结果以指导生产呢？第二次世界大战后日本家用电器业界建立的电饭煲销售模型是个成功实例.现在我们来对这个模型的建立过程进行分析.,首页,上页,下页,（
5、1）,分析 若取t=0为新产品诞生时刻，则x（0）=0，于是（2）式指出x（t）=0 。这一结果显然与事实不符.,其中C是积分常数.,（2）,16.1 数学模型的概念及分类,首页,上页,下页, 若通过努力已有x0数量的产品投入使用,则调查情况表明：实际销售量x (t)在开始阶段的增长情况与(2)式十分相符., 在(2)式中，若令 ，则得出 .但这也与事实不符.实际上 是有上界的，因为每个家庭一般只需12只电饭煲就够了！,模型2 设需求量有一个上界 。则尚未使用的人数大致为 ，于是由统计规律知,16.1 数学模型的概念及分类,正比于,首页,上页,下页,记比例系数为k，则x（t）满足微分方程,（4
6、）式常称为Logistic模型.它的图像有时也叫增长曲线或Logistic曲线.,（3）,（4）,16.1 数学模型的概念及分类,（3）式是一个可分离变量的微分http:/方程，它的解为,其中C为积分常数.,首页,上页,下页,16.1 数学模型的概念及分类,首页,上页,下页,分析 容易看出，., 由 ，可以得出,16.1 数学模型的概念及分类,根据（4）式可以分别求出一阶导数和二阶导数为,首页,上页,下页,16.1 数学模型的概念及分类,建立数学模型的一般步骤如下：,（1）准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，收集建模必须的各种信息如现象、数据等。,（2）假设：根据对象的特征和建模目的，对问
7、题进行适当而合理的简化，提几条恰当的假设.,（3）模型构成：根据所作假设，利用适当的数学工具，建立相应的数学结构（公式、表格、图形）.,（4）模型求解.,首页,上页,下页,（6）模型检验：把数学分析的结果“翻译”回到实际问题，用实际现象、数据来检验模型的合理性、正确性.,16.1 数学模型的概念及分类,（5）模型分析：对模型求解的结果进行数学上的分析.,（7）模型应用.,上述过程中的主要步骤及其关系，可用下图表示.,首页,上页,下页,3运用知识工具的能力.,16.1 数学模型的概念及分类,4建模能力的培养,建模锻炼以下几个方面的能力：,1解实际问题的能力.,2抽象分析问题的能力.,4试验调试能
8、力.,5创新思维能力.,首页,上页,下页,16.2婴儿湿疹数学建模举例,例1（铺瓷砖问题）欲用40块方型瓷砖铺设如下图所示的地面,但当时商店只有长方形瓷砖,每块大小等于方型的两块.某人买了20块长方形瓷砖,试为他设计一种方案来铺地面.,首页,上页,下页,证明 在铺瓷砖问题中，同色的两个格子具有相同的奇偶性，异色的格子具有相反的奇偶性.长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对方格.因此,把19块长方形瓷砖在地面上铺好后,只有在剩下的两个方格具有相同的奇偶性时,才有可能把最后一块长方形瓷砖铺上.由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性,因此无法铺上最后一块长方形瓷砖.,建模 将图上黑、白相间地染色，然
9、后仔细观察，发现共有19个白格和21个黑格.一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两格，所以铺上19块长方形瓷砖后,（无论用什么方式）总要剩下2个黑格没有铺,而一块长方形瓷砖是无法盖住2个黑格的,惟一办法是把最后一块长方形瓷砖一断为二.,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,假定椅子中心不动,每条腿的着地点视为几何学上的点,A、B、C、D表示,把AC和BD连线看作坐标系中的x轴和y轴,转动椅子看成坐标轴的旋转,如下图所示.,例2（椅子问题）4条腿长度相同的椅子放在起伏不平的地面上,4条腿能否一定同时着地？,假设： 椅子的四条腿一样长,4脚的连线是正方形. 地面是数学上的光滑曲面,即沿任意方向切面能
10、连续移动.,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,表示AC转动后与初始位置X轴的夹角,g ()表示A、C两腿与地面距离之和,f ()表示B、D两腿与地面距离之和,当地面光滑时,f ()、g ()皆为连续函数.因三条腿总能同时着地,所以f () g ()=0.,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,证明 令h ()=g ()f (), 有 h(0)g(0)f(0)0.,将椅子转动 ，即将AC与BD位置互换，,设初始位置=0时, g(0)=0,f(0)0. 椅子问题抽象成如下问题：,已知 f ()、g ()为连续函数,g(0)=0,f(0)0,且对任意的, 都有g () f ()=0.,求
11、证 存在0 ,使g(0 )= f(0 )=0 ,00 ,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,即g(0)f(0).,h ()是连续函数,由连续函数的介值定理知，必定存在,使,16.2 数学建模举例,对任意的,均有g () f ()0,所以有,首页,上页,下页, 报童已经掌握了报纸需求量的随机规律(直接或间接经验),他每天销售r份报的概率是f (r) (r=0，1，2，).,例3 (聪明的报童) 报童每天清晨从报社购进报纸零售,晚上将没有卖掉的报纸退回.报童每天都要考虑一件事情：如果购进太多,卖不完,要赔钱；如果购进太少,不够卖,会少赚钱.请你为报童筹划一下,他应如何确定每天购进报纸的数量,
12、才能赚最多的钱？,假设 报纸每份的购进价为b,零售价为a,退回价为c,显然应该有abc,即 每卖出一份报纸赚 ab ,退回一份赔bc .,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,建模 记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G (n),如果这天的需求量rn ,则他售出r份,退回nr份;如果这天的需求量rn,则n份将全部售出.,（1）,分析 设每天购进量为n份.因为需求量r是随机的,r可以小于n,亦可大于n,导致报童每天的收入随机波动.所以建模的目标不能是他每天的收入,而应该是他长期(数月,数年)卖报的日平均收入.从概率论的观点看,相当于计算报童每天收入的期望值.,由于需求量为r的概率是f (r)
13、,所以,16.2 数学建模举例婴儿湿疹,首页,上页,下页,需求量r的取值和购进量n都相当大,将r视为连续变量更有利于分析和计算,这时概率f (r)可看成概率密度函数p (r),（1）式变成,对上式关于n求导,得,（2）,目标归结为：当 f (r), a, b, c已知时,求n使G (n)达到最大.,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,因为当购进n份报纸时, 是需求量r不超过n的概率,即卖不完的概率；,（3）式即是为使报童日平均收入达到最大,购进量n应满足的关系式.,（3）,令,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,是需求量 r 超过n的概率,即卖完了的概率.,所以（3）式的现实意义是
14、：最佳的购进份数n应该使卖不完与卖完的概率之比,恰好等于卖出一份赚的钱ab与退回一份赔的钱bc之比.显然,当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时,报童购进的份数就应该越多,这个结论与日常生活的经验相当吻合.,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,建模 患者服药后,随时间的推移,药品在体内逐渐被吸收,起生化反应,也就是体内药品的浓度逐渐降低. 药品浓度的变化量与服药量成线性比,即,例4 (服药问题) 医生给病人开处方时,必须注明两点：每次服药的剂量和时间间隔.剂量太大,药品会对身体产生严重不良的后果;剂量不足,则达不到治病的目的.为采用适当的剂量,请研究药品在体内的分布情况.,
15、假设 患者的服药是一个常数y0,相邻两次服药的间隔为T,T是一常量；, 令y (t)表示t时刻药品在患者体内的浓度,y(0)表示t = 0时患者服药量y0.,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,当t = T 时,由于经过时间间隔T ,患者第二次服药,剂量仍为y0.所以t = T,(k0为常数,取决于药品的种类). （1）,同样,当 时,体内药品浓度,求解 （1）的解为,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,利用等比数列求和公式,得,当t=3T时,体内药品浓度为,并且当t=2T时,患者第三次服药,剂量仍为y0,所以,当t=nT时,体内药品浓度达到,16.2 数学建模举例,首页,上页,下
16、页,确定.,近似地有,如果间隔时间T为确定量,那么剂量y0可由,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,当患者多次服药后,体内药品浓度缓慢地趋于极限值,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,当t=T时,根据假设,需要增加剂量y1,使,且每间隔时间T继续服药,使体内药品浓度达到yc,假设 患者开始服药,就采用剂量,每间隔时间T,患者服用的剂量为y1(事实上y1=y0).,若药品浓度的变化仍遵循 的规律,那么t 0,T 时,体内药品浓度为,（身体所需要的量）,即,16.2 数学建模举例,第二种服药方法.,首页,上页,下页,例5 (油管的铺设线路问题) 如下图,某大型项目欲从A0铺设一条石油管
17、道至A6,其间必须经过5个中间站.第一站可以在A1,B1两地之中任选一个,类似地,第二、第三、第四、第五站可供选择的地点分别是A2,B2,C2,D2, A3,B3,C3, A4,B4,C4, A5,B5.连接两地的管道距离用两点连线上的数字表示(两点间若无连线,表示两地间不能铺管).请设计一条线路使总距离最短.,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,k = 6 时：设f6(A5)表示由A5到A6的最短距离,f6(B5)表示由B5到A6的最短距离.显然,建模 从最后一段开始,用从后向前逐步递推的办法,求出各点到A6的最短线路,最后求得从A0到A6的最
18、短线路.,k =5 时：从A4出发,有两种选择,到A5或B5,如果f5(A4)表示由A4到A6的最短距离,d5(A4,A5)表示A4到A5的距离,u5(A4)表示相应的选择或决策,则,16.2 数学建模举例,u5(A4)=A5,最短线路是：,首页,上页,下页,u5(B4)=B5,最短线路是：,从B4出发,也有两种选择,即到A5或B5. f5(B4),d5(B4,A5),d5(B4,B5),u5(B4)的定义与中相似,则,16.2 数学建模举例,从C4出发,同样有,u5(C4)=B5,最短线路是：,首页,上页,下页,u4(A3)= B4,最短线路是：,k = 4 时：分别以A3,B0,C3为出发
19、点来计算,即有,16.2 数学建模举例,u4(B3)=B4,最短线路是：,首页,上页,下页,u3(A2)= B5,最短线路是：,k = 3 时：分别以A2,B2,C2,D2为出发点来计算,即有,16.2 数学建模举例,u3(B2)= A3,最短线路是：,首页,上页,下页,u3(C2)= B3,最短线路是：,u3(D2)= C3,最短线路是：,16.2 数学建模举例,首页,上页,下页,u2(A1)=B2,最短线路是：,u2(B1)=C2,最短线路是：,16.2 数学建模举例,k = 2 时：分别以A1,B1为出发点来计算,即有,首页,上页,下页,“最优性原理”、 “倒退法” 、“多阶段决策问题”,u1(A0)=A1,最短线路是：,最短距离为18.,16.2 数学建模举例,k = 1 时：出发点只有A0,首页,上页,下页,
